Hace unos días Juan Medina, un doctor de matemáticas nos mandaba un problema para que lo pusieramos en el blog, y nos prometía que nos mandaría la solución en un vídeo. Así que sin más dilación os propongo el problema para que lo resolváis a modo de juego:

Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y 5, existe un
número cuyas cifras son todas 9 tal que p lo divide.

Solución dada por Albert

Sea “p” un primo distinto de 2 y de 5. “p” divide un número de la forma 9999999…

En efecto:

99999… (n veces) = 10n – 1

Por el Teorema de Fermat:

10p es congurente con 10 módulo p

Como “p” no divide a 10 (”p” primo y “p” distinto de 2 y 5) por propiedades de las congruencias

10(p-1) es congruente con 1 modulo “p”

o sea 10(p-1) – 1 es congruente con 0 módulo “p”

o sea “p” divide 10(p-1) – 1 [99999… (p-1 veces)]

Podéis observar como todos los pasos que se han hecho aquí son parte de la teoría de números elemental que ya expliqué.

Por cierto, “p” divide a “n” quiere decir que “n” es divisible entre “p”.

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