La conjetura de Andrica, o qué distancia hay entre dos números primos consecutivos

Quien más quien menos sabe que existen infinitos números primos, y quien no lo sepa…debería saberlo. Por aquí hemos visto varias demostraciones sobre este hecho (la de Euclides, usando números de Fermat, la topológica, la de juan Pablo…), pero una de las que más me gustan es la que prueba la divergencia de la serie de los inversos de los números primos.

Bien, hay infinitos, pero ¿qué distancia hay entre ellos? Más concretamente, ¿qué se puede decir de la distancia entre dos números primos consecutivos? Pues, además de no ser un número fijo (evidentemente), la intuición nos dice que dicha distancia crece (aunque no de forma monótona) conforme los números primos son cada vez más grandes. De hecho podemos encontrar «huecos» entre dos primos consecutivos cuya longitud sea cualquier número natural. Esto podría reforzar la creencia de que dos primos consecutivos tienden a estar tremendamente lejos, pero hay conjeturas interesantes que sugieren que la distancia no es tanta. Una de ellas es la conjetura de Andrica.

Dorin Andrica es un profesor de la Facultad de Matemáticas y Ciencias de la Computación de la Babes-Bolyai University de Rumanía (nació en 1956) que en 1986 publicó el artículo Note on a conjecture in prime number theory (Studia-Math, 31, fasc. 4, 1986, 44-48) donde exponía la que hoy se conoce como conjetura de Andrica, relacionada con lo que en inglés se conoce como prime gap (hueco entre dos primos consecutivos). Dicha conjetura dice lo siguiente:

Si representa el n-ésimo número primo, entonces se tiene que

.

(«Diferencias de Andrica» para los 200 primeros números primos. Fuente: Wikipedia.)

Como se puede ver en el gráfico, para los 200 primeros números primos la diferencia entre las raíces cuadradas de cada pareja de ellos consecutivos es menor que 1. Ahora, ¿continuará pasando esto conforme los números primos son mayores? Teniendo en cuenta que a medida que vamos avanzando los números primos son más escasos, por lo que en teoría hay más distancia entre cada dos consecutivos, no está tan claro que estas «diferencias de Andrica» sigan siendo siempre menores que 1…pero en la práctica parece que sí es así. Trasteando hace unos días con Mathematica obtuve algunos datos interesantes que os muestro ahora.

Lo que me planteé fue cuántas «diferencias de Andrica» son menores que 0,5 entre los 100000 primeros números primos. Para ello utilicé el siguiente código (mejorable, seguro):

Do[If[N[Sqrt[Prime[n + 1]] - Sqrt[Prime[n]]] > 0.5,
Print[{N[Sqrt[Prime[n + 1]] - Sqrt[Prime[n]]], Prime[n + 1],
n + 1}]], {n, 1, 100000}]

Con él estamos diciendo a Mathematica que nos calcule las «diferencias de Andrica» de los 100000 primeros números primos, y que si en algún caso esa diferencia es mayor que 0,5 nos muestre el valor de dicha diferencia, los números primos que forman la pareja que la genera y el lugar que ocupa el mayor de ellos en la lista ordenada de números primos de menor a mayor. Lo que obtuve es que hay solamente 6 parejas en las que la diferencia es mayor que 0,5 entre los 100000 primeros números primos. Son éstas:

{0.504017,5,3,3}
{0.670873,11,7,5}
{0.517554,17,13,7}
{0.589333,29,23,10}
{0.514998,37,31,12}
{0.639282,127,113,31}

Como ejemplo, para que todo quede claro, la última línea anterior nos indica que la «diferencia de Andrica» entre el número primo número 31, que es el 127, y el 30, que es el 113, es aproximadamente 0,639282. Podéis comprobar que, efectivamente, se tiene que

Esto está bien, pero los 100000 primeros números primos pueden quedarse cortos, por lo que quizás interesaba dar un paso más. Por ello me fui a números más grandes, concretamente de 100000 a 1000000…

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Recuerdo que no me refiero a los enteros positivos entre 100000 y 1000000, sino a los números primos que ocuparían esas posiciones si los ordenamos todos de menor a mayor. Por ejemplo, el número primo que ocuparía la posición 200000 es el 2750159.

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…y probé con la misma diferencia, 0,5. Es decir, utilicé el código siguiente:

Do[If[N[Sqrt[Prime[n + 1]] - Sqrt[Prime[n]]] > 0.5,
Print[{N[Sqrt[Prime[n + 1]] - Sqrt[Prime[n]]], Prime[n + 1],
Prime[n], n + 1}]], {n, 100000, 1000000}]

¿Qué ocurrió? Pues que no obtuve ningún resultado. Es decir, ninguna pareja de números primos consecutivos entre esos dos valores de la lista ordenada de los mismos presenta una «diferencia de Andrica» mayor que 0,5. Uhmmm, interesante. ¿Y si bajamos esa diferencia? Probé con 0,3, con 0,2, con 0,1…y nada, ningún resultado. Con 0,05 sí aparecen parejas, concretamente estas cuatro:

{0.0507868,1349651,1349533,103521}
{0.0566515,1357333,1357201,104072}
{0.0528087,1562051,1561919,118506}
{0.0521851,2010881,2010733,149690}

Y si continuamos las diferencias siguen bajando sin parar, podéis comprobarlo vosotros mismos.

Estos resultados no hacen más que darnos aún más razones para reafirmarnos en la idea de que la conjetura de Andrica es cierta…pero por desgracia son solamente resultados parciales, datos de casos concretos, ni mucho menos una demostración. Quien consiga ponerle el cascabel al gato de Andrica seguro que será famoso de por vida.

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Fuentes y enlaces relacionados:

• Andrica’s conjecture en la Wikipedia en inglés.
• Andrica’s conjecture en MathWorld.
• A note on the Andrica conjecture en arXiv.

¿Conocéis algún avance interesante en la resolución de esta conjetura? Cualquier cosa ya sabéis, a los comentarios.