La paradoja del polítopo irracional

Comencemos por el principio: ¿qué es un polítopo? Bien, un polítopo es la generalización a dimensión de lo que en dimensión 2 es un polígono y en dimensión 3 es un poliedro. Esto es, por ejemplo un pentágono es un 2-polítopo y un dodecaedro es un 3-polítopo.

Tomemos un pentágono regular, polígono con 5 vértices y cinco lados iguales donde los ángulos formados por dos lados consecutivos son iguales. Dibujemos esta figura en un plano, con sus ejes de coordenadas, intentando que cada uno de los vértices de nuestro pentágono regular caiga en un punto cuyas coordenadas sean números racionales. Después de varios intentos seguro que pensáis que debe ser muy complicado…Bueno, de hecho es imposible. ¿La razón? Pues la relación del número áureo (que es un número irracional) con el pentágono regular.

Imaginemos ahora que movemos un poco los vértices de nuestro pentágono regular hasta colocarlos en puntos con coordenadas racionales. Nuestro pentágono dejaría de ser un polígono regular, pero bien es cierto que seguiría siendo un pentágono que, ahora sí, tendría todos sus vértices en puntos cuyas coordenadas son números racionales.

Tomemos ahora un dodecaedro, poliedro regular que aparece en la imagen de la derecha. Queremos colocarlo en el espacio tridimensional de tal forma que todos sus vértices, los 20 que tiene, caigan en puntos con coordenadas racionales. Pero la situación es parecida a la anterior, no se puede. Ahora, exactamente igual que en el caso del pentágono, podemos mover las caras del dodecaedro regular de tal forma que todos los vértices caigan en puntos con coordenadas racionales. Igual que antes, el poliedro dejaría de ser regular, pero conseguiríamos nuestro objetivo.

Bien, pues el hecho paradójico que os quiero comentar hoy es que hay casos en los que no se puede conseguir lo explicado arriba, es decir, se pueden construir polítopos convexos tales que nunca podrán tener sus vértices en puntos con coordenadas racionales por mucho que movamos sus vértices o sus caras. ¿Ein? Venga ya, si parece evidente que con una mínima perturbación de los vértices que tengan coordenadas irracionales los podemos colocar todos en puntos con coordenadas racionales…Pues no, en general no se puede hacer eso.

Antes de seguir quiero aclarar que hasta dimensión 3 sí se puede hacer. Es decir, podemos modificar la posición de los vértices de cualquier polígono convexo del plano y de cualquier poliedro convexo del espacio tridimensional para que todos sus vértices tengan coordenadas racionales. Pero en dimensiones superiores esto, en general, no ocurre. De hecho se pueden construir explícitamente polítopos en dimensiones superiores que cumple que no se pueden modificar sus vértices para que todos tengan coordenadas racionales.

Este resultado se debe a Micha Perles, quien lo demostró en los años 60 (del siglo XX, evidentemente). Al parecer la construcción de Perles mediante la cual demostró el resultado es algo complicada, por lo que Günter M. Ziegler nos proporciona una construcción más simple en su trabajo Non-rational configurations, polytopes and surfaces, paper en el cual se puede encontrar alguna cosa más. Vale la pena que le echéis un vistazo.

Cada día estoy más convencido de que las dimensiones superiores a 3 son una fuente inagotable de hechos que atentan contra nuestra intuición…Aunque en este caso hasta la dimensión 3 se ve salpicada (aunque en este caso habría que prescindir de la convexidad). Os recomiendo leer el paper.

Encontré este curioso tema en este post de Ars Mathematica.