Vuelven los problemas a Gaussianos. En esta ocasión volvemos con un problema que vi hace unos días en Microsiervos. Ahí va:
Sabiendo que
calcula el valor de
.
No es difícil, pero que está bien para comenzar de nuevo a publicar problemas propuestos.
Por cierto, en las respuestas espero un desarrollo de cómo habéis llegado a la solución, no solamente la solución.
Y si quieres intentar el problema, te recomiendo que no mires los comentarios antes de hacerlo, por si ya hay alguien que lo ha resuelto y ello te quita la diversión de enfrentarse al mismo.
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La respuesta es 25/6.
Veamos:
Hacemos (x+y+z)^2 y obtenemos que xy +xz + yz= -1/2
Hacemos (x+y+z)^3 y obtenemos que xyz = 1/6 (no sin esfuerzo)
Hacemos (xy+xz+yz)^2 y obtenemos que (xy)^2+(xz)^2+(yz)^2 =-1/12. Esto último implica necesariamente que hay complejos de por medio.
Por último, de (x^2+y^2+z^2)^2 obtenemos el resultado pedido.
Siento no ser demasiado claro.
Saludos.
Se otra forma, que además nos permitirá conocer la suma de cualesquiera otras potencias. Sea
.
Vamos a construir una ecuación de tercer grado cuyas soluciones sean {x, y, z}, pero sin ánimo de resolverla. Si es:
Sabemos por Cardano-Vieta que:
Dejemos c de momento así. Tenemos
Entonces, tenemos que
Multiplicando por
:
Sumando las tres,
Como
, ya podemos calcular c, haciendo n = 0:
Por tanto,
Por tanto,
Lo curioso es
Puede verse que ya no vuelve a ser entero. Y ya puestos,
para
O aproximadamente
Saludos,
Soberbio, Ignacio, insuperable.
Paco Moya.
Ignacio, te he editado el LaTeX para arreglar los problemas que tenías. Eran simplemente que habías puesto … dentro de LaTeX y no lo interpreta bien (yo he puesto \ldots), y que habías puesto \aprox cuando debías haber puesto \approx.
Como ya te lo he arreglado, he borrado tu siguiente comentario. Espero que no te moleste :-).
Para nada, muchas gracias. Ya puestos, un poco más arriba hay un 16f(n) que debe ser evidentemente
… Y otra cosa, ¿no sería posible facilitar algo más la edición de tus propios mensajes? Cuando no me iba el LaTeX en las últimas líneas y no sabía por que, trate de eliminarlo en una loca carrera contra el segundero, pero me quede a medias, con unas fracciones si y otras no …
*Para Ignacio Larrosa*
Este es un programita escrito en Pari gp:
a=10^4;v=vector(a);v[1]=1;v[2]=2;v[3]=3;for(n=1,a-3,v[n+3]=v[n+2]+v[n+1]/2+v[n]/6;if(floor(v[n+3])==ceil(v[n+3]),print([v[n+3];n+3])))
El resultado es :
[6; 5]
time = 4,656 ms.
Es decir que no existe ningún término entero hasta f(10000) inclusive, más allá de f(5). Soy un simple amateur con reducidos conocimientos matemáticos y me pregunto si hubiera una manera fácil de demostrar que no existe ningún término entero más allá de f(5) = 6.
Hasta f(100000) tampoco existe ningún término entero y el ordenador viejo mío ya tarda casi 30 minutos, 360 veces más tiempo que hasta el rango de f(10000), sólo 10 veces inferior. Ciertamente; la manera para saber si un número es entero o no, que yo he usado, la de buscar la igualdad entre floor y ceil de ese número; no debe de ser la manera más rápida posible. Si alguien conoce una manera de computarlo; mucho más rápida; que lo diga aquí; gracias. Por otra parte me asalta una curiosidad. La pregunta era que si conocíamos los valores de f(1)… Lee más »
Dije : «imagino que hay más soluciones» y mal dije; donde dije digo; digo Diego; no había reparado en algo tan sencillo como que tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas y que por tanto sólo hay una solución; de haberla; para (x,y,z); y el valor de f(n) es único par todo n.
Correcto Paco.
Por ejemplo, para detallar cómo obtener xyz:
Haciendo R = (x^2) + (y^2) + (z^2) = 2, tenemos entonces, al ser x+y+z=1, que 2 = R = R(x+y+z) = x^{3}+y^{3}+z^{3} + (x^2)y + (y^2)x + (z^2)x + (x^2)z + (y^2)z + (z^2)y.
Luego, de 1 = (x+y+z)^3 = x^{3}+y^{3}+z^{3} + 3[(x^2)y + (x^2)z + (y^2)x + (y^2)z + (z^2)x + (z^2)y] + 6xyz =
-2(x^{3}+y^{3}+z^{3}) + 3R + 6xyz = -2(3) + 6 + 6xyz. Por tanto: xyz = 1/6
Me alegro de que se vuelvan a publicar problemas! Estaré atento a los que vengan.
Yo di unas cuantas vueltas más y utilicé expresiones como (x+y+z)(x^3+y^3+z^3), (x^2+y^2+z^2)^2 entre otras para conseguir despejar x^4+y^4+z^4 de (x+y+z)^4. Desde luego más largo que la solución de Paco.
Para que se tenga un idea de lo grandes que se hacen las fracciones irreductibles de f(n); copio aquí el resultado de f(1000) :
489014623169014002808724165017972428557
893553723189204424620173790068051648266
304727443800687485025847715981180960310
368949408782587135464067626477372151647
015935140288229484425698965525474105120
829579825837461420618933532994624784189
027631860622105610941136345996759620447
255971904188334464494592899525745318747
450982108809495814138251326322502420749
683813895670069084940049066278528712704
678803855259741974101420903123059551783
832382166368255140666430961098221875 /
124550552382096826590412693304721978870
209308230697288786751357537639442119247
359068919480798739132701530683439342411
002525222974061830249999497389803341589
151907990499083803252752423585218446352
351972773785757431014666588743780496063
666567838842667750998410939260769409493
6519894870260560478107968266592845824
Nota: que alguien que sepa cómo evitar que los números se alarguen fuera del formato de esta página, lo diga y lo corrija.
Este programilla, al final, nos proporciona los valores de f(n) cuando f(1)= 1; f(2) = 3 y f(3) = 4. Hay que notar que entonces todos los valores de f(n) son enteros; corresponden a : (a,b,c) = (-1,-1, 0); parámetros de la ecuación de tercer grado cuyas soluciones son (x,y,z) = ((1+raíz(5))/2, (1-raíz(5))/2, 0). En realidad los valores de f(n) no son sino la sucesión de Fibonacci pero con (a(1), a(2)) = (1, 3). Hay 25 primos hasta f(1000). Por ejemplo f(863) = 227160876495918562748535035942584201965901433059749617427535 706949917136103176482875403653972639455945062095866005032008 819923618477643769983095703119163211626539496542961374358047 9, es primo. p=10^2;v=vector(p);v[1]=1;v[2]=3;v[3]=4;a=-v[1];b=((v[1])^2-v[2])/2;c=-(v[3]- (v[1]*v[2])+v[1]*((v[1])^2-v[2])/2)/3;for(n=1,p-3,v[n+3]=-a*v[n+2]-b*v[n+1]- c*v[n];if(floor(v[n+3])==ceil(v[n+3]),print([v[n+3];n+3])));print([a,b,c]) El programa está concebido para buscar las soluciones… Lee más »
La sucesión asimilada a Fibonacci (porque cada término es la suma de los dos anteriores), pero con con f(1) = 1 y f(2) = 3, representa, además, si no me he equivocado; a todos los valores, siempre enteros, de f(n) = x^n + y^n + z^n, para cualquier n entero. Dos términos consecutivos de tal sucesión son primos para los casos (f(4), f(5)) = (7, 11) ; (f(7), f(8)) = (29, 47) y (f(16), f(17)) = (2207, 3571). Son los únicos hasta f(10000). ¿ Habrá algún par más ?