Los números perfectos son un conjunto de números que podríamos llamar «icónicos» dentro de las matemáticas: son de esos números místicos, casi divinos, de los que han encandilado y maravillado a matemáticos y no matemáticos desde el principio de los tiempos.

Por ello, han sido muy estudiados desde la antigüedad, y se conoce mucho sobre su naturaleza y sus propiedades (aunque todavía albergan incógnitas que no hemos podido despejar). En este mismo blog, hemos hablado de algunas, pero hace poco me encontré por casualidad con una que no conocía hasta ahora, y hoy quiero hablaros de ella. Como indica el título de la entrada, relaciona estos números con potencias cúbicas de una curiosa manera. Os cuento todo a continuación.

Antes de nada, no está de más recordar la definición de número perfecto:

Un número entero positivo es un número perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número).

Los dos más pequeños son el 6 (sus divisores propios son 1, 2 y 3 y se tiene que 1+2+3=6) y el 28 (sus divisores propios son 1, 2, 4, 7 y 14 y se tiene que 1+2+4+7+14=28).

A día de hoy, no se sabe si hay infinitos números perfectos, ni tampoco si hay alguno que sea impar (aunque se sabe algunas cosas sobre ellos, en el caso de que existan, como ésta). Todos los que se conocen son pares, y para ellos tenemos completamente determinada la estructura mediante el denominado teorema de Euclides-Euler:

Un entero positivo N es un número perfecto par si y sólo si N=2^{p-1} \cdot (2^p-1), con 2^p-1 un número primo.

Esto, entre otras cosas, implica que p también debe ser primo, ya que todo número entero de la forma 2^r-1 (estos números se conocen como números de Mersenne) con r compuesto también es compuesto (aquí tenéis una demostración de este hecho). Tenéis más sobre estos números de Mersenne, por ejemplo, en este post.

Buenos, vamos al turrón. La propiedad que os traigo hoy es la siguiente:

Todo número perfecto par (mayor que 6) puede expresarse como suma de cubos de números impares consecutivos, comenzando siempre en el 1.

Veamos algunos ejemplos con los números perfectos pares más pequeños conocidos:

  • 28=1^3+3^3
  • 496=1^3+3^3+5^3+7^3
  • 8128=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3
  • 33550336=1^3+3^3+\ldots +125^3+127^3
  • 8589869056=1^3+3^3+\ldots +509^3+511^3

No sé a vosotros, pero a mí me parece maravillosa esta propiedad.

¿Tenemos demostración de la misma? ¡Pues claro! Y la vamos a ver en esta entrada. Vamos con ella:

Demostración:

Sea N nuestro número perfecto par mayor que 6. Por tanto, N=2^{p-1} \cdot (2^p-1), con 2^p-1 un número primo (y, por tanto, p también primo).

Por otro lado, vamos a calcular la suma de los cubos de los primeros n impares. Para ello, nos van a venir muy bien las fórmulas de Faulhaber.

Comenzamos calculando la suma de los cubos de los primeros 2n enteros positivos:

\displaystyle{\sum_{k=1}^{2n} k^3=\cfrac{(2n)^4+2 \cdot (2n)^3+(2n)^2}{4}=\cfrac{16n^4+16n^3+4n^2}{4}=4n^4+4n^3+n^2}

Por otro lado, calculamos la suma de los cubos de los primeros n enteros pares:

\displaystyle{\sum_{k=1}^n (2k)^3=8 \cdot \sum_{k=1}^n k^3=8 \cdot \cfrac{n^4+2 n^3+n^2}{4}=2n^4+4n^3+2n^2}

Evidentemente, la suma de los cubos de los primeros n enteros impares será igual a la resta de estas dos sumas:

\displaystyle{\sum_{k=1}^n (2k-1)^3=(4n^4+4n^3+n^2)-(2n^4+4n^3+2n^2)=2n^4-n^2=n^2 \cdot (2n^2-1)}

Volviendo al principio, como p es primo y nuestro número perfecto par N es mayor que 6, seguro que p es impar. Por tanto, podemos tomar n=2^{(p-1)/2} en la expresión anterior, concluyendo así la demostración:

\displaystyle{\sum_{k=1}^{2^{(p-1)/2}} (2k-1)^3=\left ( 2^{(p-1)/2} \right )^2 \cdot \left ( 2 \cdot \left ( 2^{(p-1)/2} \right )^2-1 \right )}=2^{p-1} \cdot (2^p-1)=N

Para terminar, os dejo un par de propiedades más de los números perfectos pares de las cuales ya hemos hablando en este blog:

Como se puede ver (aunque ya lo sabíamos), los números perfectos también parecen ser una fuente inagotable de curiosidades matemáticas. ¿Conoces alguna más que creas que merece ser destacada? Cuéntanosla en los comentarios.

Por cierto, la imagen principal ha sido generada por IA con la herramienta Stable Doddle.

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