Como ya hemos comentado varias veces, un número primo es un número natural n que no tiene divisores propios, es decir, sólo es divisible por 1 y por el propio n. Los números 3, 5, 19 y 31 son algunos ejemplos de números primos.

Y como también vimos en un par de posts anteriores (concretamente en este y en este) existen infinitos números primos. Pero el post que nos ocupa no está dedicado a la infinitud de este conjunto. El objetivo del post es presentaros tres tipos concretos de números primos:

Números primos gemelos

Dos números primos se denominan primos gemelos si su diferencia es igual a 2, es decir, una pareja de la forma (p,p+2) siendo p un número primo. Por ejemplo las parejas (3,5) y (17,19) son dos parejas de primos gemelos.

Pero, ¿cuántas parejas de primos gemelos existen? Pues se conjetura que hay infinitas, aunque todavía no hay demostración de este hecho. Uno de los resultados que podrían llevarnos a pensar que esto no es así es la convergencia de la serie de los inversos de las parejas de los números primos:

Constante de Brun

Este número B2 se denomina constante de Brun. Usando todas las parejas de primos gemelos existentes hasta 1016 obtenemos 1’902160583104 como valor aproximado de esta constante.

De todas formas este resultado ni mucho menos significa que la conjetura sea falsa.

La pareja de números primos gemelos más grande conocida hasta 2006 es la formada por los números 100314512544015·2171960-1 y 100314512544015·2171960+1. Cada uno de estos números tiene la friolera de 51780 cifras.

Números primos primos

No, no me ha salido repetida la palabra primo en el título anterior. Dos números primos se denominan primos primos (del inglés cousin prime) si su diferencia es igual a 4, es decir, una pareja de la forma (p,p+4) siendo p un número primo. Por ejemplo las parejas (3,7) y (7,11) son dos parejas de números primos primos.

Hasta 2005 la pareja de números primos primos más grande conocida es 9771919142·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+1 y 9771919142·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+5, siendo n# el primorial de n, es decir, el producto de todos los números primos menores o igual es a n. Estos dos números poseen 10154 cifras.

Estos números primos primos también poseen una cosntante análoga a la constante de Brun anterior:

Constante de Brun para primos primos

Usando todas las parejas de números primos primos que existen hasta 242 su valor es, aproximadamente, 1’1970449.

Números primos sexys

Y terminamos el post hablando de este tipo de números primos. Dos números primos se denominan primos sexys (del inglés sexy prime) si su diferencia es igual a 6, es decir, una pareja de la forma (p,p+6) siendo p un número primo. Se llaman así porque la palabra latina para el número seis era sex. Por ejemplo (5,11) y (11,17) son dos parejas de números primos sexys.

La pareja de primos sexys más grande conocida es la formada por (48011837012·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+1 y (48011837012·((53238·7879#)2-1)+2310)·53238·7879#/385+7. Estos números tienen también 10154 cifras.

Pero aún podemos llegar más lejos con estos tres tipos de números: podemos formar tripletes (por ejemplo (p,p+2,p+4) con p un número primo), cuartetos (por ejemplo (p,p+6,p+12,p+18) con p un número primo), etc. Por ejemplo, el triplete más grande conocido de primos sexys comienza en p=(84055657369·205881·4001#·(205881·4001#+1)+210)·(205881·4001#-1)/35+1. Cada número de este triplete tiene 5132 cifras.

Fuentes:

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