Como ya hemos comentado varias veces, un número primo es un número natural n que no tiene divisores propios, es decir, sólo es divisible por 1 y por el propio n. Los números 3, 5, 19 y 31 son algunos ejemplos de números primos.
Y como también vimos en un par de posts anteriores (concretamente en este y en este) existen infinitos números primos. Pero el post que nos ocupa no está dedicado a la infinitud de este conjunto. El objetivo del post es presentaros tres tipos concretos de números primos:
Números primos gemelos
Dos números primos se denominan primos gemelos si su diferencia es igual a 2, es decir, una pareja de la forma (p,p+2) siendo p un número primo. Por ejemplo las parejas (3,5) y (17,19) son dos parejas de primos gemelos.
Pero, ¿cuántas parejas de primos gemelos existen? Pues se conjetura que hay infinitas, aunque todavía no hay demostración de este hecho. Uno de los resultados que podrían llevarnos a pensar que esto no es así es la convergencia de la serie de los inversos de las parejas de los números primos:
Este número 
De todas formas este resultado ni mucho menos significa que la conjetura sea falsa.
La pareja de números primos gemelos más grande conocida hasta 2006 es la formada por los números 100314512544015·2171960-1 y 100314512544015·2171960+1. Cada uno de estos números tiene la friolera de 51780 cifras.
Números primos primos
No, no me ha salido repetida la palabra primo en el título anterior. Dos números primos se denominan primos primos (del inglés cousin prime) si su diferencia es igual a 4, es decir, una pareja de la forma (p,p+4) siendo p un número primo. Por ejemplo las parejas (3,7) y (7,11) son dos parejas de números primos primos.
Hasta 2005 la pareja de números primos primos más grande conocida es 9771919142·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+1 y 9771919142·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+5, siendo n# el primorial de n, es decir, el producto de todos los números primos menores o igual es a n. Estos dos números poseen 10154 cifras.
Estos números primos primos también poseen una cosntante análoga a la constante de Brun anterior:
Usando todas las parejas de números primos primos que existen hasta 242 su valor es, aproximadamente, 1’1970449.
Números primos sexys
Y terminamos el post hablando de este tipo de números primos. Dos números primos se denominan primos sexys (del inglés sexy prime) si su diferencia es igual a 6, es decir, una pareja de la forma (p,p+6) siendo p un número primo. Se llaman así porque la palabra latina para el número seis era sex. Por ejemplo (5,11) y (11,17) son dos parejas de números primos sexys.
La pareja de primos sexys más grande conocida es la formada por (48011837012·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+1 y (48011837012·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+7. Estos números tienen también 10154 cifras.
Pero aún podemos llegar más lejos con estos tres tipos de números: podemos formar tripletes (por ejemplo (p,p+2,p+4) con p un número primo), cuartetos (por ejemplo (p,p+6,p+12,p+18) con p un número primo), etc. Por ejemplo, el triplete más grande conocido de primos sexys comienza en p=(84055657369·205881·4001#·(205881·4001#+1)+210)·(205881·4001#-1)/35+1. Cada número de este triplete tiene 5132 cifras.
Fuentes:
- Números primos gemelos en la Wikipedia
- Cousin Prime en la Wikipedia (Inglés)
- Sexy Prime en la Wikipedia (Inglés)
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Así a cualquiera le gustan las Matemáticas.
Enhorabuena.
Joer, mira que he visto cosas en la carrera… el teorema del bocadillo de jamón… vacas vestidas de uniforme… pero primos sexys… nunca lo hubiese dicho!
hola. me parece que te faltan los primos de mersenne, fermat y sophie germain.
leandro de los tipos de primos que comentas ya hemos hablado en este blog. Echa un ojo por él y los encontrarás.
Papá Oso del teorema del sandwich de jamón también hemos hablado 🙂
Por cierto, yo tampoco conocía la existencia de estos primos sexys hasta hace poco
Consulta:
Cuál sería la demostración formal de que todo número primo es de la forma 6X +/- 1 ?
O sea, todo primo está pegado a un múltiplo de 2*3
Además porqué en los primos consecutivos a igual distancia, la separación siempre es múltiplo de 6. (al menos hasta el sexteto separado a 30)
Hansi
[…] Hace unos días hablábamos de primos gemelos y demás familia y entre otras cosas os mostrábamos la pareja de primos gemelos más grande conocida hasta 2006: dos números primos gemelos de 51780 cifras. […]
Como respuesta a la consulta de Hansi: Primero de todo, aclarar una cosa: todo primo DISTINTO DE 2 Y 3 es de la forma 6k +ó- 1. A parte de que 2 y 3 no lo cumplen, obviamente, con la demostración entenderás el motivo: Si p es un numero primo distinto de 2 y de 3, és impar, y por lo tanto los numeros p+1 y p-1 son pares. Además, siendo p-1, p y p+1 una terna de numeros consecutivos, uno de ellos debe ser multiplo de 3. Como p no lo és, p-1 ó p+1 lo seran. De este… Lee más »
Ui, no habia visto la segunda pregunta, la de la separacion.
Aun asi, no me queda muy clara, puedes intentar explicarte un poco mejor, por favor?
(si, ya se q viendo mi demostracion, yo tp me explico muy bien)
Hola Yrekthelas
Gracias por su amable respuesta.
La 2da duda era acerca de la distancia entre primos consecutivos, y cuantos puede haber.
El primer sexteto lo hallo en 121.174.811, los 5 siguientes a +30 son primos consecutivos.
Y solo 11 quintetos antes de los 150Mega.
estoy estudiando las diferencias en la sucesion de primos(ejs el la sucesión 2,3,5,7.11,13,17
las diferencias son 1,2,2,4,2,4,…)y veo que a partir de los 100 primeros primos la diferenci dominante es 6 y con «diferencia»,las diferencias 2 y 4 son casi iguales…se ve también que la diferencias 12 y 18 van progresando .¿¿¿Hay algo publicado????
Es fácil demostrar la convergencia de la serie 1/4+1/6+1/12+1/18+1/30+1/42+…de los inversos de los números intercalados en cada pareja de primos gemelos.
Dicha suma vale, aproximadamente 0,928835…
Me gustaría saber si esa constante es conocida, al igual que la de Brun, y si tiene nombre.
¿Alguien la conoce?
JJGJJG, pues el caso es que no la conocía. He estado buscando información sobre el tema y la verdad es que no he encontrado nada. Sería interesante que si alguien encuentra algo sobre ella lo comente.
Soy Andri Lopez.
Les informo que cualquier problema de los números primos ó relacionados con ello esta resuelto por medio del articulo:
titulo: Equation for all primes numbers.
Universal Journal of Computational Mathematics Vol 1 (3) 2013.
No obstante les indico las ecuaciones para lo números primos.
Todo número cuyo origen sea (5 + 6[5a + (1;2;3;4)]) ó (7 + 6[7a + (1;2;3;4;5;6]) y no sea multiplo de ninguno de los números respectivos (5;7;11;17;23;29) ó (3;5;13;19;31;37;43) es absolutamente primo.
Andri Lopez
@Andri
a=20; 611 es múltiple de 47 y cumple tu primera ecuación
y para todo k, a= 20+47*k cumple tu primera ecuación y es múltiple de 47 (y por lo tanto, no primos)
Bueno, entrando por acá se me despertó de nuevo el interés por los primos, y los primos gemelos jeje, así que dejaré esto por aquí (si el admin me recuerda, le envié algo similar por email hace un par de años masomenos 😛 aunque con unos conceptos equivocados debido a falta de formación en terminología, mas no con errores matemáticos). Bueno, aqui está: – Eliminamos de los naturales todos los pares. – Los impares restantes los agrupamos en triplas, quedando asi: 3, 5, 7; 9, 11, 13; 15, 17, 19; … – Los 2 últimos números de cada tripla serán… Lee más »
Ya hasta se me olvidaron las mates por dios ¬¬ Bueno, corrijo:
(p+2)²=p²+4p+4
La distancia mínima entre p² y q² es entonces de 4p+4, y la cantidad de triplas en ella es entonces de unas (4p+4)/6
Entonces la probabilidad de que una tripla entre p² y q² no contenga un par de primos gemelos, tiene una cota superior de ((p-3)/p)^((4p+4)/6) y eso converge a 1/e².
Así que, la probabilidad de no encontrar un par de primos gemelos entre p² y q² tiene una cota superior de 1/e².
He publicado un artículo en mi blog relativo a una función recursiva de números coprimos y con esta, como se obtienen números primos gemelos.
Saludos
http://arithmoswaki.blogspot.com.es/2014/12/7-funcion-recursiva-de-numeros-coprimos.html
Una observación, en el artículo dice que se pueden formar tripletas de primos gemelos (p, p+2, p+4), pero como dato curioso, por más que se busque, solo existe un triplete de primos gemelos, y es (3, 5, 7) (es muy sencillo de demostrar).
¿serán primos trillizos?
!:¬ )
Creo que hay un error de impresión, los tripletes y cuartetos existen, pero con respecto de los números sexy. Tripletes de primos (p, p + 6, p + 12).
Tenemos una discrepancia con el valor de pi2 (x) para el valor de 10exp(14)
de 15 unidades con los valores reales de GG() de MathWorld Web,
135.780.321.665
135.780.321.680
con valores idénticos para la funcion pi(x)
3.204.941.750.802
Buscamos alguna otra fuente para contrastar el dato.