Es ya un clásico de internet en general y de las redes sociales en particular. Cada cierto tiempo aparece una operación combinada acompañada de imágenes de calculadoras mostrando dos resultados distintos de la misma, y a partir de ahí comienza la «guerra» entre los que aseguran que el correcto es uno de ellos y los que abogan por el otro. En esta ocasión, la operación es 8:2(2+2), y los dos resultados posibles son 1 y 16 (también está el «bando» de lo que dicen que la expresión está mal escrita, también lo trataremos más adelante). Hoy vamos a hablar aquí sobre este tema con la intención de disipar todas las dudas que puedan generar este tipo de expresiones.
Los más viejos del lugar recordarán que no es la primera vez que hablamos sobre este tema en el blog. De hecho, hay una entrada dedicada a la jerarquía de las operaciones a raíz de la aparición de otra expresión combinada viral igual que la anterior: . En aquella ocasión apelábamos a la jerarquía de las operaciones habitual y al siguiente criterio: Varias operaciones del mismo nivel de jerarquía se realizarán de izquierda a derecha. En esta ocasión vamos a bucear en el álgebra para comprender el significado de las operaciones para así entender el porqué de la utilización de dicho criterio.
Por si alguien duda, el valor de esta expresión combinada es 16. Aparte de esta respuesta (que, repito, es la correcta), voy a comentar algunas de las cosas que he visto por internet en relación con este problema:
- La respuesta es 1 porque la yuxtaposición tiene prioridad
Es decir, que si la expresión fuera
daría
, pero como el · no está escrito se entiende que el producto
tiene prioridad, por lo que, después del paréntesis, es la primera operación que hay que realizar. Y no son pocos los que lo defienden, incluso hay calculadoras y aplicaciones matemáticas que están programadas para funcionar de esa forma.
Bien, pues no hay ningún fundamento matemático en el hecho de dar prioridad a la yuxtaposición. Más adelante veremos el porqué.
- El valor puede ser 1 o 16, depende de cómo lo hagas
Evidentemente, depende de cómo lo hagas…si lo haces mal te da 1 y si lo haces bien te da 16.
Bromas aparte, esta forma de ver el asunto se ha propagado aún más en este caso, ya que hay varios medios de comunicación importantes que han cometido un error terrible.
La cuestión es la siguiente. En el mundo anglosajón se estila usar dos reglas mnemotécnicas para esto de la jerarquía de las operaciones: PEMDAS (Parentheses (Paréntesis), Exponents (Exponentes) , Multiplication-Division (Multiplicación-División), Addition-Subtraction (Suma y resta)) y BODMAS Brackets (Paréntesis), Orders (Exponentes), Division-Multiplication (División-Multiplicación), Addition-Subtraction (Suma y resta)). Luego cada uno se inventa una frasecita cuyas palabras comiencen con cada una de las letras del acrónimo y así se lo aprende más fácilmente.
Bien, pues lo que han hecho estos medios (no voy a poner enlaces, no quiero contribuir a la difusión de esos errores) es interpretar el MD de PEMDAS como que con este «método» la multiplicación tiene prioridad sobre la división, y el DM de BODMAS como que aquí es la división la que prioriza sobre la multiplicación. Ole.
Pues no, señoras y señores, no es así la cosa: ni la multiplicación tiene prioridad sobre la división por el mero hecho de serlo, ni al contrario, al igual que la suma, por el hecho de ser una suma, no tiene prioridad sobre la resta, ni al revés. En los próximos párrafos veremos el porqué.
- La expresión está mal formulada, no podemos saber cómo calcularla si no me ponen ciertos paréntesis
A esta última opción se han adherido muchas personas. Básicamente dicen que, después de hace el
no saben si tienen que hacer primero la división o la multiplicación, ya que es necesario indicar la prioridad con otros paréntesis. Vamos, que es obligatorio que la expresión inicial venga escrita así
o así
para que podamos saber el orden en el que tenemos que realizar los cálculos.
Bien, podría ser, ya que es cierto que en ocasiones podemos encontrarnos con expresiones de este tipo que de verdad están mal formuladas. Por ejemplo, una expresión del tipo
está, claramente, mal formulada (o sobra ese paréntesis o falta un paréntesis de apertura), y una expresión del tipo
también lo está (no hay interpretación que tenga sentido para ese
que aparece en ella).
Pero no es éste el caso que nos ocupa. Porque, pregunto a quienes piensan de esta forma, ¿la expresión
está bien o mal formulada? Bien formulada, es evidente, ¿verdad? Con un resultado claro, que no genera la más mínima duda, ¿verdad? En nada veremos qué relación tiene esto con la cuestión que nos ocupa hoy.
(Nota: Sobre esto, está claro que añadir los paréntesis en uno u otro sentido aclara más el tema para la mayoría, de eso no hay duda. Ahora, pienso que la solución a este tipo de cosas no puede ser añadir unos paréntesis innecesarios para «quitarnos» de encima el supuesto problema. Esta solución me parece más bien un parche que quieren poner quienes no quieren profundizar en el tema o quienes, simplemente, no entienden los fundamentos matemáticos del mismo. Y, si nos vamos a la enseñanza de las matemáticas, el hecho de añadir símbolos innecesarios hace que, a la larga, los alumnos se hagan unos líos tremendos. Al menos eso es lo que me dice mi propia experiencia.)
Bien, pues llegó el momento de responder a todos los interrogantes que hemos dejado por el camino hasta ahora. Para ello, tenemos que acudir al álgebra e ir «hacia atrás», hacia las definiciones y propiedades de los números reales que nos dejan operar con la libertad y la comodidad con la que lo hacemos habitualmente.
El conjunto de los números reales junto con las operaciones suma,
, y producto,
, habituales es (entre otras cosas) una estructura algebraica denominada cuerpo, que se suele denotar como
. Esto, para nosotros, significa muchas cosas, pero por ahora solamente voy a citar dos de ellas: tanto la suma como el producto usuales son operaciones asociativas. Esto quiere decir que, dados
tres números reales, se verifican las dos propiedades siguientes:
En ambos casos, da igual si primero asocio los dos elementos que me encuentro a la izquierda y luego el resultado de operarlos con el de la derecha, o si asocio el primero con el resultado de asociar los dos de la derecha. Esto, en la práctica, nos permite deshacernos de esos paréntesis que viene en las respectivas propiedades asociativas (los convierte en innecesarios), ya que el resultado es el mismo en ambos casos.
Por otro lado, la yuxtaposición de dos números reales e
, que se escribe
, se define como el producto de los mismos. Esto es:
Con esto desmentimos a quienes piensan que la yuxtaposición da prioridad. No, no es así. La yuxtaposición es lo que llamamos un abuso de notación, algo así como un «ahorro» a la hora de escribir (nos ahorramos el punto). Así que no, la yuxtaposición no da prioridad.
Vamos ahora al «turrón»: ni la resta ni la división son operaciones. Mientras se van recuperando los que se han caído de la silla, voy a aclarar un poco más este tema: no son operaciones que tengan todas las propiedades «buenas» que necesitaríamos para operar con total libertad. Así mejor, ¿verdad?
Ambas son, de nuevo, abusos de notación relacionados con la suma y la multiplicación. Algo así como formas de escribir ciertas sumas o productos de otra manera. Esto tiene que ver con que tanto la suma como el producto de números reales poseen elemento simétrico, que, para un elemento , en general se representa como
. Más concretamente (y tomando
como el neutro de la suma y
como el neutro para el producto):
- Dado un elemento
, existe un único elemento
que cumple que
. Este elemento
se denota, en general, como
. Para el caso de la suma, se suele denominar opuesto y la notación habitual es
.
A partir de esto, se define la resta de dos números reales
y
como la suma de
y el opuesto de
:
- Dado un elemento
distinto de cero, existe un único elemento
que cumple que
. Este elemento
se denota, en general, como
. Para el caso del producto, se suele denominar inverso y la notación habitual es
ó
.
A partir de esto, se define la división de dos números reales
y
(con
) como el producto de
y el inverso de
:
Además, las notaciones
y
tienen el mismo significado que la notación
.
Ya, por fin, tenemos todos los ingredientes necesarios para responder a nuestro . Vamos a ello.
Para quienes dicen que la expresión está mal escrita, mal formulada, y que no pueden saber cuál de las operaciones realizar primero si no se les indica con paréntesis, les pongo un ejemplo del estilo pero con suma y resta. Sí, el que puse unos párrafos más arriba:
Si no se puede aplicar el criterio de «operaciones al mismo nivel de jerarquía se realizan de izquierda a derecha», ¿cuál es el valor de la operación combinada
?
En la jerarquía de las operaciones aritméticas, la suma y la resta están al mismo nivel. Si no imponemos el criterio de «izquierda a derecha», podríamos hacer primero la resta y luego la suma, con resultado , o primero la suma y luego la resta, con resultado
…o decir que la expresión está mal formulada por no contener unos paréntesis que me indiquen qué operación tengo que hacer primero.
En este punto, generamente te dirán que «la resta es lo mismo que sumar el inverso» (como ya hemos comentado unos párrafos más arriba). Por tanto, y con toda la razón del mundo, la expresión se convierte en
y, usando la asociatividad de la operación suma, podemos hacer esas dos operaciones en el orden que queramos…e incluso cambiando de orden los sumandos, ya que la suma en los números reales también es conmutativa. El resultado, lo hagamos como lo hagamos, es
, como era más que evidente.
Esta ahora clara la analogía, ¿verdad? Esos mismos que te dicen esto para suma-resta no admiten/no son capaces de comprender que en el caso de multiplicación-división la situación es exactamente igual. Veámoslo paso a paso con nuestra «expresión viral» (usaremos que el inverso de es
):
El problema principal que hay en operaciones así es que tal cual están definidas, ni la resta ni la división son asociativas, ni pueden «relacionarse de manera asociativa» con su operaciones amigas (la suma y el producto respectivamente). Por ello, y para no cometer errores, lo ideal es pasar a sus respectivas definiciones (suma del opuesto y producto por el inverso). Se acabaron los problemas…
…o no Todavía nos queda un tema que comentar. Sí, el del dichoso criterio: ¿por qué eso de «operaciones al mismo nivel de jerarquía se operan de izquierda a derecha»? ¿De dónde ha salido eso? ¿Tiene sentido?
Ahora mismo no tengo información sobre cuándo comenzó a utilizarse ese criterio, ni siquiera si es de uso habitual en todo el planeta (en mi opinión, debería serlo). Lo que sí sé es que es un criterio infalible para dar con el resultado correcto respetando las propiedades de las operaciones y sin introducir paréntesis innecesarios, evitándonos así tener que «traducir» la resta a suma y la división a multiplicación. Es decir, es un criterio totalmente coherente con las operaciones en los números reales, que respeta todas las propiedades de las mismas y que nos da el resultado correcto siempre, y además sin meter símbolos «extra». ¿No os parecen suficientes razones para utilizarlo? Yo, al menos, lo tengo bastante claro.
Sí, me ha salido un artículo más bien largo, pero es lo que tiene ir hacia atrás, a las definiciones de los objetos matemáticos: que hay que contar muchas cosas sin dar nada por sentado y que hay que ir dando pasos muy cortitos para no meter la pata por el camino. Lo que espero es que todos los interesados en el tema lean el artículo con calma, intentando comprender todo lo comentado en él, y que, si lo ven oportuno, lo difundan para ayudar así a resolver todas las dudas que suelen aparecer con estas expresiones. Y, como siempre, si alguien no entiende algo de lo comentado aquí es totalmente libre de plantear sus dudas en los comentarios de esta entrada.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Muy interesante artículo, que permite recordar algo de las estructuras algebraicas en las operaciones según el conjunto de números usados. En este caso el cuerpo de los reales. Recuerdo que cuando era jovencito, allá por el principio de los 70 usaba una calculadora HP que usaba notación polaca. Esta notación indicaba estrictamente la prioridad de las operaciones, evitando el uso de los parénrtesis. Le daba cierta rápidez a las operaciones, teniendo en cuenta la poca velocidad de los microprocesadores de entonces.. ¿No sé, si esta notación pudiera ser un posible tema de uno de tus siempre interesantes artículos? Muchas gracias… Lee más »
Miguel Ángel, aquí el quid está en considerar si el símbolo / abarca solo al 2 o al paréntesis también. Esa es la (posible) ambigüedad.
Sigo pensando que lo de la escritura de izquierda a derecha es producto de nuestra cultura occidental.
Me pregunto si un chino o un arabe tendrían el mismo problema.
Coincido con tu análisis de que los paréntesis son un parche. Y que la “regla” de izquierda a derecha es lo suficientemente potente como para resolver esto.
Tito Eliatron, si aceptamos que
,
y
sin exactamente lo mismo (y creo que no hay duda en esto), entonces, en ausencia de paréntesis, esa / sólo abarcaría al 2. Al menos así lo veo yo.
Y sí, es posible que el tema de «izquierda a derecha» venga, en parte, por nuestra propia escritura. Pero es un criterio tan potente en estos casos que, pienso, merece la pena utilizarlo.
Coincido con Tito Eliatron: Si consideramos, *por convenio*, que multiplicación y división tienen exactamente la misma prioridad, entonces existe ambigüedad en la sintaxis de la expresión.
Es decir, que entonces está tan justificado invertir sólo el 2 como el 2·4 a fin de «transformar» la expresión en un producto de 2 ó 3 factores, respectivamente.
La definición de la división no es, por tanto, suficiente para deshacer la ambigüedad.
No puedes invertir el 2·4 entero, ya que para entender que ese producto es el que está en el denominador de la expresión debería haber un paréntesis que lo indique: (2·4). Como ese paréntesis no está, la única interpretación razonable es que el denominador es solamente el 2.
Por tanto, usando la definición de división queda la cuestión perfectamente clara y determinada, sin un ápice de ambigüedad.
Considerando la expresión 8 : 2 · 4, – Aceptemos la refutación: «para entender que el producto 2·4 está en el denominador de la expresión (cociente) debería haber un paréntesis que lo indique: (2·4)». –> Premisa: el cociente (= «inversión y producto») tiene prioridad sobre el producto, luego necesitamos el paréntesis. – Entonces también podría refutarse: «para entender que el cociente 8:2 es el primer factor de la expresión (producto) debería haber un paréntesis que lo indique: (8:2)». –> Premisa: el producto tiene prioridad sobre el cociente (= «inversión y producto»), luego necesitamos el paréntesis. Ambas refutaciones parten de un… Lee más »
Según tu opinión ¿cuánto vale 1-1+1?
¡Muy buena observación, gracias! Lo explico en forma de diálogo, para abreviar y hacerlo, espero, más ameno: – Vale, pretendes equiparar las expresiones ‘1-1+1’ y ‘8:2·4’. – Eso mismo. – Muy bien, si ‘-1’ designa el inverso de 1 respecto a la suma, pretendes que ‘:2’ designa (de manera un tanto extraña, por cierto), el inverso de 2 respecto al producto. De modo que, escribiríamos: 8·(:2)·4 = 8·(1/2)·4 – Exactamente. Y en virtud de la propiedad asociativa del producto… – 8·(1/2)·4 = (8/2)·4 = 8·(4/2) = 16 – Luego, el valor de la expresión 8:2·4 es 16, sin ambigüedades. –… Lee más »
Lo siento pero no pretendo nada de lo que dices (es uno de los riesgos de leer más de lo que está escrito).
He preguntado porque, según tu criterio, 1-1+1=-1 es una repuesta válida.
Más en concreto, si quieres transformar 8:2 en un producto, la forma correcta es 8*2^(-1).
Por lo demás, producto y división tienen la misma prioridad en la aritmética estándar.
La analogía es correcta.
No sé si te entiendo, lo siento. Por un lado dices que la analogía es correcta y por otro, que no pretendes equiparar las expresiones ‘1-1+1’ y ‘8:2·4’.
Completamente de acuerdo contigo en lo restante, excepto que yo no estoy posicionándome en favor de uno de los resultados en detrimento del otro. Sostengo la ambigüedad de la notación en la segunda expresión y, por lo tanto, la indecibilidad del resultado. Mis disculpas si me he explicado mal. Donde sí he patinado es… te sigo respondiendo en la respuesta a tu siguiente comentario.
Postdata: ¡Se me olvidaba! Yo no afirmo que 8:2·4 = 8:(2·4) como tampoco afirmo que 1-1+1= 1-(1+1). Lo que digo es que, si aceptamos la igualdad de prioridades entre producto y división (= producto de inverso), esta notación introduce ambigüedad, cosa que no ocurre con la suma.
La ambigüedad es exactamente la misma. Tenemos una operación transitiva y una no transitiva del mismo nivel de prioridad. En un caso, decides que la no transitiva tiene más prioridad sin más argumento que no aplicar el mismo procedimiento que aplicas en el otro (a saber: recurrir a la composición de la operación transitiva).
Tienes toda la razón en que la ambigüedad de ambas expresiones es exactamente la misma o, por usar tus palabras, «la analogía es correcta». Ahí es donde he patinado. Voy a tratar de explicarlo con los números en ambas expresiones: 1a) Que la expresión ‘8:2·4’ equivalga a ‘8·(1/2)·4’ (hipótesis) implica la siguiente agrupación ‘(8:2)·4’, dando prioridad a la división. El producto es una operación asociativa y conmutativa, es decir, transitiva; luego, podemos multiplicar los tres factores en cualquier orden dos a dos, sin necesidad de paréntesis. Resultado: 16. 1b) Que la expresión ‘8:2·4’ equivalga a ‘8:[2:(1:4)]’ (hipótesis) implica la siguiente… Lee más »
Y tu conclusión es incorrecta porque se empieza por la izquierda cuando hay varios operadores de la misma prioridad, del mismo modo que leemos aquí en Europa.
Por eso 1-1+1 es (1-1)+1 y no 1-(1+1). Por eso 8:2*4 es (8:2)*4 y no 8:(2*4).
Entonces ya estamos introduciendo un convenio: empezar por la izquierda. El que se recurra a un convenio ya es un reconocimiento de que hay varias maneras de leerlo, o sea, ambigüedad o pluralidad de interpretaciones.
Otra ambigüedad es que una expresión como ‘1+1’ puede interpretarse tanto como operación como como número en sí o, por utilizar un lenguaje aristotélico, «en potencia» y «en acto». Cada enfoque implica consideraciones operativas diferentes. Estamos en el límite entre matemáticas, lenguaje y filosofía. Un placer charlar contigo.
No estamos introduciendo nada. El convenio existe desde hace milenios. Que haya gente que no quiere recordarlo es un indicador de las ganas de tocar las narices.
PD: ahórrame las divagaciones filosóficas, por favor. Hay UNA forma aceptada de hacer estas operaciones en la aritmética normal.
(Si deseas ir inmediatamente al meollo, puedes saltar al final de este comentario y leer a partir de los tres asteriscos de separación. Lo último que quisiera es abusar de tu paciencia. Gracias.) Quizás sea oportuno hacer una recapitulación para ponernos de nuevo en antecedentes: 1. Cierta expresión aritmética, aparentemente elemental, se hace «viral» debido a la discrepancia de resultados que ocasiona su resolución por parte de diferentes personas: ‘8:2(2+2)’. (La expresaré como 8:2·4′). 2. A unos les da 1, lo cual implica, por explicarlo así, el siguiente agrupamiento de sus operandos: 8:(2·4). A otros les da 16, lo cual… Lee más »
«1) El criterio tiene un problema grave en primer lugar, cual es que contraviene la igualdad en la jerarquía de operaciones del producto y de la división (y, según me has hecho ver, también de la suma y de la resta! –gracias).» No la contraviene. Sin embargo, atiende al HECHO de que hay operadores con propiedad conmutativa y operadores que no la tienen. «El segundo problema es que incurre, como insinuaba más arriba, en la misma asunción que la explicación aportada por ^DiAmOnD^, luego, lejos de corroborar nada es, por llamarlo así, «una profecía autocumplida»» No es ninguna profecía autocumplida.… Lee más »
1a) «El criterio no contraviene la igualdad jerárquica del producto y la división, atiene al HECHO de que hay operadores con propiedad conmutativa y operadores que no la tienen». Del hecho de que 8:2 =/= 2:8 se sigue que no podemos invertir ambos operandos. Del hecho de que 2·4 = 4·2 se sigue que podemos invertir ambos operandos. Pero no veo cómo de ambos hechos se siga que 8:2·4 = (8:2)·4. Si estás insinuando lo incorrecto de: 8:2·4 = 8:(2·4) = 8:(4·2) = 8:4·2 = (8:4)·2, no podría estar más de acuerdo contigo. Pero todavía tendrías que demostrar que al… Lee más »
No me parece los ejemplos que das. Ejemplo en 1b) dices bueno apliquemos el inverso multiplicativo, pero al 4 quedando 8÷2÷(1/4) esto es igual 8÷2*4. Bien ahí, pero no puedes aplicar conmutatividad ni asociatividad como bien mencionas porque solo hay divisiones y estas propidades se aplican solo para la suma y la multiplicación. Entonces, no podemos agrupar como se nos de la gana el 8÷2÷(1/4). Para evitar errores tenemos dos opciones. 1. Usar el inverso multiplicativo para solo tener multiplicaciones es decir 8*(1/2)*4, aquí agrupamos como queramos, cambiamos el orden y el resultado siempre será 16. 2. Si no realizamos… Lee más »
Es 1. 8: 2 (2+2)
8/2 * 1/(2+2)
4* 1/4
4/4=1
MUY BIEN asi de facil. LA GENTE QUE DISCUTE BOBADAS de una cosa tan sencilla es una division sencilla se complican la vida con inversos y bobadas ES UNA DIVISION el dividendo es 8 Y EL DIVISOR ES 2(2+2) ES TODO. a los señores matematicos incluyendo el que hace el articulo explicativo HIZO DE TODO menos lo que primero se hace siempre y que un NIÑO DE 5 AÑOS SABE y el con cinco titulos no pudo SEÑORES LO PRIMERO QUE SE HACE PARA RESOLVER CUALQUIER PROBLEMA MATEMATICO ES identificar los terminos que componen el problema en la imagense ve… Lee más »
Tus enlaces no funcionan, lo siento. Tampoco iban a cambiar el hecho de que el resultado es 16.
Salvo porque no es así. Es 8*1/2*(2+2)=16.
Y entonces porque a la hora de escribir la expresión ponemos unos parentesis en un lado y en el otro no ? Es decir, si nos decidimos a poner parentesis para aclarar las cosas, los ponemos en todas las partes que queremos aclarar.
De que sirve poner 8:2(2+2) cuando lo que realmente uno quiere expresar es 8:(2(2+2)) ?
Es que precisamente la idea no es parentizarlo todo, más bien al contrario, se trata de utilizar la cantidad de paréntesis mínima posible. Los paréntesis solo se deben colocar como un elemento desambiguador. Y usarlos junto con las reglas de prioridad de operadores, donde precisamente para evitar ambigüedad se introduce que los operadores de igual prioridad se operarán de izquierda a derecha. El uso conjunto los tres sistemas ( reglas de prioridad, uso de paréntesis para desambiguar, e interpretación de izquierda a derecha en el sentido de lectura para operadores de igual prioridad) debería ser suficiente para producir expresiones algebraicas… Lee más »
Hola, muy buena entrada de este post ^DiAmOnD^. Solo quisiera agregar un comentario vinculado a esto y a la entrada/post dedicada a la jerarquía de las operaciones.
, en el teclado:
y el resultado incorrecto con el de división
. Casio sigue manteniendo sus algoritmos y con el síndrome del paréntesis invisible.
Nuevamente usando una Casio se puede obtener el resultado correcto si se usa el símbolo de fracción
Salu2
No sabía que había modelos de CASIO que seguían mostrando el resultado incorrecto, tenía entendido que lo habían solucionado en los modelos actuales.
No tengo por aquí ninguna más o menos moderna con la que probar, pero intentaré hacerlo en todas las que me vaya encontrando.
Gracias por el dato.
Huola! Como es posible que la expresion/notación x elevado a -1 sea = a -x en el caso de la suma y que luego mas abajo ( explicando la multiplicación) pongamos otra vez x elevado a -1 y en este caso salga 1/x.
Que pasa? Que para el opuesto es una cosa y para el inverso es otra? Creo que te has equivocado. Por lo demás, genial. Salvo que eres un poco prepotente! Como lo estoy siendo yo ahora jijjij.
Saludos!
Hay una explicación sencilla.
Suma y multiplicación son operaciones con elemento neutro (0 y 1) y un opuesto (-x y 1/x) para cada x.
Si la notación x^-1 te resulta incómoda puedes usar op(x) y tan feliz.
la respuesta es 1 https://imgur.com/wPDZHMH https://imgur.com/yObmMoX?fbclid=IwAR27zlfsccAxILNBd4TCKpIam4W4MX2fAPnOJLYLTf43bCF3Fe0k0qI9YHA
No, lo siento. El signo de multiplicación se puede obviar.
Operaciones realizadas con calculadora CASIO fx-82SPXII Iberia
a) 8÷2x(2+2) = 16
b) 8÷2(2+2) = 1
Ahora bien, en la operación «b» la calculadora modifica la expresión, añadiendo unos paréntesis, 8÷(2(2+2)).
Según la calculadora la expresión 8÷2(2+2) es ambigua y necesita paréntesis para darle sentido.
En la facultad sí que se consideraba ambiguo el 10^2^3.
Requería paréntesis
¿Cuál seria enyonces el resultado de 1/2pi ?
Tal cual está escrito, 1/2pi=0’5*pi.
1/pi = i/p
:b
Muy ilustrativa su exposición, me agradó mucho el poder coincidir plenamente con usted, ya que yo soy un matemático autodidacta. Gracias por ampliar y confirmar lo poquito que he aprendido y sigo aprendiendo.
Para mi la cuestión esta resulta, aplicamos la regla PEMDAS, que dice: como no hay jerarquía explícita entre multiplicaciones y división, debe realizarse la operación de izquierda a derecha, dando entonces prioridad a la operación indicada a la izquierda. No hay nada que discutir, la respuesta es 16.
Excelente trabajo, me permitió recordar con claridad las operaciones de los Reales. Saludos.
Saludos ^DiAmOnD^
Totalmente de acuerdo con tu buen post. Solo pedirte me aclares una duda, las operaciones son adición y multiplicación o suma y producto pues mucha gente los confunde (me incluyo, a veces digo uno por otro), los textos formales hablan de adición y multiplicación y muchos textos escolares y/o en la web usan indistintamente lo uno u otro. Agradezco tu aclaración de antemano
Si no me equivoco, el nombre no es importante. Esto es: adición=suma y producto=multiplicación.
La propiedad más importante y que no mencionas es la propiedad de distribución
a(b+c)=ab+ac.
Esto hace que los paréntesis no estén de sobra. Estos indican que se debe hacer una multiplicación con el número a la derecha fuera del paréntesis. Así que el resultado es 1. Mil ejercicios del Baldor como castigo a los que no apliquen bien esta propiedad. O unos reglasos en los dedos. Jajaja
¿Por qué hay que hacer ese producto antes que la división si no hay un paréntesis que te obligue a ello?
tengo una duda es lo mismo escribir así:
a) 8÷2x(2+2) = ?
b) 8÷2(2+2) = ?
a la opción «a» no se puede aplicar la regla de distribución y te saldrá 16, mientras que a la opción «b» si se puede aplicar la regla de distribución siendo: 8÷2(2+2)=8÷(4+4)=8÷(8)=8÷8=1
en un comentario anterio publicaron la prueva con una calcularoda e ingresaron los datos, botando los siguientes resultados:
a) 8÷2x(2+2) = 16
b) 8÷2(2+2) = 1
disculpen pero no soy experto en la materia y no puedo defender lo que dije.
Creo que ese es un problema de configuración o programacion de algunas calculadoras (no en todas pasa eso) Ya que en la mayoría de los programas y lenguajes de programacion, si escribes esta expresión 8÷2(2+2) te marcará error o te lo corregirá a esto 8÷2*(2+2). En realidad siempre que hay un número y luego un parentesis o entre dos parentesis hay una multiplicación a(b+c) = a*(b+c) y (a+b)(c+d)= (a+b)*(c+d) En la gran mayoría de los programas y lenguajes de programación, hay que colocar siempre el * para que no te marque error, pero nosotros sabemos que vaya o no el… Lee más »
Hola, mis felicitaciones por el artículo que disipa toda duda ante este ejercicio que deja en claro que el problema es la mala interpretación de las reglas establecidas.
Una aclaración que, me imagino puede ser un lapsus, el opuesto no se escribe como x elevado a -1, esa notación indica inverso y corresponde a 1/x.
En principio, la notación del simétrico de
es
. Después, dependiendo de si la notación es aditiva o multiplicativa, pasa a denotarse como
o como
.
Gracias por la aclaración, mis felicitaciones nuevamente, lo que me resultó raro ver es la igualdad (x ^ -1)= – x
Cuando a mí me explicaron las operaciones con números reales, y empezamos a operar siempre aplicabamos esta máxima, primero quitamos llaves luego corchetes y luego paréntesis, y luego potencias o raíces, a continuación división o multiplicación y por último sumas o restas. Nos has dado una clase magistral. Muy agradecida
Una consulta a ver qué pensáis los del gremio sobre algo que hago en clase (llevo 4 años de profesor en secundaria; cada vez menos pero todavía me siento novato). A mí me molesta mucho el uso de los dos puntos para la división y ya desde el principio del curso en 1º de ESO hago la transición a escribir la línea horizontal. Por ejemplo, en el tema de propiedades de las potencias se me hace horroroso lo de a^n : a^m = a^(n-m) y me parece que se visualiza mucho mejor con la línea horizontal. Durante un tiempo manejo… Lee más »
Dejo enlace a vídeo https://www.youtube.com/watch?time_continue=19&v=FeEjCHltBxE
¿Tu opinión?
Mi opinión no cuenta. Tampoco me apetece ya darla.
Tengo una duda accesoria: ¿se consideró en algún momento que ÷ era una división especial que se calculaba después?
2+3
De modo que 2+3÷4+5=—–
4+5
He leído algunas páginas que mencionaban esta circunstancia.
Es la primera vez que leo algo así. Hasta donde yo sé, el símbolo ÷ denota una división «de las de toda la vida».
Gracias por el aporte y por el fundamento matemático; sin embargo considero que en la frase «Ambas son, de nuevo, abusos de notación relacionados con la suma y la división» es el párrafo 20 considero que es Ambas son, de nuevo, abusos de notación relacionados con la suma y la multiplicación.
Atte. Luis Argueta Mogollón.
Cierto, había una errata en ese lugar. Ya está arreglada. Muchas gracias por el aviso :).
El resultado es 1.
8÷2(2+2)
8/2(2+2) si da 16
Es la escritura matemática la que os falla.
__8___
2(2+2) =8÷2(2+2)
Sería así si viniera escrito de esta forma: 8÷(2(2+2)).
Como no es así, no hay nada que indique que el signo de división ÷ añada esos paréntesis porque sí.
Pero además de la opción en la que multiplicamos 8 por 1/2 que daría esta forma 8/2×4= 16 hay otra en la cual en vez de hacer 8 por 1/2 lo hacemos con el 4 que daría este resultado 8×4/2= 8×2= 16 y que confirma que el resultado es 16 y no 1
Una pregunta:
¿4:2x = 2:x o 4:2x = 2x?
Touché! Aquí igual te dice que sí que la yuxtaposición es «superior» (porque hay una «x» o porque hoy es 6 y es un número perfecto o algo), y entonces me como el gorro; o por el contrario te dice que 4:2x = 2x y entonces también me como el gorro…
Respuesta:
.
No, la yuxtaposición no tiene prioridad (es simplemente otra forma de escribir una multiplicación).
El problema (entiendo que enteramente mío y puramente mental!) es que yo leo «cuatro entre dos equis». No se me ocurre leer «cuatro entre dos por equis». Y por eso me parece absolutamente imposible interpretarlo de otro modo.
Cambio la pregunta: Si te dicen en voz alta «escribe: cuatro entre dos equis» ¿qué escribes, y qué interpretas? ¿Sigue saliéndote «2x» al hacer eso?
Perdona si soy pesado pero es que lo veo tan transparente que me parece rarísimo que se vea de otro modo.
La frase «cuatro entre dos equis», está escrita en un lenguaje protoalgebraico, lo que induce cierta ambigüedad. En la transición entre: «problema de texto»—>»planteamiento protoalgebraico»—>»planteamiento algebraico» se debería hacer el suficiente esfuerzo para que desapareciese dicha ambigüedad, de modo que si el problema de texto hiciera referencia a repartir cuatro entre » el doble de cierta cantidad»( siendo esa cierta cantidad desconocida), la expresión algebraica correspondiente sería 4/(2x) – siendo aquí obligatorio el uso de paréntesis – , mientras que si si fuera del estilo de «repartir cuatro entre dos, y luego, el resultado asignarlo a cada uno de los… Lee más »
Para hacer la operación 8:(2·x) o 8:2·x, me parece más lógico poner la primera como 8:2x y dejar la segunda como está, con el punto. Ya sé que la yuxtaposición no tiene preferencia, pero creo que sustituir el signo de multiplicación por la yuxtaposición solo se debe hacer si no hay dudas en la operación.
señor es una división no enrede mas con sus inversos SEPARE EN TÉRMINOS el ejercicio original nada mas NO TRATE DE ENREDAR CON TANTA BOBADA SON S DOS TÉRMINOS dividendo y divisor y una sencila división el dividendo es 8 y el divisor es 2(2+2) , lo que se hizo con ese ejercicio para confundir fue descomponer el divisor 8 aplicando la ley distributiva asi: explico como se hizo jajajajaj primero descompongo en 2×4 y después lo descompongo en el 4 en 2×2 y listo quedo asi 2(2+2) ESE ES EL TRUCO DEL PROBLEMA jajajajajaj facil chao, VEN COMO ASI… Lee más »
Si las matemáticas te parecen una bobada quizá deberías plantearte dedicarte a otra cosa. El divisor no es 2(2+2) porque, para que lo fuera, debería haberse escrito (2(2+2)).
Y poner enlaces a tus propios correos electrónicos de Yahoo no funciona.
bobada es que usted no sepa hacer una división de primero elemental el dividendo es 8 Y EL DIVISOR que es 8 lo que se hizo due lo siguiente: se descompuso en dos 2×4 y despues ese 4 se descompuso en 2×2 y quedo 2(2+2) JAJAJAJAJ es tan facil eso fue todo lo que se hizo una division y el dividendo se aplico la ley distributiva, como es un solo termino hay que devolverlo y convertirlo en un solo termibno 8 y hacer la operacion eso fue TODO LO QUE SE HIZO AL PLANTEAR EL EJERCICIO. no es mas se… Lee más »
Porqué asumes que se descompuso el 2×4? Entiendo bien que quedaría en 2×(2+2). Oses está bien, si consdieras que el 2(2+2) corresponde al denominador. Pero este no es el caso, supongamos que estamos trabajando un problema mas grande y alfinal llegamos a la fraccion 8/2 (escrito como fracción el 8 arriba, el 2 abajo) y tenemos el (2+2) multiplicando. Si lo escribimos de manera horizontal, probablemente la mayoría utilicemos parentesis para recordar que 8/2 es una fraccion y te queda (8/2)(2+2). Pero entendiendo bien las propiedades podemos tranquilamente quitar el parentesis y obtener el mismo resultado 8/2(2+2). Finalemente queda 4*4=16… Lee más »
Cabe mencionar (por si existe la confusión) que (a)(b)=(a)*(b)=a*b=a×b (a)/(b)=a/b=a÷b=a:b=a*b^(-1) Por lo tanto, ab+ac = a(b+c) = a*(b+c) No hay diferencia, en todos se realiza una multiplicación. Si tenemos ejemplo que a=(1/2) que lo voy a escribir como 0.5, b=2 y c=2 Entonces 0.5*(2+2) = (1/2)*(4) =1/2*4 =1/2*(2+2) Si ingresamos cualquiera de estas opciones a un computador o calculadora el resultado es 2, NO 1/8 Vamos con otro ejemplo donde multiplicamos a*d, donde d=b+c supongamos que a=8/4, b=2 y c=2 Enotonces a*d=a*(b+c) (8/4)*(2+2)=(8/4)(2+2) =8/4*(2+2) =8/4(2+2) =4*4=16 Ahora vamos a suponer que tenemos w/z donde z = a(b+c) donde a,b,c=2 y… Lee más »
Aplicando la distributiva:
8:2×2+2×2=8:4+2×2=2+2×2=6
Buen chiste…
Lo comentado por último era lo obvio no se porque marean tanto la perdiz. Saludos
Ciertamente es definitivo.
Ha quedado clara la explicación y el origen.
Muy agradecido por el artículo.
Gracias por tu post. Como profesor de Matemáticas, me sangra la vista viendo cómo algo así se hace viral… cuando me aseguro de que mis alumnos de 1ºESO sepan que, en cadenas de multiplicaciones y divisiones sin paréntesis que indiquen prioridad, deben operar en el orden de lectura (y bueno, lo aprenden y ya está, aunque no sepan que (R,+,·) es un cuerpo xD). Para mí es igual de importante que hacerles la demostración de que . Espero que haya muchos millones más de personas que vean absurda la viralidad de ese ejercicio, cuando no tiene ninguna ambigüedad, a no… Lee más »
Que se haga viral tiene la ventaja de poder permitirnos volver a aclarar, por n-ésima vez, algo que para mucha gente no quedó ni queda claro durante su etapa de educación formal. Hay que verlo por el lado positivo. Respecto al ejemplo de las calculadoras que aparece en el post, que parece ser el causante de esta confusión, creo que sí suele estar indicado en las instrucciones de las mismas. Otra cosa distinta es que la gente se las lea; y aún más difícil, que las entienda. Si mal no recuerdo, en mi calculadora TI-92, en el manual de usuario,… Lee más »
Ojalá con el tiempo creciera la gente que vea esto absurdo…porque ya entienden cómo deben operarlo.
Por cierto, ya que lo mencionas me gustaría ver cómo demuestras que
sin usar en ningún sitio lo que quieres demostrar.
PROFESOR, en vista de tanta polémica e incertidumbre acerca del resultado final del problema yo decidí usar otra ruta para legar al resultado y comprobar su veracidad o falsedad en la respuesta final ósea opte por comprobar cuál de los dos resultados era verdad, o si ambos son ciertos o si ninguno es cierto e hice así: 1 SABEMOS QUE HAY DOS POSIBLES RESPUESTAS 1 o 16 Por lo tanto el ejercicio quedaría planteado así: A. 8 ÷ 2 (2+2) = 1 o bien B. 8 ÷ 2 (2+2) = 16 Las dos posibles respuestas 2 VIENDO EL PLANTEAMIENTO,DEL EJERCICIO,… Lee más »
En concreto, tu error está en
«Decidí desarrollar esta parte para buscar el resultado final y exacto, e hice así : sume los dos números del paréntesis 2 +2 = 4 y a este resultado lo multiplique por el 2 que está afuera del paréntesis dando como resultado final 8»
No hay ninguna razón para hacer esa multiplicación antes que la división. Si hubieras usado las jerarquías correctamente habrías realizado las multiplicaciones y divisiones consecutivamente de izquierda a derecha y habrías obtenido 16.
claro que hay que hacer la multiplicacion pq el parentesis tiene mas prioridad que la multiplicacion no se contradiga no ve que el parentesis esta ahi y el dos de afuera multiplica a TODO LO QUE ESTA POR DENTRO POR FAVOR
«claro que hay que hacer la multiplicacion pq el parentesis tiene mas prioridad que la multiplicacion no se contradiga no ve que el parentesis esta ahi»
El producto está fuera del paréntesis: 8/2(2+2)=8/2*4=4*4=16. Así es como hay que aplicar el orden de opreaciones.
» y el dos de afuera multiplica a TODO LO QUE ESTA POR DENTRO POR FAVOR»
No lo hace, lo siento.
Un ejemplo en el que un reconocido matemático da prioridad a la yuxtaposición.
P(A) = l(A)/2pi,
página 38, VÉLEZ IBARROLA, Ricardo (2004), «Cálculo de probabilidades 2». Ediciones Académicas SA.
Cierto. Y si intentas teclear eso en la inmensa mayoría de calculadoras, o programarlo en lenguajes imperativos tipo c, c++ o java, se interpretará de izquierda a derecha ante operadores de la misma prioridad…. https://es.wikibooks.org/wiki/Programación_en_Java/Precedencia_de_operadores Y en el mismo libro que citas, ante expresiones más complicadas, el autor decide escribirlo con barra horizontal, por ej. pag. 171, o parentizar el denominador, pag. 174. Además, en dicho texto, es fácil deducir por el contexto cual es la expresión correcta, por el significado que ha de tener ( Laplace). Estamos usando el contexto para «entender» la expresión. En definitiva, en mi opinión,… Lee más »
Está interesante, pero creo que al convertir el 2 en 1/2 estás asumiendo que la operación debe ser 8/2… porque sí; eso es petición de principio. Estás diciendo «es 8/2 porque 8/2=8*1/2», lo cual es cierto, pero no consideras que ese 2, puede ser en verdad un 8. Con lo que el problema vuelve a quedar como al principio. Creo que el objetivo de una operación aritmética es expresar UN número de otra forma y este ejercicio no expresa UN número. Lo de la regla de resolución de izquierda a derecha ante igualdad de prioridad no lo he encontrado en… Lee más »
Hola, la Asociación Matemática de América (MAA, siglas en inglés) se refirió al tema de la prioridad de operaciones, y establece el orden de izquierda a derecha. El enlace del artículo en la web de donde se puede descargar gratis lo tengo publicado en mi cuenta de Twitter :
https://twitter.com/YoAprendoConX/status/1158515053911531520?s=19
Al fin una explicación coherente, sin recurrir a chorradas como que la expresión es ambigua o que está mal escrita. Me ayudó mucho a recordar el álgebra de mis primeros años de universidad. En efecto, la jerarquización de izquierda a derecha es una consecuencia directa de las propiedades más elementales de la multiplicación y división, no una imposición arbitraria de tal o cual lenguaje de programación como andan diciendo por ahí.
Pues yo lo veo de otra forma. 8:(4+4) ¿Cuanto da? ¿O sea que el 2 lo sacas fuera y varía el resultado de si lo que sacas fuera es el 4? Así que, para mí, da 1 que es lo coherente. Y si quiero que alguien haga esa operación, pongo un paréntesis mas que no me cuesta y es un recurso lingüístico llamado redundancia que existe para evitar estas situaciones.
Si estás transmitiendo un mensaje en una forma ambigua, tu problema es la transmisión de ese mensaje, que no es correcta.
Lo que escribes no es lo que se presenta en el problema.
exacto entonces usted pq pone PARÉNTESIS O SIGNOS DE MULTIPLICACIÓN DONDE NO LOS HAY EL PROBLEMA ES 8 : 2(2+2)= y no 8 : (2(2+2))= ni tampoco 8 : 2 x (2+2)= SON DOS TÉRMINOS Y PUNTO Y UNA DIVISIÓN COMO OPERACIÓN Los términos son 8 (que es el dividendo y el segundo termino es 8 2(2+2)= que es el divisor y punto este segundo termino lo que quiere decir es que el 2 de afuera esta multiplicando al producto dentro del paréntesis que s 4 y por eso 2(2+2)= 8 es todo así de fácil nada DE ENREDOS TONTOS… Lee más »
El signo de multiplicación está implícito. Al poner los paréntesis lo explicito. Pero parece dar igual: tú ya has decidido que quieres dar más prioridad al producto sin justificación alguna.
Puedes volver a recurrir a las frutas pero la realidad es la que es: primero se tratan los paréntesis, después las potencias, después multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas.
Y cuando coinciden multiplicaciones y divisiones o sumas y restas se tratan de izquierda a derecha.
falso asi no es que se hace la jerarquía analice y justifique , la realidad es que usted y yo y todos aprendimos con manzanas y peras y pinas a contar con los dedos y es tan valido de aplicar hoy mañana y siempre, y usted debe ser capaz de demostrar que su resultado hecho con frutas es igual al resultado numérico, de lo contrario no seria matemáticas, siempre se debe demostrar gráfica y numéricamente todo lo que se hace. si no es así hay una falla matemática grave. Y DEBE DAR LO MISMO, de hecho por eso se usan… Lee más »
«falso asi no es que se hace la jerarquía analice y justifique ,» Vale, ahora te vas a un libro de primaria y LO LEES. O te miras la Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_evaluaci%C3%B3n De verdad, no me vengas con afirmaciones locas como que no hay un orden de izquierda a derecha en las operaciones. » la realidad es que usted y yo y todos aprendimos con manzanas y peras y pinas a contar con los dedos y es tan valido de aplicar hoy mañana y siempre,» La realidad es que las matemáticas no son frutas. Son un lenguaje y la aritmética tiene… Lee más »
extrañamente usted puede demostrar muchas teorías PERO NO PUEDE DEMOSTRAR UNA DIVISIÓN muy raro , y que diga que es 16 porque es 16, ASÍ NO FUNCIONA LAS MATEMÁTICAS se debe demostrar USAR CAMINOS para que no quede duda y usted no ha sido capaz de demostrar su 16 ni con números ni con manzanas ni nada, le he dado 5 posibilidades para que destruya mi teoría, y no ha podido ninguna, lastima no podamos hacerlo en persona, discutir por Internet es muy difícil y se desgasta la persona,ojala hubiese otro medio para demostrarle su equivocación con mas pruebas,que usted… Lee más »
aquí les dejo gráficamente el problema, la respuesta es 1 no hay NINGUNA DUDA, y menos para complicarse la vida las personas que diga 9 U OTRA RESPUESTA LOS INVITO A QUE MUESTREN EN EL GRÁFICO LAS OTRAS 8 POSIBILIDADES https://imgur.com/a/b0da5fs AHÍ les dejo el otro problema se parece(se puede aplicar la misma lógica para solucionar) https://imgur.com/wPDZHMH y esta es la manera de probar que el resultado es 1 https://imgur.com/yObmMoX?fbclid=IwAR27zlfsccAxILNBd4TCKpIam4W4MX2fAPnOJLYLTf43bCF3Fe0k0qI9YHA
Esa explicación con piñas y ¿manzanas? corresponde a 8:(2(2+2)). La notación infija tiene un orden de izquierda a derecha cuando se encuentran operaciones de igual prioridad (lo que invalida tu segunda imagen). Y la tercera imagen insiste en el error de ignorar el orden de aplicación de las operaciones en notación infija, así que el argumento está mal.
no invente parentesis el problema original NO LOS TIENE, pero bueno si esta mal hagalo usted como quiera y muestreme su respuesta de 16 ES LO QUE QUIERO use manzanas y muestre su respuesta de 16 graficamente con o sin parentesis con o sin manzanas. Y LE CREO
Como ya he escrito antes, estás dividiendo (4+4) entre 8. Dicho de otro modo, estás convirtiendo 8/2(2+2) en 8/(4+4). No es equivalente.
es tan equivalente e igual que 4 +4 es 8 que es lo mismo (2 x2) + (2*2) = 8
No lo es porque la división no es conmutativa.
Falto agregar que el «4» ¿Esta en el denominador o numerador? Esta en el numerador al menos que alguna operación diga lo contrario, lo mismo va para el «8» y el «2».
Las operaciones se hacen una elemento a un elemento, si es necesario agrupa elementos se hace uso de paréntesis.
Por tanto, el «2» esta en el denominador porque se ve afectada por la operación inversa » : «, y solo afecta al » 2 » porque no hay paréntesis.
La solución es 16, de izquierda a derecha o derecha a izquierda.
la respuesta es 1, señor si ni sabe hacer una simple división con DOS TÉRMINOS esta MAL, primer termino es 8 y el segundo termino es 2(2+2). ES UN CONCEPTO MATEMÁTICO INFANTIL un termino empieza y termina con un signo Y EN ESE EJERCICIO SOLO HAY UN SIGNO EL DE DIVISIÓN. ademas lo invito a que pruebe su respuesta de 16 y así salga de la duda de su respuesta (recuerde que la división se prueba con la multiplicación) así reemplace el 8 por una X y resuelva el ejercicio X : 2(2+2)=1 y X : 2(2+2)=16 O LO QUE… Lee más »
¿Desde cuándo tiene el producto prioridad sobre la división? Los término son 8 y 2, no 8 y 2(2+2).
los TÉRMINOS MATEMÁTICOS(revise el concepto de termino matemático) empiezan y terminan con un signo + – = x ÷ ejemplo: 10÷5+(5)^2= EN ESTE HAY tres términos 10 el 5 y (5)^2 otro 56 es un solo termino que no es lo mismo que 5+6 o 5-6 que tiene dos términos matemáticos , en el caso que nos ocupa 8 ÷ 2(2+2), TIENE DOS TÉRMINOS repito los términos empiezan y terminan con un signo (explicito) así PRIMERO 8 se llama DIVIDENDO y el segundo es 2(2+2) se llama DIVISOR y la operación que se expresa en el problema es una DIVISIÓN.… Lee más »
«los TÉRMINOS MATEMÁTICOS(revise el concepto de termino matemático) empiezan y terminan con un signo + – = x ÷ ejemplo: 10÷5+(5)^2= EN ESTE HAY tres términos 10 el 5 y (5)^2″ No. 5 y 2 son términos matemáticos unidos por el operador ^. » otro 56 es un solo termino que no es lo mismo que 5+6 o 5-6 que tiene dos términos matemáticos ,» Pero 5(6) contiene dos términos: 5 y 6. » en el caso que nos ocupa 8 ÷ 2(2+2), TIENE DOS TÉRMINOS repito los términos empiezan y terminan con un signo (explicito)» Eso es incorrecto, lo… Lee más »
desde que haya parentesis va por encima
«extrañamente usted puede demostrar muchas teorías PERO NO PUEDE DEMOSTRAR UNA DIVISIÓN muy raro ,» No tengo que demostrar NADA. El orden de operaciones no es lo que a ti te dé la gana. » y que diga que es 16 porque es 16, ASÍ NO FUNCIONA LAS MATEMÁTICAS se debe demostrar USAR CAMINOS para que no quede duda y usted no ha sido capaz de demostrar su 16 ni con números ni con manzanas ni nada,» Te he dado una y otra vez la definición del orden en aritmética. DEFINICIÓN, insisto: las definiciones no se demuestran, se establecen por… Lee más »
Muy bien explicado haciendo recordar mi pasaje por Algebra
MUY BIEN así de fácil. SEÑORES a todos se les olvida una cosa que es lo primero que hay que hacer que es IDENTIFICAR LOS TÉRMINOS MATEMÁTICOS que componen ese ejercicio y la operación que hay que hacer. SI HACEN ESO verán que hay una sola operación que hacer LA DIVISIÓN y que la división tiene dos términos matemáticos el DIVIDENDO que en este caso es el 8 y el DIVISOR que en este caso es 2(2+2) , si todo eso es el divisor ese divisor da como resultado después de resolverlo 8 osea que 8 dividido en 8 es… Lee más »
Aunque ya te lo han comentado en más de una ocasión, lo voy a intentar yo otra vez. Tenemos la expresión 8÷2(2+2). Vamos a realizar las operaciones de una en una respetando las reglas que conocemos: – Lo primero que hacemos es realizar la operación que hay dentro del paréntesis: 2+2=4. – ¿Cómo escribiríamos la expresión que nos queda después de haceer esa operación? ¿Escribiríamos 8÷24? No, ¿verdad? Escribiríamos 8÷2·4. – ¿Qué operación hay que hacer ahora? Quedan dos operaciones por hacer y no tenemos paréntesis que indiquen que hay que realizar una de ellas antes que la otra, por… Lee más »
se le olvido que LOS TERMINOS MATEMATICOS SON DOS el 8 que s el dividendo y el 2(2+2) es el divisor y como es ese el temibno que hay que se resolver se hace el parentesis que da 4 y se multiplica por 2 para que de 8 AHORA SI RESUELTO ESE TERMINO HAGO LA DIVISION usted esta tratando de mezclar el 8 que pertenece al dividendo con el dos que pertenece al divisor que esta por fuera QUE ERROR TAN GRAVE separe en terminos t resuelva asi de facil no es mas DA 1 Y SI ESTA TAN SEGURO… Lee más »
OTRA VEZ señor ; lo primero que se hace con cualquier ejercicio de matematicas,ENTIENDALO es identificar terminos : los terminos empiezan y terminan con un signo MAS MENOS DIVISION O MULTIPLICACION en segundo lugar EN ESE EJERCICIO SOLO HAY UN SIGNO que indica una division NO HAY MAS POR ESO HAY SOLO DOS TERMINOS Y NO TRES COMO USTED ERRONEAMENTE LO QUIERE HACER VER. hay una simple division le voy a explicar como se hizo ese ejercicio de una vez por todas ya me canse que quieran enrredar con sus cosas falsas SEÑOR LO QUE SE HIZO 1. se tomo… Lee más »
Según el autor del artículo, la división no es más que una multiplicación por el inverso. En todo cuerpo, y los reales es un buen ejemplo, se definen dos operaciones con una serie de propiedades entre las que están la existencia del inverso salvo para el elemento neutro de la suma (0). Luego se defina a/b como multiplicación de a por el inverso de b. Así la división es una operación que aparece después que la multiplicación y por eso debe tener una prioridad inferior a la de ésta. Es más, la división debe su existencia a la existencia de… Lee más »
Una división es, en esencia, una multiplicación. Así que eso que dices de que «Así la división es una operación que aparece después que la multiplicación y por eso debe tener una prioridad inferior a la de ésta» no tiene ningún sentido: está al mismo nivel en lo relativo a la prioridad.
Lo de la comparación con lo de la cola del cine no lo voy ni a comentar…
Si considero las formas de expresar esta operación:
(2+2)
8:2(2+2)
8/2(2+2)
8÷2(2+2)
Señor : Está usted inmerso en tremenda confusión, los términos ALGEBRAICOS se separan solamente mediante los signos MÁS y MENOS (+, -), los signos de división separan términos, si no lo cree, pregúntese: ¿qué es un binomio? Pues es una expresión matemática con dos términos (como lo indica su nombre), del tipo , que bien podría ser , ¿cuántos términos diría usted que tiene esta última expresión? Por tanto, la expresión revisada en este artículo tiene solamente un término, sólo uno. Podría alegarse que dentro del paréntesis hay un signo de más, pero dado que el paréntesis se resolverá primero,… Lee más »
El compilador de Visual Studio lo interpreta con resultado 1 . Saludos
quiero decir como 16 perdon.
Las propiedades matemáticas poco tienen que ver con cuestiones de orden o jerarquía o con anagramas nemotécnicos que circulan en las redes y acaso en algún libro que se emplea en algunos países. Aquí solo me pregunto si el factor a distribuir en la suma entre paréntesis es 2. Si así fuera, no cabe discusión alguna ni para ese ejercicio combinado ni para cualquier otro similar que podríamos generalizar algebraicamente como: a : b(c+d) según el factor a distribuir en la suma. Si lo que se intenta distribuir fuera la fracción a/b sería preferible apelar a una clara notación. Lo… Lee más »
Creo que la confusa popularidad del tema de «orden» proviene de un texto clásico en algunos países. En el capítulo XI de la Aritmética de Baldor, estipula, vaya a saber por qué, en primer lugar que cuando no hubiera signos de agrupación (llaves, corchetes o paréntesis) en una operación combinada de sumas y productos, es preciso efectuar en primer lugar los productos y luego las sumas. En la sección siguiente, explica cómo apelar a la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y no retrocede para argumentar sobre su estipulación previa que, en verdad, es arbitraria y establece un… Lee más »
Lo que parece más evidente en que el factor a distribuir en la suma es el 2 y así tenemos 8 / (2 x 2 + 2 x 2) o sea 8 / (4 + 4) es decir, 8 / 8 y el resultado sería 1. Si el factor a distribuir fuera, en cambio, 8 / 2 distribuiríamos un 4 en la suma, resultando 16. Pero es forzado creer que el factor a distribuir es 8 / 2 ¿no les parece? En todo caso, todo quedaría claro si en lugar del signo de dividir empleado se apelara a la línea… Lee más »
Yo pregunto ¿cuál es la base matemática o ley que dice se tiene que proceder de izquierda a derecha?
Aclaro soy albañil aficionado a las matemáticas.