Sebastián Martín Ruiz me manda un mail hablándome sobre un nuevo tipo de números cuya descripción ha creado él mismo: los primos pseudogemelos. Vamos a ver cómo se construyen:
Definición
Dados 
![TW \left [n,m \right ]=\cfrac{\left [ (n-1)!+1 \right ] \left [ (m-1)!+1 \right ] (n^2+m^2)}{n^2 m^2+2nm}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=TW+%5Cleft+%5Bn%2Cm+%5Cright+%5D%3D%5Ccfrac%7B%5Cleft+%5B+%28n-1%29%21%2B1+%5Cright+%5D+%5Cleft+%5B+%28m-1%29%21%2B1+%5Cright+%5D+%28n%5E2%2Bm%5E2%29%7D%7Bn%5E2+m%5E2%2B2nm%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "TW \left [n,m \right ]=\cfrac{\left [ (n-1)!+1 \right ] \left [ (m-1)!+1 \right ] (n^2+m^2)}{n^2 m^2+2nm}")
Decimos que 
![TW \left [n,m \right ]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=TW+%5Cleft+%5Bn%2Cm+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "TW \left [n,m \right ]")
¿Por qué primos pseudogemelos?
La primera pregunta que puede venirnos a la cabeza es la que encabeza esta parte del artículo: ¿por qué primos pseudogemelos?. Pues muy sencillo: casi todos los valores enteros de la expresión
F[n_,m_]:=((n-1)!+1)*((m-1)!+1)*(m^2+n^2)/((m*n)*(m*n+2))
Do[If[IntegerQ[F[n,m]],Print[n,» «,m]],{n,2,2000},{m,n,2000}]
podemos encontrar con el programa Mathematica las parejas de primos pseudogemelos, es decir, las parejas de números enteros positivos que hacen que
De 2 a 2000
3 5
5 7
7 191
11 13
17 19
29 31
41 43
41 1993
59 61
71 73
101 103
107 109
137 139
149 151
179 181
191 193
197 199
227 229
239 241
269 271
281 283
311 313
347 349
419 421
431 433
461 463
521 523
569 571
599 601
617 619
641 643
659 661
809 811
821 823
827 829
857 859
881 883
1019 1021
1031 1033
1049 1051
1061 1063
1091 1093
1151 1153
1229 1231
1277 1279
1289 1291
1301 1303
1319 1321
1427 1429
1451 1453
1481 1483
1487 1489
1607 1609
1619 1621
1667 1669
1697 1699
1721 1723
1787 1789
1871 1873
1877 1879
1931 1933
1949 1951
1997 1999
De 2000 a 4000
Do[If[IntegerQ[F[n,m]],Print[n,» «,m]],{n,2000,4000},{m,n,4000}]
2027 2029
2081 2083
2087 2089
2111 2113
2129 2131
2141 2143
2237 2239
2267 2269
2309 2311
2339 2341
2381 2383
2549 2551
2591 2593
2657 2659
2687 2689
2711 2713
2729 2731
2789 2791
2801 2803
2969 2971
2999 3001
3119 3121
3167 3169
3251 3253
3257 3259
3299 3301
3329 3331
3359 3361
3371 3373
3389 3391
3461 3463
3467 3469
3527 3529
3539 3541
3557 3559
3581 3583
3671 3673
3767 3769
3821 3823
3851 3853
3917 3919
3929 3931
Comencé las comprobaciones para números mayores pero tarda demasiado y han salido muy pocos: entre 4000 y 6000 he obtenido las siete primeras parejas y coinciden con los primos gemelos y entre 6000 y 8000 he conseguido las tres primeras parejas y también coinciden. De todas formas igual las órdenes de Mathematica que ha utilizado Sebastián igual son mejorables en el sentido de agilizar los cálculos. Si conocéis alguna mejora no dudéis en comentarla.
¿Sólo aparecen primos gemelos?
Hasta 4000 sólo aparecen dos parejas de números que hacen que 
Cuestiones
Por tanto después de todo lo comentado tenemos principalmente estas dos cuestiones planteadas por Sebastián:
1.- Demostrar que si
2.- Encontrar más parejas de primos pseudogemelos que no sean primos gemelos aparte de
A la vista de los datos experimentales no parece que haya más parejas de primos pseudogemelos que no sean primos gemelos. Si ésto fuera así y si se demuestra la primera cuestión tendríamos el siguiente resultado:
Los conjuntos {parejas de primos pseudogemelos} y {parejas de primos gemelos} coinciden salvo en las parejas
Esto sería un descubrimiento bestial ya que supondría haber encontrado una fórmula para generar parejas de números primos gemelos, cosa que, hasta donde yo sé, no existía hasta la fecha. Y por extensión también para encontrar nuevos números primos, ya que todos los números que aparecen a partir de la fórmula son números primos. No los encontraremos todos, pero sí podríamos encontrar primos realmente grandes con una fórmula bastante simple comparada con los algoritmos que existen en la actualidad. De hecho estos algoritmos, también hasta donde yo sé, lo que hacen es tomar un número y aplicarle ciertos resultados para determinar si es primo. Esta fórmula también es mejor en este sentido ya que, siempre partiendo de que la cuestión anterior es cierta, no hace falta introducirle un número para comprobar, los genera sola. Lo dicho, bestial.
¿Habrá conseguido Sebastián abrir la puerta del descubrimiento de una fórmula generadora de números primos gemelos y en consecuencia también de números primos? Si es así, como he comentado antes, esta fórmula no los generaría a todos. De todas formas, ¿servirá esta fórmula para encontrar otras a partir de ella que generen los restantes? Preguntas sin respuesta, al menos por ahora.
El último dato del asunto que tengo en mi poder es que Sebastián ha enviado su fórmula con las cuestiones a varios sitios, entre los cuales está Prime Puzzles, web dedicada a recopilar los problemas más interesantes relacionados con los números primos. Podéis encontrar el problema de los números primos pseudogemelos en este enlace: Puzzle 444: Pseudo Twin primes. También ha enviado la información a Wolfram y a algunos otros sitios para que lo analicen. Tendremos que estar atentos.
Actualización: Me informa Sebastián por mail de que ha encontrado dos parejas más de números que cumplen que la fórmula da un número entero pero no son primos gemelos. Aquí las tenéis:
De todas formas parece que el resto siguen coincidiendo con las parejas de primos gemelos. Seguiré actualizando esta entrada conforme me vayan llegando más datos.
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La cuestión 1) es directa, no? («Demostrar que si n y m son primos gemelos entonces son primos pseudogemelos.») Es una consecuencia del teorema de Wilson. También, tener en cuenta que
si 
.
Está claro que lo interesante sería el recíproco.
Coincido contigo, Domingo, la cuestión 1 es directa.
Aunque soy escéptico respecto a lo que esta fórmula pueda aportar, se me ocurre una mejora a la misma que consiste en añadir el factor
al denominador. He visto que de esta manera se ‘arreglan’ los casos (7,191), (41, 1993) y (59, 13537). El caso (241, 45293) no he podido comprobarlo.
Ahora la cuestión es ver si para esta nueva fórmula hay excepciones.
¡Las fórmulas expuestas me parecen muy interesantes! ¡Creo que es necesario seguir investigando este tema a fondo! En cuanto a la denominación del conjunto, debo confesar que tengo mis reparos. Esto se debe a que ahora a los primos gemelos también se los podría llamar primos pseudogemelos, lo cual me parece contradictorio. Para resolver este problema, con todo respeto me atrevo a sugerir el nombre de primos hermanos para todo el conjunto y restringir el nombre de pseudogemelos para aquellos primos que produzca la fórmula pero que no sean primos gemelos, por ejemplo el número 1993. Así todos los números… Lee más »
Esto sería un descubrimiento bestial ya que supondría haber encontrado una fórmula para generar parejas de números primos gemelos Uhmm… creo que esta fórmula no añade nada nuevo a la hora de encontrar números primos gemelos. Supongamos que tenemos la pareja de números impares y queremos ver si son primos gemelos. La fórmula es *mucho más* costosa de computar que averiguar, simplemente, si es primo mediante la comprobación: Por otra parte, supongamos que tenemos la pareja de números impares , donde sabemos que es primo. Entonces es *igual* de costoso aplicar la fórmula que simplemente comprobar la primalidad de :… Lee más »
Lo que quería decir es que si se demuestra que cualquier pareja de números separados por dos unidades que genera esta fórmula son primos entonces sí tendríamos una fórmula para generar números primos gemelos sin necesidad de comprobar la primalidad de ninguno de ellos. El problema es precisamente demostrar ese hecho.
¿No estás implícitamente comprobando la primalidad de cada uno de ellos al calcular los factoriales de n-1 y m-1?
Sive, a eso me refería yo justamente en mi comentario.
Totalmente de acuerdo, Manuel, de hecho, la fórmula es extremadamente ineficiente, el coste computacional es enorme (producto de dos factoriales y cuadrados…) y ni siquiera garantiza que el resultado sean primos gemelos. Además cualquier función que se utilice para obtener si un número es primo, será mucho más eficiente que el cáculo del factorial. Es mucho más eficiente (y garantiza primos gemelos) seguir estos pasos (supongamos n > m): 1.- n y m impares? 2.- n – m = 2? 3.- m es primo? 4.- n es primo? Diamond, la fórmula no veo que genere nada, sino que ante unos… Lee más »
Hay que tener cuidado con las denominaciones de números nuevos. En este caso, desde el punto de vista etimológico, decir que una pareja de primos gemelos puede ser a la vez una pareja de primos pseudogemelos es una contradicción.
Opino lo mismo que Asier, el costo computacional es muy elevado y seria facil ver por que simplemente calculando cuanto tardaria la Blue Gene (La computadora mas veloz del mudo hasta 2005) en llegar a que utilizando los numeros primos gemelos mas grandes (de mas de 58000 digitos). Quedaria claro que el metodo que propone Asier Es mas factible (aunque no necesita el paso 1, que esta implicito en 3 y 4).
Seguramente Asier incluyó el paso 1 sólo como obvia optimización del algoritmo.
Un algoritmo levemente más eficiente es:
1. ¿Es n – m = 2?
2. ¿Es m impar?
3. ¿Es m primo?
4. ¿Es n primo?
Puestos a encontrar un algoritmo eficiente, lo mejor que se me ha ocurrido es:
– Para x=0,1,2,3,4…
– Hacer n=6x+5
– Si n no es primo, final.
– Hacer m=n+2
– ¿Es m primo?
NO EXISTEN LOS NUMEROS PRIMOS PSEUDOGEMELOS!! Aquì no hay nade de bestial,sòlo una conjetura rescatable. TW(n,m) es siempre un entero cuando n, m son primos gemelos, veamos: El denominador es evidentemente factorizable: n^2*m^2 + 2nm = nm(nm + 2), podemos expresar FW(n,m) = (n – 1)! + 1 (m – 1) + 1 (n^2 + m^2) ————– * ————- * ———– n! m! nm + 2 donde los dos primeros factores son enteros si y solamente si n, m son nùmeros primos (Teorema de Wilson). Si n,m son primos gemelos, es decir m = n+2, el tercer factor siempre es… Lee más »
Perdon!!! no sè usar còdigo làtex, espero entiendan la fòrmula.
Gracias!!
((n-1)!+1)/n! * ((m-1)!+1)/m! * (n^2+m^2)/(nm+2)
perdòn otra vez los denomidores de los dos primeros factores son n, m; y no n!, m!
Hasta donde yo tenía entendido la manera de saber si dos números eran primos gemelos era comprobando si ; 4((p-1)!+1) = – p mod(p^2+2p). O sea que esto sería como decir que en la fórmula f(n) = 4((n-1)!+1)+n / (n^2+2n) los valores que dejen resultados enteros son los primeros números en cada pareja de primos gemelos. Es cierto que el coste computacional es enorme, si lo que queremos es comprobar si dos primos son gemelos con pocos recursos se le aplica el test de Miller-Rabin a p y también a p+2 y acabaríamos pero me parece genial que se investigue… Lee más »