La explicación (espero que) definitiva sobre la expresión «viral» 8:2(2+2)

Es ya un clásico de internet en general y de las redes sociales en particular. Cada cierto tiempo aparece una operación combinada acompañada de imágenes de calculadoras mostrando dos resultados distintos de la misma, y a partir de ahí comienza la «guerra» entre los que aseguran que el correcto es uno de ellos y los que abogan por el otro. En esta ocasión, la operación es 8:2(2+2), y los dos resultados posibles son 1 y 16 (también está el «bando» de lo que dicen que la expresión está mal escrita, también lo trataremos más adelante). Hoy vamos a hablar aquí sobre este tema con la intención de disipar todas las dudas que puedan generar este tipo de expresiones.

Los más viejos del lugar recordarán que no es la primera vez que hablamos sobre este tema en el blog. De hecho, hay una entrada dedicada a la jerarquía de las operaciones a raíz de la aparición de otra expresión combinada viral igual que la anterior: 6:2(1+2). En aquella ocasión apelábamos a la jerarquía de las operaciones habitual y al siguiente criterio: Varias operaciones del mismo nivel de jerarquía se realizarán de izquierda a derecha. En esta ocasión vamos a bucear en el álgebra para comprender el significado de las operaciones para así entender el porqué de la utilización de dicho criterio.

Por si alguien duda, el valor de esta expresión combinada es 16. Aparte de esta respuesta (que, repito, es la correcta), voy a comentar algunas de las cosas que he visto por internet en relación con este problema:

  • La respuesta es 1 porque la yuxtaposición tiene prioridad

    Es decir, que si la expresión fuera 8:2 \cdot (2+2) daría 16, pero como el · no está escrito se entiende que el producto 2(2+2) tiene prioridad, por lo que, después del paréntesis, es la primera operación que hay que realizar. Y no son pocos los que lo defienden, incluso hay calculadoras y aplicaciones matemáticas que están programadas para funcionar de esa forma.

    Bien, pues no hay ningún fundamento matemático en el hecho de dar prioridad a la yuxtaposición. Más adelante veremos el porqué.

  • El valor puede ser 1 o 16, depende de cómo lo hagas

    Evidentemente, depende de cómo lo hagas…si lo haces mal te da 1 y si lo haces bien te da 16.

    Bromas aparte, esta forma de ver el asunto se ha propagado aún más en este caso, ya que hay varios medios de comunicación importantes que han cometido un error terrible.

    La cuestión es la siguiente. En el mundo anglosajón se estila usar dos reglas mnemotécnicas para esto de la jerarquía de las operaciones: PEMDAS (Parentheses (Paréntesis), Exponents (Exponentes) , Multiplication-Division (Multiplicación-División), Addition-Subtraction (Suma y resta)) y BODMAS Brackets (Paréntesis), Orders (Exponentes), Division-Multiplication (División-Multiplicación), Addition-Subtraction (Suma y resta)). Luego cada uno se inventa una frasecita cuyas palabras comiencen con cada una de las letras del acrónimo y así se lo aprende más fácilmente.

    Bien, pues lo que han hecho estos medios (no voy a poner enlaces, no quiero contribuir a la difusión de esos errores) es interpretar el MD de PEMDAS como que con este «método» la multiplicación tiene prioridad sobre la división, y el DM de BODMAS como que aquí es la división la que prioriza sobre la multiplicación. Ole.

    Pues no, señoras y señores, no es así la cosa: ni la multiplicación tiene prioridad sobre la división por el mero hecho de serlo, ni al contrario, al igual que la suma, por el hecho de ser una suma, no tiene prioridad sobre la resta, ni al revés. En los próximos párrafos veremos el porqué.

  • La expresión está mal formulada, no podemos saber cómo calcularla si no me ponen ciertos paréntesis

    A esta última opción se han adherido muchas personas. Básicamente dicen que, después de hace el 2+2 no saben si tienen que hacer primero la división o la multiplicación, ya que es necesario indicar la prioridad con otros paréntesis. Vamos, que es obligatorio que la expresión inicial venga escrita así

    (8:2)(2+2)

    o así

    8:(2(2+2))

    para que podamos saber el orden en el que tenemos que realizar los cálculos.

    Bien, podría ser, ya que es cierto que en ocasiones podemos encontrarnos con expresiones de este tipo que de verdad están mal formuladas. Por ejemplo, una expresión del tipo 7-2+5) está, claramente, mal formulada (o sobra ese paréntesis o falta un paréntesis de apertura), y una expresión del tipo \pi+ \cdot 4-5 también lo está (no hay interpretación que tenga sentido para ese + \cdot que aparece en ella).

    Pero no es éste el caso que nos ocupa. Porque, pregunto a quienes piensan de esta forma, ¿la expresión 19-5+7 está bien o mal formulada? Bien formulada, es evidente, ¿verdad? Con un resultado claro, que no genera la más mínima duda, ¿verdad? En nada veremos qué relación tiene esto con la cuestión que nos ocupa hoy.

    (Nota: Sobre esto, está claro que añadir los paréntesis en uno u otro sentido aclara más el tema para la mayoría, de eso no hay duda. Ahora, pienso que la solución a este tipo de cosas no puede ser añadir unos paréntesis innecesarios para «quitarnos» de encima el supuesto problema. Esta solución me parece más bien un parche que quieren poner quienes no quieren profundizar en el tema o quienes, simplemente, no entienden los fundamentos matemáticos del mismo. Y, si nos vamos a la enseñanza de las matemáticas, el hecho de añadir símbolos innecesarios hace que, a la larga, los alumnos se hagan unos líos tremendos. Al menos eso es lo que me dice mi propia experiencia.)

Bien, pues llegó el momento de responder a todos los interrogantes que hemos dejado por el camino hasta ahora. Para ello, tenemos que acudir al álgebra e ir «hacia atrás», hacia las definiciones y propiedades de los números reales que nos dejan operar con la libertad y la comodidad con la que lo hacemos habitualmente.

El conjunto \mathbb{R} de los números reales junto con las operaciones suma, +, y producto, \cdot, habituales es (entre otras cosas) una estructura algebraica denominada cuerpo, que se suele denotar como (\mathbb{R},+,\cdot). Esto, para nosotros, significa muchas cosas, pero por ahora solamente voy a citar dos de ellas: tanto la suma como el producto usuales son operaciones asociativas. Esto quiere decir que, dados a,b,c tres números reales, se verifican las dos propiedades siguientes:

\begin{matrix} (a+b)+c=a+(b+c) \\ \\ (a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c) \end{matrix}

En ambos casos, da igual si primero asocio los dos elementos que me encuentro a la izquierda y luego el resultado de operarlos con el de la derecha, o si asocio el primero con el resultado de asociar los dos de la derecha. Esto, en la práctica, nos permite deshacernos de esos paréntesis que viene en las respectivas propiedades asociativas (los convierte en innecesarios), ya que el resultado es el mismo en ambos casos.

Por otro lado, la yuxtaposición de dos números reales x e y, que se escribe xy, se define como el producto de los mismos. Esto es:

xy:=x \cdot y

Con esto desmentimos a quienes piensan que la yuxtaposición da prioridad. No, no es así. La yuxtaposición es lo que llamamos un abuso de notación, algo así como un «ahorro» a la hora de escribir (nos ahorramos el punto). Así que no, la yuxtaposición no da prioridad.

Vamos ahora al «turrón»: ni la resta ni la división son operaciones. Mientras se van recuperando los que se han caído de la silla, voy a aclarar un poco más este tema: no son operaciones que tengan todas las propiedades «buenas» que necesitaríamos para operar con total libertad. Así mejor, ¿verdad?

Ambas son, de nuevo, abusos de notación relacionados con la suma y la multiplicación. Algo así como formas de escribir ciertas sumas o productos de otra manera. Esto tiene que ver con que tanto la suma como el producto de números reales poseen elemento simétrico, que, para un elemento x, en general se representa como x^{-1}. Más concretamente (y tomando {0} como el neutro de la suma y 1 como el neutro para el producto):

  • Dado un elemento x \in \mathbb{R}, existe un único elemento y \in \mathbb{R} que cumple que x+y=y+x=0. Este elemento y se denota, en general, como x^{-1}. Para el caso de la suma, se suele denominar opuesto y la notación habitual es x^{-1}=-x.

    A partir de esto, se define la resta de dos números reales a y b como la suma de a y el opuesto de b:

    a-b:=a+(-b)

  • Dado un elemento x \in \mathbb{R} distinto de cero, existe un único elemento y \in \mathbb{R} que cumple que x \cdot y=y \cdot x=1. Este elemento y se denota, en general, como x^{-1}. Para el caso del producto, se suele denominar inverso y la notación habitual es x^{-1}={1 \over x} ó x^{-1}=1/x.

    A partir de esto, se define la división de dos números reales a y b (con b\ne 0) como el producto de a y el inverso de b:

    a : b=a \cdot b^{-1}

    Además, las notaciones {a \over b} y a/b tienen el mismo significado que la notación a:b.

Ya, por fin, tenemos todos los ingredientes necesarios para responder a nuestro 8:2(2+2). Vamos a ello.

Para quienes dicen que la expresión está mal escrita, mal formulada, y que no pueden saber cuál de las operaciones realizar primero si no se les indica con paréntesis, les pongo un ejemplo del estilo pero con suma y resta. Sí, el que puse unos párrafos más arriba:

Si no se puede aplicar el criterio de «operaciones al mismo nivel de jerarquía se realizan de izquierda a derecha», ¿cuál es el valor de la operación combinada 19-5+7?

En la jerarquía de las operaciones aritméticas, la suma y la resta están al mismo nivel. Si no imponemos el criterio de «izquierda a derecha», podríamos hacer primero la resta y luego la suma, con resultado 21, o primero la suma y luego la resta, con resultado 7…o decir que la expresión está mal formulada por no contener unos paréntesis que me indiquen qué operación tengo que hacer primero.

En este punto, generamente te dirán que «la resta es lo mismo que sumar el inverso» (como ya hemos comentado unos párrafos más arriba). Por tanto, y con toda la razón del mundo, la expresión 19-5+7 se convierte en 19+(-5)+7 y, usando la asociatividad de la operación suma, podemos hacer esas dos operaciones en el orden que queramos…e incluso cambiando de orden los sumandos, ya que la suma en los números reales también es conmutativa. El resultado, lo hagamos como lo hagamos, es 21, como era más que evidente.

Esta ahora clara la analogía, ¿verdad? Esos mismos que te dicen esto para suma-resta no admiten/no son capaces de comprender que en el caso de multiplicación-división la situación es exactamente igual. Veámoslo paso a paso con nuestra «expresión viral» (usaremos que el inverso de 2 es 1/2):

\begin{matrix} \mathbf{8:2(2+2)}= \\  \mbox{En primer lugar, operamos el par\'entesis} \\  =\mathbf{8:2(4)}= \\  \mbox{Eliminamos los par\'entesis (ya son innecesarios) y} \\  \mbox{convertimos la yuxtaposici\'on en un producto} \\  =\mathbf{8:2 \cdot 4}= \\  \mbox{Y ahora escribimos la divisi\'on como lo que es,} \\  \mbox{el producto por el inverso} \\  =\mathbf{8 \cdot \cfrac{1}{2} \cdot 4} \\  \mbox{Ahora, por la asociatividad del producto en los reales, podemos} \\  \mbox{realizar las operaciones en el orden que queramos. El resultado es} \\  \mathbf{8:2(2+2)=8 \cdot \cfrac{1}{2} \cdot 4= 4 \cdot 4=16}  \end{matrix}

El problema principal que hay en operaciones así es que tal cual están definidas, ni la resta ni la división son asociativas, ni pueden «relacionarse de manera asociativa» con su operaciones amigas (la suma y el producto respectivamente). Por ello, y para no cometer errores, lo ideal es pasar a sus respectivas definiciones (suma del opuesto y producto por el inverso). Se acabaron los problemas…

o no Todavía nos queda un tema que comentar. Sí, el del dichoso criterio: ¿por qué eso de «operaciones al mismo nivel de jerarquía se operan de izquierda a derecha»? ¿De dónde ha salido eso? ¿Tiene sentido?

Ahora mismo no tengo información sobre cuándo comenzó a utilizarse ese criterio, ni siquiera si es de uso habitual en todo el planeta (en mi opinión, debería serlo). Lo que sí sé es que es un criterio infalible para dar con el resultado correcto respetando las propiedades de las operaciones y sin introducir paréntesis innecesarios, evitándonos así tener que «traducir» la resta a suma y la división a multiplicación. Es decir, es un criterio totalmente coherente con las operaciones en los números reales, que respeta todas las propiedades de las mismas y que nos da el resultado correcto siempre, y además sin meter símbolos «extra». ¿No os parecen suficientes razones para utilizarlo? Yo, al menos, lo tengo bastante claro.


Sí, me ha salido un artículo más bien largo, pero es lo que tiene ir hacia atrás, a las definiciones de los objetos matemáticos: que hay que contar muchas cosas sin dar nada por sentado y que hay que ir dando pasos muy cortitos para no meter la pata por el camino. Lo que espero es que todos los interesados en el tema lean el artículo con calma, intentando comprender todo lo comentado en él, y que, si lo ven oportuno, lo difundan para ayudar así a resolver todas las dudas que suelen aparecer con estas expresiones. Y, como siempre, si alguien no entiende algo de lo comentado aquí es totalmente libre de plantear sus dudas en los comentarios de esta entrada.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

55 Comments

  1. Muy interesante artículo, que permite recordar algo de las estructuras algebraicas en las operaciones según el conjunto de números usados. En este caso el cuerpo de los reales.
    Recuerdo que cuando era jovencito, allá por el principio de los 70 usaba una calculadora HP que usaba notación polaca. Esta notación indicaba estrictamente la prioridad de las operaciones, evitando el uso de los parénrtesis. Le daba cierta rápidez a las operaciones, teniendo en cuenta la poca velocidad de los microprocesadores de entonces..
    ¿No sé, si esta notación pudiera ser un posible tema de uno de tus siempre interesantes artículos?
    Muchas gracias por tu trabajo.

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    • Miguel Ángel, aquí el quid está en considerar si el símbolo / abarca solo al 2 o al paréntesis también. Esa es la (posible) ambigüedad.

      Sigo pensando que lo de la escritura de izquierda a derecha es producto de nuestra cultura occidental.

      Me pregunto si un chino o un arabe tendrían el mismo problema.

      Coincido con tu análisis de que los paréntesis son un parche. Y que la “regla” de izquierda a derecha es lo suficientemente potente como para resolver esto.

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      • Tito Eliatron, si aceptamos que a:b, a/b y {a \over b} sin exactamente lo mismo (y creo que no hay duda en esto), entonces, en ausencia de paréntesis, esa / sólo abarcaría al 2. Al menos así lo veo yo.

        Y sí, es posible que el tema de «izquierda a derecha» venga, en parte, por nuestra propia escritura. Pero es un criterio tan potente en estos casos que, pienso, merece la pena utilizarlo.

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        • Coincido con Tito Eliatron: Si consideramos, *por convenio*, que multiplicación y división tienen exactamente la misma prioridad, entonces existe ambigüedad en la sintaxis de la expresión.

          Es decir, que entonces está tan justificado invertir sólo el 2 como el 2·4 a fin de «transformar» la expresión en un producto de 2 ó 3 factores, respectivamente.

          La definición de la división no es, por tanto, suficiente para deshacer la ambigüedad.

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          • No puedes invertir el 2·4 entero, ya que para entender que ese producto es el que está en el denominador de la expresión debería haber un paréntesis que lo indique: (2·4). Como ese paréntesis no está, la única interpretación razonable es que el denominador es solamente el 2.

            Por tanto, usando la definición de división queda la cuestión perfectamente clara y determinada, sin un ápice de ambigüedad.

          • Es 1. 8: 2 (2+2)
            8/2 * 1/(2+2)
            4* 1/4
            4/4=1

      • Y entonces porque a la hora de escribir la expresión ponemos unos parentesis en un lado y en el otro no ? Es decir, si nos decidimos a poner parentesis para aclarar las cosas, los ponemos en todas las partes que queremos aclarar.

        De que sirve poner 8:2(2+2) cuando lo que realmente uno quiere expresar es 8:(2(2+2)) ?

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        • Es que precisamente la idea no es parentizarlo todo, más bien al contrario, se trata de utilizar la cantidad de paréntesis mínima posible. Los paréntesis solo se deben colocar como un elemento desambiguador. Y usarlos junto con las reglas de prioridad de operadores, donde precisamente para evitar ambigüedad se introduce que los operadores de igual prioridad se operarán de izquierda a derecha. El uso conjunto los tres sistemas ( reglas de prioridad, uso de paréntesis para desambiguar, e interpretación de izquierda a derecha en el sentido de lectura para operadores de igual prioridad) debería ser suficiente para producir expresiones algebraicas correctas tanto en la sintaxis como en la semántica.

          Saludos.

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    • Hola, muy buena entrada de este post ^DiAmOnD^. Solo quisiera agregar un comentario vinculado a esto y a la entrada/post dedicada a la jerarquía de las operaciones.
      Nuevamente usando una Casio se puede obtener el resultado correcto si se usa el símbolo de fracción /, en el teclado:
      ab/c y el resultado incorrecto con el de división \div. Casio sigue manteniendo sus algoritmos y con el síndrome del paréntesis invisible.
      Salu2

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      • No sabía que había modelos de CASIO que seguían mostrando el resultado incorrecto, tenía entendido que lo habían solucionado en los modelos actuales.

        No tengo por aquí ninguna más o menos moderna con la que probar, pero intentaré hacerlo en todas las que me vaya encontrando.

        Gracias por el dato.

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        • Huola! Como es posible que la expresion/notación x elevado a -1 sea = a -x en el caso de la suma y que luego mas abajo ( explicando la multiplicación) pongamos otra vez x elevado a -1 y en este caso salga 1/x.
          Que pasa? Que para el opuesto es una cosa y para el inverso es otra? Creo que te has equivocado. Por lo demás, genial. Salvo que eres un poco prepotente! Como lo estoy siendo yo ahora jijjij.
          Saludos!

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          • Hay una explicación sencilla.
            Suma y multiplicación son operaciones con elemento neutro (0 y 1) y un opuesto (-x y 1/x) para cada x.
            Si la notación x^-1 te resulta incómoda puedes usar op(x) y tan feliz.

      • Operaciones realizadas con calculadora CASIO fx-82SPXII Iberia

        a) 8÷2x(2+2) = 16
        b) 8÷2(2+2) = 1

        Ahora bien, en la operación «b» la calculadora modifica la expresión, añadiendo unos paréntesis, 8÷(2(2+2)).
        Según la calculadora la expresión 8÷2(2+2) es ambigua y necesita paréntesis para darle sentido.

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      • En la facultad sí que se consideraba ambiguo el 10^2^3.
        Requería paréntesis

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        • ¿Cuál seria enyonces el resultado de 1/2pi ?

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          • Tal cual está escrito, 1/2pi=0’5*pi.

          • 1/pi = i/p
            :b

    • Muy ilustrativa su exposición, me agradó mucho el poder coincidir plenamente con usted, ya que yo soy un matemático autodidacta. Gracias por ampliar y confirmar lo poquito que he aprendido y sigo aprendiendo.

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  2. Para mi la cuestión esta resulta, aplicamos la regla PEMDAS, que dice: como no hay jerarquía explícita entre multiplicaciones y división, debe realizarse la operación de izquierda a derecha, dando entonces prioridad a la operación indicada a la izquierda. No hay nada que discutir, la respuesta es 16.‬

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  3. Excelente trabajo, me permitió recordar con claridad las operaciones de los Reales. Saludos.

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  4. Saludos ^DiAmOnD^
    Totalmente de acuerdo con tu buen post. Solo pedirte me aclares una duda, las operaciones son adición y multiplicación o suma y producto pues mucha gente los confunde (me incluyo, a veces digo uno por otro), los textos formales hablan de adición y multiplicación y muchos textos escolares y/o en la web usan indistintamente lo uno u otro. Agradezco tu aclaración de antemano

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    • Si no me equivoco, el nombre no es importante. Esto es: adición=suma y producto=multiplicación.

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    • La propiedad más importante y que no mencionas es la propiedad de distribución
      a(b+c)=ab+ac.
      Esto hace que los paréntesis no estén de sobra. Estos indican que se debe hacer una multiplicación con el número a la derecha fuera del paréntesis. Así que el resultado es 1. Mil ejercicios del Baldor como castigo a los que no apliquen bien esta propiedad. O unos reglasos en los dedos. Jajaja

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      • ¿Por qué hay que hacer ese producto antes que la división si no hay un paréntesis que te obligue a ello?

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        • tengo una duda es lo mismo escribir así:
          a) 8÷2x(2+2) = ?
          b) 8÷2(2+2) = ?
          a la opción «a» no se puede aplicar la regla de distribución y te saldrá 16, mientras que a la opción «b» si se puede aplicar la regla de distribución siendo: 8÷2(2+2)=8÷(4+4)=8÷(8)=8÷8=1
          en un comentario anterio publicaron la prueva con una calcularoda e ingresaron los datos, botando los siguientes resultados:
          a) 8÷2x(2+2) = 16
          b) 8÷2(2+2) = 1
          disculpen pero no soy experto en la materia y no puedo defender lo que dije.

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  5. Hola, mis felicitaciones por el artículo que disipa toda duda ante este ejercicio que deja en claro que el problema es la mala interpretación de las reglas establecidas.
    Una aclaración que, me imagino puede ser un lapsus, el opuesto no se escribe como x elevado a -1, esa notación indica inverso y corresponde a 1/x.

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    • En principio, la notación del simétrico de x es x^{-1}. Después, dependiendo de si la notación es aditiva o multiplicativa, pasa a denotarse como -x o como 1/x.

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      • Gracias por la aclaración, mis felicitaciones nuevamente, lo que me resultó raro ver es la igualdad (x ^ -1)= – x

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        • Cuando a mí me explicaron las operaciones con números reales, y empezamos a operar siempre aplicabamos esta máxima, primero quitamos llaves luego corchetes y luego paréntesis, y luego potencias o raíces, a continuación división o multiplicación y por último sumas o restas. Nos has dado una clase magistral. Muy agradecida

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  6. Una consulta a ver qué pensáis los del gremio sobre algo que hago en clase (llevo 4 años de profesor en secundaria; cada vez menos pero todavía me siento novato).

    A mí me molesta mucho el uso de los dos puntos para la división y ya desde el principio del curso en 1º de ESO hago la transición a escribir la línea horizontal. Por ejemplo, en el tema de propiedades de las potencias se me hace horroroso lo de a^n : a^m = a^(n-m) y me parece que se visualiza mucho mejor con la línea horizontal.

    Durante un tiempo manejo las dos notaciones en paralelo y les convenzo (vale, les manipulo) de que es mucho mejor la línea. Me funciona bastante bien y al final del curso ya no usamos los dos puntos. No he tenido problemas de confusión en el tema de fracciones (aunque hay que comentarlo).

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    • Tengo una duda accesoria: ¿se consideró en algún momento que ÷ era una división especial que se calculaba después?
      2+3
      De modo que 2+3÷4+5=—–
      4+5

      He leído algunas páginas que mencionaban esta circunstancia.

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      • Es la primera vez que leo algo así. Hasta donde yo sé, el símbolo ÷ denota una división «de las de toda la vida».

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  7. Gracias por el aporte y por el fundamento matemático; sin embargo considero que en la frase «Ambas son, de nuevo, abusos de notación relacionados con la suma y la división» es el párrafo 20 considero que es Ambas son, de nuevo, abusos de notación relacionados con la suma y la multiplicación.

    Atte. Luis Argueta Mogollón.

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    • Cierto, había una errata en ese lugar. Ya está arreglada. Muchas gracias por el aviso :).

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  8. El resultado es 1.
    8÷2(2+2)
    8/2(2+2) si da 16
    Es la escritura matemática la que os falla.
    __8___
    2(2+2) =8÷2(2+2)

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    • Sería así si viniera escrito de esta forma: 8÷(2(2+2)).

      Como no es así, no hay nada que indique que el signo de división ÷ añada esos paréntesis porque sí.

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  9. Pero además de la opción en la que multiplicamos 8 por 1/2 que daría esta forma 8/2×4= 16 hay otra en la cual en vez de hacer 8 por 1/2 lo hacemos con el 4 que daría este resultado 8×4/2= 8×2= 16 y que confirma que el resultado es 16 y no 1

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  10. Una pregunta:
    ¿4:2x = 2:x o 4:2x = 2x?

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    • Touché! Aquí igual te dice que sí que la yuxtaposición es «superior» (porque hay una «x» o porque hoy es 6 y es un número perfecto o algo), y entonces me como el gorro; o por el contrario te dice que 4:2x = 2x y entonces también me como el gorro…

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    • Respuesta: 4:2x=4:2 \cdot x=4 \cdot \cfrac{1}{2} \cdot x=2 \cdot x=2x.

      No, la yuxtaposición no tiene prioridad (es simplemente otra forma de escribir una multiplicación).

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      • El problema (entiendo que enteramente mío y puramente mental!) es que yo leo «cuatro entre dos equis». No se me ocurre leer «cuatro entre dos por equis». Y por eso me parece absolutamente imposible interpretarlo de otro modo.

        Cambio la pregunta: Si te dicen en voz alta «escribe: cuatro entre dos equis» ¿qué escribes, y qué interpretas? ¿Sigue saliéndote «2x» al hacer eso?

        Perdona si soy pesado pero es que lo veo tan transparente que me parece rarísimo que se vea de otro modo.

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        • La frase «cuatro entre dos equis», está escrita en un lenguaje protoalgebraico, lo que induce cierta ambigüedad. En la transición entre:
          «problema de texto»—>»planteamiento protoalgebraico»—>»planteamiento algebraico»
          se debería hacer el suficiente esfuerzo para que desapareciese dicha ambigüedad, de modo que si el problema de texto hiciera referencia a repartir cuatro entre » el doble de cierta cantidad»( siendo esa cierta cantidad desconocida), la expresión algebraica correspondiente sería 4/(2x) – siendo aquí obligatorio el uso de paréntesis – , mientras que si si fuera del estilo de «repartir cuatro entre dos, y luego, el resultado asignarlo a cada uno de los individuos de cierto colectivo»( siendo desconocida la cantidad de individuos de dicho colectivo), la correspondiente expresión algebraica habría de ser 4/2x. En esta última no es necesario el paréntesis, si tal como se dice en el post, operaciones de igual prioridad se realizan de izquierda a derecha.
          Saludos.

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      • Para hacer la operación 8:(2·x) o 8:2·x, me parece más lógico poner la primera como 8:2x y dejar la segunda como está, con el punto. Ya sé que la yuxtaposición no tiene preferencia, pero creo que sustituir el signo de multiplicación por la yuxtaposición solo se debe hacer si no hay dudas en la operación.

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  11. Aplicando la distributiva:
    8:2×2+2×2=8:4+2×2=2+2×2=6

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  12. Lo comentado por último era lo obvio no se porque marean tanto la perdiz. Saludos

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  13. Ciertamente es definitivo.

    Ha quedado clara la explicación y el origen.

    Muy agradecido por el artículo.

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  14. Gracias por tu post. Como profesor de Matemáticas, me sangra la vista viendo cómo algo así se hace viral… cuando me aseguro de que mis alumnos de 1ºESO sepan que, en cadenas de multiplicaciones y divisiones sin paréntesis que indiquen prioridad, deben operar en el orden de lectura (y bueno, lo aprenden y ya está, aunque no sepan que (R,+,·) es un cuerpo xD). Para mí es igual de importante que hacerles la demostración de que a^0=1.

    Espero que haya muchos millones más de personas que vean absurda la viralidad de ese ejercicio, cuando no tiene ninguna ambigüedad, a no ser que no hayas pasado (y aprovechado) 1º ESO, claro.

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    • Que se haga viral tiene la ventaja de poder permitirnos volver a aclarar, por n-ésima vez, algo que para mucha gente no quedó ni queda claro durante su etapa de educación formal. Hay que verlo por el lado positivo.

      Respecto al ejemplo de las calculadoras que aparece en el post, que parece ser el causante de esta confusión, creo que sí suele estar indicado en las instrucciones de las mismas. Otra cosa distinta es que la gente se las lea; y aún más difícil, que las entienda. Si mal no recuerdo, en mi calculadora TI-92, en el manual de usuario, ponía de forma explícita que la concatenación de dos variables x e y, escrita como «xy», producía una nueva variable de nombre precisamente «xy», que era distinta de x, de y, y que no coincidía con su producto. Si se quería denotar el producto de las variables x e y era obligatorio hacerlo con el operador de multiplicación «x.y». Fin de la ambigüedad entre concatenación y producto. Otra cosa totalmente distinta es que, calculadoras de marcas distintas o incluso modelos distintos de la misma marca, utilicen criterios distintos o no unificados. Origen de muchas confusiones.

      Saludos.

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    • Ojalá con el tiempo creciera la gente que vea esto absurdo…porque ya entienden cómo deben operarlo.

      Por cierto, ya que lo mencionas me gustaría ver cómo demuestras que a^0=1 sin usar en ningún sitio lo que quieres demostrar.

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  15. PROFESOR, en vista de tanta polémica e incertidumbre acerca del resultado final del problema yo decidí usar otra ruta para legar al resultado y comprobar su veracidad o falsedad en la respuesta final ósea opte por comprobar cuál de los dos resultados era verdad, o si ambos son ciertos o si ninguno es cierto e hice así:
    1 SABEMOS QUE HAY DOS POSIBLES RESPUESTAS 1 o 16
    Por lo tanto el ejercicio quedaría planteado así:
    A. 8 ÷ 2 (2+2) = 1 o bien B. 8 ÷ 2 (2+2) = 16
    Las dos posibles respuestas
    2 VIENDO EL PLANTEAMIENTO,DEL EJERCICIO, SE VE CLARAMENTE QUE LA PARTE QUE ES CONFUSA DE ENTENDER CON CLARIDAD ES EL SEGUNDO TERMINO ESTE: 2 (2+2) . Decidí desarrollar esta parte para buscar el resultado final y exacto, e hice así : sume los dos números del paréntesis 2 +2 = 4 y a este resultado lo multiplique por el 2 que está afuera del paréntesis dando como resultado final 8.
    OSEA QUE LA EXPRESION 2 (2+2) ES IGUAL A 8
    3 CON ESTA INFORMACION REEMPLAZE EN LOS EJERCICIOS ORIGINALES A Y B DEL PASO 1 ESTA PARTE 2 (2+2) POR EL 8 , QUEDANDO ASI :
    A. 8 ÷ 8 = 1 B. 8 ÷ 8 = 16
    4. YA TENIENDO ESO SIMPLEMENTE, ES HACER LAS OPERACIONES EN A y en B
    Y VERIFICAR EN CUAL DE LOS DOS SE CUMPLE CON TODO, y como vemos en el lado A si hacemos la operación de división 8 DIVIDIDO EN 8 ES IGUAL A 1 lo cual SI es VERDAD , mientras que para la parte B 8 DIVIDIDO EN 8 NO ES IGUAL A 16, y por eso es FALSO.
    5. con lo comprobado en el paso anterior LLEGUE A LA CONCLUSION que la respuesta correcta al ejercicio es 1 y no 16.
    Espero sus comentarios, buscando siempre aprender y encontrar soluciones coherentes y reales, sin discusiones bobas que a nada conducen, lo hice usando jerarquías y también a mi me da 1, GRACIAS Y CORDIAL SALUDO. Si algo esta mal o no funciona me gustaría discutirlo amablemente con usted.

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    • En concreto, tu error está en
      «Decidí desarrollar esta parte para buscar el resultado final y exacto, e hice así : sume los dos números del paréntesis 2 +2 = 4 y a este resultado lo multiplique por el 2 que está afuera del paréntesis dando como resultado final 8»
      No hay ninguna razón para hacer esa multiplicación antes que la división. Si hubieras usado las jerarquías correctamente habrías realizado las multiplicaciones y divisiones consecutivamente de izquierda a derecha y habrías obtenido 16.

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  16. Un ejemplo en el que un reconocido matemático da prioridad a la yuxtaposición.
    P(A) = l(A)/2pi,
    página 38, VÉLEZ IBARROLA, Ricardo (2004), «Cálculo de probabilidades 2». Ediciones Académicas SA.

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    • Cierto. Y si intentas teclear eso en la inmensa mayoría de calculadoras, o programarlo en lenguajes imperativos tipo c, c++ o java, se interpretará de izquierda a derecha ante operadores de la misma prioridad….

      https://es.wikibooks.org/wiki/Programación_en_Java/Precedencia_de_operadores

      Y en el mismo libro que citas, ante expresiones más complicadas, el autor decide escribirlo con barra horizontal, por ej. pag. 171, o parentizar el denominador, pag. 174. Además, en dicho texto, es fácil deducir por el contexto cual es la expresión correcta, por el significado que ha de tener ( Laplace). Estamos usando el contexto para «entender» la expresión.

      En definitiva, en mi opinión, tanto si es una expresión algebraica o numérica , cuanto más cerca de «teclearlo en una máquina» estés, más cuidado tendrás que tener en respetar el orden de prioridad que te imponga la máquina utilizando paréntesis si fuera necesario. Y esto se complica cuando hay varias formas de introducir fracciones, por ej, en calculadoras casio….

      En el ámbito docente, en secundaria, en operaciones combinadas, como indicaban más arriba, lo que han de aprender es tanto la precedencia de operadores, como el uso de paréntesis para poder modificarla. Y si, lo habitual es contarles que ante operadores de igual prioridad, como producto y división, han de operarlos de izquierda a derecha.

      Saludos.

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