Hoy os traigo el segundo problema de la IMO 2011 celebrada en Amsterdam durante el mes de julio:
Sea
un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En
que pasa por un único punto
de
. Con
Demostrar que se puede elegir un punto
A por él.
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Valora en Bitacoras.com: Hoy os traigo el segundo problema de la IMO 2011 celebrada en Amsterdam durante el mes de julio: Sea un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza c……
Por reducción al absurdo. Sea A= {x1,x2,..,xn} el conjunto de puntos no colineales sobre el plano y aceptemos la hipótesis de que no existen infinitas rotaciones de la recta L con eje de rotación establecido en algún xi de A. Partamos de x1, rotando L hasta topar con x2; desde x2 rotamos L hasta topar con x3; etcétera. Llegado a un xi, rotamos L y ésta, por definición, debería topar con un xk sobre el cuál volver a rotar y seguir el proceso. Pero he establecido como hipótesis que para ese cierto xi, L no sigue el proceso infinitamente, luego… Lee más »
No sé si te he entendido muy bien Sebastian, mejor te pongo un ejemplo y me dices si tu demostración tiene en cuenta eso. Imagina que el conjunto está formado por cuatro puntos, tres de ellos están en los vértices de un triángulo equilátero imaginario, y el cuarto está en el centro de dicho triángulo. Si elegimos inicialmente un vértice cualquiera, y una recta que no «cruce» el triángulo, el remolino jamás pasará por el punto central, por lo que no cumpliría el enunciado. Es decir, que cualquier demostración que concluya que el enunciado es cierto para cualquier punto y… Lee más »
Te entiendo perfectamente, Sive. Según lo que yo entiendo del enunciado, no hay una restricción que afirme que a partir del tercer vértice -el ejemplo que planteas- la recta L tenga que girar necesariamente hacia el primero, formando un bucle en el que, tal y como afirmas, jamás tocaría el punto central. Yo sobreentiendo que hay que demostrar que todo punto de S puede ser eje de rotación de forma infinita; según esto, afirmo -quizá de forma errónea- que, una vez llegada L al tercer vértice, puede rotar hacia el punto que se encuentra en el interior del triángulo y… Lee más »
Efectivamente, Sive, el enunciado dice claramente que L rota hasta topar con el primer punto de S en su trayectoria. Por lo que te doy la razón (gracias por la aportación) y vuelvo a analizar el problema.
El enunciado dice que CADA punto de S se usa como centro de rotación INFINITAS veces. Si el conjunto S está formado por uno, dos o tres puntos el enunciado es obviamente cierto. Si hay cuatro o más puntos en S, hay dos posibilidades: Si todos los puntos de S son vértices de un polígono convexo basta con elegir uno cualquiera de ellos como P y la recta l exterior al polígono (solo lo toca en P) para que se cumpla la demostración. Si los puntos de S no forman TODOS parte de un polígono convexo siempre habrá un conjunto… Lee más »
Claro, JJG, eso es lo 1º que me pasó por la cabeza después del comentario de Sive. Todo contorno de un polígono convexo de ‘n’ vértices xk y aristas L valdría como resultado. Sin embargo, ¿será la única solución?
Pero el último párrafo de JJGJJG es incorrecto. Puedo poner como ejemplo el triángulo equilatero con un punto en el centro de mi anterior comentario. Si se empieza en el punto central, y sin importar la recta que se elija, el remolino volverá infinitas veces al estado inicial. Es muy fácil demostrar, además, que esto sucede siempre, sin importar el punto y recta iniciales, ni la distribución de los puntos, el remolino volverá siempre al estado inicial, y lo hará infinitas veces. Sólo hay que notar que el remolino es reversible. Podemos girar la recta en sentido antihorario, y volver… Lee más »
Sive, si empiezas por una recta que pasa por el punto central no veo cómo la recta puede volver a encontrar el punto interior, por lo que éste no podrá ser INFINITAS veces centro de giro.
En el planteamiento la recta gira SIEMPRE en sentido horario por lo que el remolino NO es reversible.
Sebastián, la solución es única porque si hay un punto interior al polígono envolvente éste solo puede ser visitado por la recta si lo elegimos como inicial, es decir UNA sola vez.
JJGJJG cuando digo que el remolino es reversible, quiero decir que puedo reconstruir mentalmente hacia atrás los movimientos que hizo la recta, girándola al revés, tanto como yo desee. Eso tiene implicaciones irrefutables a poco que se piense en ello, y una de ellas es que si el movimiento es cíclico (y es fácil demostrar que lo es), entonces lo es hacia adelante y hacia atrás (esta es la clave), y por tanto el remolino volverá a cualquier estado inicial del que partamos. Conclusión: no importa el punto de giro, y la inclinación de la recta inicial, el remolino está… Lee más »
Pienso que, llegados a este punto, y no en pos de mi deducción, existe una configuración en S que cumple las propiedades. No hay que olvidar que L es infinita, es decir, una recta (no un segmento). De ahí sería bello alcanzar una demostración matemática no basada en ejemplos que otorguen validez al predicado. Saludos.
Podemos considerar que todas las rectas que, al girarlas sobre un mismo punto central, van a chocar con el mismo punto, son la misma a los efectos de este problema. Desde este punto de vista, en un punto dado sólo hay (n-1) rectas esencialmente diferentes, siendo n el número de puntos en el conjunto. Y en total, hay n(n-1) estados diferentes, con lo que este movimiento continuo, queda discretizado. Podemos verlo como simples cambios de estado, dentro de un número finito de estados posibles, y donde el estado siguiente depende exclusivamente del estado actual. Este enfoque permite demostrar inmediatamente (mediante… Lee más »
Si se empieza con un vértice de la envolvente convexa del conjunto de puntos y con una recta que no atraviese a dicha envolvente, el proceso es ciclíco, pero jamás pasa la recta por los puntos interiores. Por tanto, si del conjunto eliminamos los vértices de la envolvente convexa, y repetimos con el conjunto que queda de manera reiterada, como pelando una cebolla, hasta obtener un conjunto de puntos convexo, el «núcleo» del conjunto inicial, la primera recta en pasar por dos puntos del conjunto debe pasar por uno de este núcleo. Que el movimiento resultante es ciclico se deduce,… Lee más »
Después de haberle dado bastantes vueltas al problema, he vuelto a llegar a la conclusión que expuse en mi primera respuesta: TODA configuración es posible. He aquí mi explicación, que por supuesto, puede ser errónea y agradeceré las correcciones que sean necesarias: – La conclusión de mi razonamiento, llevado a cabo por reducción al absurdo, es que si no existe una configuración en remolino de los Xi€S, con i=1,2,..,n, es porque tres de ellos son colineales; obviamente, esto contradice al enunciado y es prueba suficiente para afirmar que, al menos, existe ‘alguna configuración posible’ (yo dije que todas podían serlo).… Lee más »
Bonito problema. Quizá ayude indagar qué sucede con el número de puntos situados
a cada lado de la recta durante la ejecución del remolino…
¿Lo has resuelto fede? ¿es una pista?
Sí, Sive. Se resuelve, creo que fácilmente, a partir de esa pista.
Que no estén los puntos 3-alineados implica que disponiendo en primer lugar de ciertos puntos envolventes, los nuevos que vayamos añadiendo en el interior en proceso de «cebolla», como bien indica Ignacio, formen ángulos correlativos cada vez menores entre ellos, (tendientes a 0 pero jamás llegando, ya que no puede haber colinealidad, conforme vamos añadiendo puntos cada vez más interiores). Esto implica que, cogiendo uno de los puntos interiores cuya recta l encima de él como centro sitúa los mismos puntos a lado y lado de las semirrectas formada por dicho punto, al girar, va encontrando primero los puntos cuya… Lee más »
El problema dice claramente que la demostración pide que SE PUEDE ELEGIR un punto P€S y una recta L que pase por él con tal que el proceso de remolino se reproduzca infinitamente en todos los puntos Xi€S como ejes de giro, cumpliendo éstos que 1) sean finitos y 2) no haya tres puntos colineales. Si se trata de una demostración formal matemática, no verbal, ¿por qué no se da como válida la primera solución que propuse?
Quizá @gaussianos tenga algo que añadir. Pero, con toda la modestia, pienso que el problema está resuelto desde la primera demostración…
Asumimos un sentido en la recta que gira, lo que nos permite hablar de los semiplanos izquierdo y derecho separados por la recta. ( y distinguimos como diferentes las direcciones giradas 180º). El conjunto de direcciones de las rectas que unen 2 puntos de S es finito. Llamamos dirección general a una dirección (de 0º a 360º) que NO esté en ese conjunto. La observación clave es que durante el remolino el número de puntos situados a un lado de la recta (por ejemplo el izquierdo), cuando la recta está en una dirección general, es constante. Por otro lado para… Lee más »
@fede, buenísima. Trabajé en tu pista pero no caí en la cuenta de que, para cada inclinación, sólo nos valía punto que dejase a cada lado el mismo número de puntos, y que por tanto, en una rotación tenían que usarse todos necesariamente.
@Sebastian, yo sólo puedo hablar por mí. En mi caso, la única demostración que he entendido, es la de fede. No digo ni que sean incorrectas, ni que sea culpa vuestra.
excelente voy a modificar mi programa
Muy bueno los ejercicios planteados