Hace un par de días una amiga me hablaba sobre un problema que había visto por internet, cuyo enunciado es el siguiente:
Un grupo de 400 soldados está preparado para marchar. Están colocados formando un cuadrado de 20 metros x 20 metros, y su mascota (un perro) está colocado en el centro de la primera fila. El grupo de soldados comienza la marcha con una velocidad constante, y perro empieza al mismo tiempo su marcha siguiendo el perímetro del cuadrado formado por los soldados en el sentido de las agujas del reloj, también a una velocidad constante. El perro ha sido entrenado de tal forma que cuando el grupo avanza 20 metros, él recorre el perímetro completo del cuadrado y vuelve a su posición del centro de la primera fila.
Los soldados han avanzado 20 metros, pero ¿qué distancia ha recorrido el perro?
Por internet pueden encontrarse algunas propuestas de solución. Lo que quiero es que consigamos dar con la solución correcta y con una explicación completa y satisfactoria de la misma. Que se os dé bien.
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¿Esto es física no? (v=m/t …)
Yo digo que 83,561 metros.
Supongamos que el sargento ordena que marchen nada más 20 metros y se queden en formación; el perro, inteligente él, decide esperar a que los soldados se detengan y luego empieza correr hasta cumplir su periplo. Es decir, el animal corre hacia arriba 30 mts, dobla a la derecha y se desplaza 20 mts; luego baja 20 mts, dobla hacia la izquierda 20 mts y finalmente sube 10 para llegar a su posición. 30+20+20+20+10 = 100 metros.
josejuan, justifícanos tu respuesta, háblanos del razonamiento que te ha llevado a ese resultado.
Marcial, ese resultado no sirve, no cumple las condiciones del enunciado.
Este es un ejemplo de un típico ejercicio de física que puede resolverse por un sistema de coordenadas relativas. A simple vista diría que depende de las velocidades del perro y del grupo (Del cociente entre las velocidades)
Pero como estamos en un blog de matemáticas parece ser que no será así =D
El perro recorrerá 91,23 metros. Para calcular la distancia recorrida por el perro, debemos dividir el recorrido en cuatro tramos. Los dos transversales y los dos en el sentido de la marcha. Mi suposición inicial es que el perro compensará la distancia ahorrada en recorrer el tramo descendente con la distancia adicional en recorrer el tramo ascendente. Por lo tanto, entre los dos tramos el perro deberá haber avanzado los 10 metros correspondientes al avance del grupo de soldados más el perímetro recorrido en ese mismo tiempo (20×2 = 40; 40+10 = 50 metros). Luego, los dos tramos transversales se… Lee más »
Haciendo cálculos rápidos:
L =
Siendo V la velocidad del grupo y W la velocidad del perro. Aunque como dije antes, tratándose de una web de matemáticas dudo que sea el planteamiento correcto.
Sea la velocidad de los soldados (todo en el plano, claro) y el factor que relaciona la velocidad (en módulo) del perro con la de los soldados podemos ignorar el punto de partida del perro, de hecho, tanto da en qué punto del perímetro empieze, puesto que el requisito es que termine en el mismo punto cuando los soldados recorran sus 20 metros. Es fácil ver que las componentes de velocidad del perro cuando se desplaza a lo largo de las aristas del cuadrado formado por los soldados son (este, sur, oeste y norte respectivamente) fácil es ver también qué… Lee más »
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hace un par de días una amiga me hablaba sobre un problema que había visto por internet, cuyo enunciado es el siguiente: Un grupo de 400 soldados está preparado para marchar. Están colocados formando un cuadrado de 20 met……
Después del lío que he formado intentando resolver el problema, he obtenido que el perro recorre unos 47.447956 metros. Primero he considerado , donde cada S es el espacio que recorren los soldados en el tiempo correspondiente t = (1, 2, 3, 4). Por otra parte, como ha indicado josejuan, si ambas velocidades son constantes, entonces deben ser proporcionales: , donde V es la velocidad del perro, u la velocidad de los soldados y K la constante de proporcionalidad cuyo valor, introduciendo la nomenclatura que utilizo en el párrafo siguiente, es: A continuación he determinado cuáles son los tramos 1,… Lee más »
mimetist en primer lugar, dejemos claro que, el perímetro del cuadrado que debe rodear el perro mide 80 metros (4 lados de 20 metros = 80 metros). supongamos que el perro no tiene que ir a velocidad constante y que puede pararse siempre que quiera, entonces, la distancia mínima que debe recorrer el perro son 60 metros ¿cómo?. el perro se queda parado en la esquina superior derecha hasta que el pelotón recorre sus 20 metros, por tanto el perro (sin haberse movido) termina en la esquina inferior derecha, le resta por tanto recorrer 3 aristas (60 metros) para terminar… Lee más »
Podemos hacer una integral que nos de la función de posición del perro respecto al tiempo y sacar el espacio de ahí, pero sería simplemente sumar los diferenciales del recorrido del perro alrededor del perímetro del grupo y su avance, por tanto son 100 metros.
Es como sumar el movimiento de un punto de la tierra con respecto a su rotación y traslacción alrededor del sol, pero con líneas rectas…
(Suponemos perro esférico, eso si)
84,72, es decir 40 + 20 por la raiz de 5
primer tramo: la hipotenusa de catetos 10 y x
segundo tramo: 20 menos el espacio recorrido por los soldados z: 20 – z
tercer tramo:La parte trasera del cuadrado: la hipotenusa de catetos 20 y 2X ( semejante al primer tramo) pero doble.
cuarto tramo: 20 mas el espacio recorrido por los soldados: 20+z
quinto tramo: igual al primero
Teniendo en cuenta que los soldados avanzan 20 y el perro avanza 4X, x=5
total:84.72
Tienes razón, josejuan… ya sabía yo que me iba a colar por algún sitio.
Lo curioso es que, sin embargo, las fórmulas que he usado cumplen las igualdades que he supuesto… así que alguna de las ideas iniciales está equivocada… revisando me hallo.
Según mis calculos de puro amateur el perro recorre
metros
He encontrado una demostración maravillosa, pero este campo de texto es demasiado pequeño…
Saludos
Recorre 100 metros: en primer lugar si llamamos a la coordenada del movimiento de los soldados hacia el frente, el perro en el tiempo que tardan los soldados en hacer 20 metros recorre esa distancia en esa coordenada(no importan la velocidad de los soldados ni del perro). Ahora mientras hace eso el perro tiene que hacer el perímetro del cuadrado(si no no es posible que este otra vez en el centro de la linea del frente), pero el perímetro del cuadrado es una constante(no importa a que velocidad se muevan los soldados el perimetro es el mismo).Y el perímetro del… Lee más »
H
Meti la pata: no me di cuenta que en realidad los 20 metros que recorre el perro en la coordenada de la velocidad de los soldados los puede hacer recorriendo el perimetro del cuadrado. En ese caso la respuesta es 80 metros…. Tiene que recorrer el perímetro del cuadrado(que es constante, no importa a que velocidad se muevan los soldados, el perro siempre tiene que recorrer como mínimo 80 metros), y puesto que los 20 metros que tiene que recorrer hasta el centro de la linea del frente los hace mientras recorre el perimetro, el perro solo recorre 80 metros……El… Lee más »
Si «x» es la velocidad de la mascota y «v » la de los soldados, las ecuaciones de los espacios recorrido a lo largo de las filas y las dos columnas son(tiempos t1, t2 y t3):
(x*t1)^2-(v*t1)^2=40^2
x*t2+x*t2=20 y
x*t3x*t3=20
Despejando los tiempos, la suma de ellos es el tiempo empleado en el recorrido de la mascota que ha de coincidir con el de los soldados, por tanto
40/raiz(x^2-v^2)+20/(x+v)+20/(x-v)=20/v
de donde simplificando y considerando v=1, x vale aproximadamente 4.1811… que seria la relación de velocidades. Por tanto el recorrido de la mascota 83.622… m
Les dejo un flashecito ilustrativo que hice. No se cual es la política del blog sobre links. Cualquier cosa me avisan y les paso los archivos.
El perro va a velocidad constante respecto del perímetro del cuadrado, y no a velocidad constante real respecto del suelo como debiera ser, que era más complicado de hacer 😉
http://barcilo.com.ar/el-perro-y-los-soldados.html
Saludos
Bueno, en base a mi solución dejo a los Gaussianos un gracioso regalo, ¡espero os guste!
Perro y soldados
(Son 17 megas ¡pero porque son muchos soldados!) 🙂
Suponiendo velocidades constantes de ambos la relación de velocidades vendrá dada por vp/vs=e/20 en cualquier tramo y en el total por tanto las distancias también lo cumplen resolviendo el sistema.
e= 83.62250890 ∧ x = 10.29889774 ∧ y = 2.463187933 ∧ s = 6.287083090 ∧ z = 3.8601651
Siendo e el espacio x la hipotenusa y el cateto s espcio cuando avanza en el mismo sentido y z en sentido contrario.
Conrado: el perro va a velocidad constante respecto del suelo también. Lo que pasa es que los problemas de este tipo hay que resolverlos en el sistema de referencia en el que mejor puedan resolverse(resolverlo con respecto al suelo, no se si pueda hacerse de manera simple, y salen un chollo de ecuaciones) …. Como sabemos que en la coordenada del movimiento de los soldados, el desplazamiento del centro de la linea del frente y del perro es igual, y su velocidad de desplazamiento(como se entiende en física no coloquialmente) en esa coordenada es la misma puedo tomar como el… Lee más »
«…El perro va a velocidad constante respecto del perímetro…»
No, no, el perro va a velocidad constante respecto del suelo, sino ¿que «cuchiflita» de velocidad constante es esa?.
kurodo77, en este caso puedes calcular fácilmente el vector director del perro y normalizar, así no tienes que hacer ningún cambio.
Kurodo77:Veo que tu solución es constante de 80 m.
Por reducción al absurdo… si los soldados recorrieran 20000 m. la mascota ¿recorreria 80 m.?
Muchas gracias Kurodo77 por la explicación. Algo seguramente no entiendo porque imagino qué hubiera pasado si el pelotón avanzaba, por decir, 5km, en lugar de los 20m. El perro hubiera debido caminar esos 5km, o sea más que el perímetro de 80m.
Mi razonamiento, el que me daba algo de 62 metros lo había hecho a partir de los ángulos de la trayectoria del perro respecto del suelo y el perímetro cuadrado de 20x20m. Lo voy a revisar.
Saludos
No te entiendo josejuan ¿viste la animación de conrado? Recorre 80 metros(ahí está más claro que el agua)…. ¿para que voy a calcular el «vector director»(no se si eso es lo que me propones) con respecto al suelo pudiendo simplemente tomar como sistema de referencia el centro de la linea del frente?
Si recorren 20000m la mascota recorrerá 80000m: toma como referencia el centro de la linea del frente….¿cual reducción al absurdo es esa? Si lo que estoy haciendo es tomar otro sistema de referencia distinto al que tu tomas(y que no veo que te de la solución)…. Como dato nos dicen que mientras el grupo recorre 20 metros el perro recorre el perímetro completo del cuadrado(básicamente nos están dando la respuesta, uno es el que se lía)…
«¿viste la animación de conrado?» ¡Ja, ja, ..! ¿la viste tú?, con dicha animación, es imposible que el cuadrado verde mida 20×20 y la línea punteada tenga una longitud total de 80. «…uno es el que se lía…» Si, pero quien… «básicamente nos están dando la respuesta» Según tú, si te dicen que el perro se mantiene pegado a una esquina ¡no ha recorrido nada! (si al recorrer un perímetro de L se ha movido sólo L, al recorrer la parte L/2 digo yo que dirás que ha recorrido L/2 y si sólo recorre la parte L/n del perímetro entonces… Lee más »
josejuan: ¿como que imposible? Depende de lo que yo tome por unidad de medida. Además no has visto la animación(no parece): si no, te hubieras dado cuenta que el punto rojo recorre exactamente la longitud del perímetro del cuadrado(ni más ni menos, y el cuadrado y el punto rojo se mueven a velocidad constante, cumplen con las condiciones del problema) Tampoco quiero parecer acido…. A ver no entiendo cual es tu segunda crítica: ¿que me quieres decir? ¿como que el perro pegado a una esquina? A ver si te entiendo. Tomemos un punto de referencia con respecto al suelo: si… Lee más »
Kurodo77: yo creo que que si los soldados recorren 20000 m. la mascota recorrerá aproximadamente 20021 m.
Por reducción al absurdo si ambos llevan la misma velocidad la mascota nunca llegará a dar la vuelta al peloton, por lo cual el recorrido sera el mismo el de la mascota que el de los soldados, y no el recorrido de los soldados x 4
Yo creo que son 81,23 m. El razonamiento es el siguiente: Tramo 1: d1^2 = 10^2 + x ^ 2 (en 10m. el grupo avanza ‘x’ metros) Tramo 2: d2= 20 – 2x (en 20m. si v es cte entonces el grupo avanza ‘2x’) Tramo 3: d3^2 = 20^2 + (2x)^2 (idem.) Tramo 4: d4 = 20 + 2x (idem.) Tramo 5: d5^2 = 10^2 + x ^2 (idem.) Ahora, sabiendo que la formación recorre 20m. se sabe con diferentes restas que el tramo 2 es igual a 4x + 2x, si igualamos con la suposición inicial tenemos 20 -2x… Lee más »
Mi metodo para resolver el problema, que he espuesto antes, consiste en unas elementales ecuaciones de problemas de moviles de primaria que se ilustra perfectamente con el gráfico de Conrado. Para mi la dificultad de este problema es que para su solución deriva a una ecuación de 4º grado, lo que hace que no sea «un problema brillante» como tampoco lo es la solución del de «el asno en la era» en cambio si el aparecido hace poco aqui mismo de las «2011 monedas»
Eso si… hay tema para discutir
A ver no te entiendo sebas: no se lo que tu creas pero yo estoy es aplicando lo que dice la física. En transformaciones galileanas cualquier sistema a velocidad constante es un sistema de referencia inercial y por lo tanto cualquier cálculo de una distancia recorrida que yo haga desde este sistema es válido para los demás sistemas de referencia inerciales. No solo el centro de la linea del frente es válido como sistema de referencia inercial: cualquier punto del perimetro del cuadrado(o incluso dentro del cuadrado) es válido como el cero de mi sistema de referencia inercial. Tomo el… Lee más »
Korudo77: No se si he resuelto o no el problema (creo que con el unico que coincidimos de solución es con darkdante y cercano josejuan), pero ignoro sistemas de referencia inerciales, transformaciones galileanas, … mis pies estan fijos en el suelo e intento usar unicamente mi sentido comun, espacio=velocidad*tiempo (perdon, y un poquito Pitagoras)
No distingo si es de matemáticas o Física
El problema es sencillo tomando como sistema de referencia la tropa, ya que visto de alli el perro recorre solo el perimetro (80 m), luego se encuentra la distancia vista desde el suelo, que es lo que se pide.
Isaacv5 no entiendo lo que dices: si en transformaciones galileanas el espacio es absoluto. Por lo tanto no existe la «distancia recorrida en el sistema suelo» y «la distancia recorrida en el sistema tropa» separadamente, sino que existe la distancia recorrida aunque el sistema suelo y el sistema tropa vean trayectorias distintas(la distancia recorrida en un sistema vale lo mismo en los otros sistemas).
mmm.. si dos carros separados una cierta distancia se chocan de frente a igual velocidad, desde el suelo vere que cada uno recorrera la mitad de la distancia que los separaba inicialmente . Pero si estoy manejando uno de los carros vere que el otro recorrio toda la distancia inicial .
no t parece?….
Hmmm creo que tienes razón: metí la pata en grande. Al final resulta que si son los cien metros que había puesto al principio(y mi razonamiento del principio)… El perro tiene un movimiento con respecto al sistema tropa de 80 metros, y el sistema tropa y el perro tienen un movimiento de 20 metros con respecto al sistema suelo. Entonces si eran los 100 metros…Eso me pasa por no escribir y hacer las cuentas en la cabeza…. Lamento los malentendidos causados y para los que hayan leido lo que escribí me equivoque en algunas cosas, pero creo que esta si… Lee más »
la respuesta es 83.622
Ya sé que esto no es una democracia, pero yo obtengo el mismo resultado que Sebas y isaacv5:
83.6225089 metros
Rectifico: El resultado son 60 m. Siendo Y la dirección de desplazamiento del pelotón cuya esquina trasera izquierda está inicialmente en (0,0) y el perro parte de (10,20), lo que el perro haga en X no afecta al resultado, serán X = 40 m. Sea T el tiempo total de la maniobra. V la velocidad de avance de los soldados = 20/T y v la velocidad en el eje y del perro en cada instante con respecto a nuestro punto (0,0). Entre 0 y T/8 v = V Entre T/8 y 3T/8 v = V – 20/(T/4) = V –… Lee más »
beemer, piensa que en horizontal el perro no siempre sigue una trayectoria paralela a lo que tú has considerado como el eje X, y que en vertical la cuesión no es lo que avanza, sino lo que recorre. Hay un lado que recorre en sentido contrario al movimiento de los soldados, por lo que eso no es distancia avanzada, pero sí distancia recorrida, por lo que hay que contarla.
SI suponemos velocidades constantes y sin efectos relativistas, la distancia que recorren en un tiempo dado tanto el perro como los soldados ha de ser proporcional a la relación de velocidades por tanto Vp/Vs=e/20 y en cada tramo se cumple dicha relación. Dibujando el recorrido y con la relación se resuelve el sistema.
http://img42.imageshack.us/i/dibujo1presentacin1.jpg/
e = 83.62250890 ∧ x = 10.29889774 ∧ y = 2.463187933 ∧ s = 6.287083090 ∧ z = 3.860165172
searva | 23 de February de 2011 | 00:23
Yo creo que son 81,23 m. El razonamiento es el siguiente…
Supones que en cada tramo tarda lo mismo pero como las distancias son diferentes, el perro debería ir a distintas velocidades…
ap2 | 22 de February de 2011 | 17:13 84,72, es decir 40 + 20 por la raiz de 5 primer tramo: la hipotenusa de catetos 10 y x segundo tramo: 20 menos el espacio recorrido por los soldados z: 20 – z tercer tramo:La parte trasera del cuadrado: la hipotenusa de catetos 20 y 2X ( semejante al primer tramo) pero doble. cuarto tramo: 20 mas el espacio recorrido por los soldados: 20+z quinto tramo: igual al primero Teniendo en cuenta que los soldados avanzan 20 y el perro avanza 4X, x=5 total:84.72 Supones que en el tramo vertical… Lee más »
Rectifico (2) (no sumaba en vectorial, burro de mi): El resultado son 81.231 m Sea T el tiempo total de la maniobra. V la velocidad de avance de los soldados = 20/T y vy vx las velocidades en el eje y e x del perro en cada instante con respecto a nuestro punto (0,0). Entre 0 y T/8 vy = V ; vx = 80/T Entre T/8 y 3T/8 vy = V – 20/(T/4) = V – 80/T ; vx = 0 Entre 3T/8 y 5T/8 vy = V ; vx = -80/T Entre 5T/8 y 7T/8 vy = V… Lee más »
Beemer tu perro va a distintas velocidades 82.456/T en el 1er tramo 60/T en el segundo
100/T en el tercero y 82.456/T en el cuarto.
La verdad es que veo que hay mucha discrepancia en este problema. Siemplemente comentar, que a pesar que las matemáticas no son democráticas, a mi también me sale solución 83.6225 m, más que nada porque la proporción entre la velocidad del perro y la tropa es k=4.1811.
Un saludo
Yo creo que la solución de beemer es impecable, para ser mas exactos:
Bueno… tanto como impecable…
beemer supone que el perro tarda lo mismo en recorrer cada lado del cuadrado. Y lo que es peor, incluso asumiendo que fuera así (que no lo es), su propio resultado contradice su supuesto inicial, ya que de ser así, las distancias deberían ser iguales (igual tiempo por su propio supuesto, e igual velocidad porque lo impone el problema).