Poliedros regulares: el Tetraedro

El siguiente artículo es una colaboración enviada por snipfer

Comenzamos con este post el primero de lo que esperamos sea una serie dedicada a tratar los cinco poliedros regulares.
Los poliedros son entes de razón que, como su propio nombre indica, están formados por muchas caras. Específicamente cuatro o más y sin límite superior. Si nos restringimos a los poliedros regulares, entonces las caras deben ser polígonos regulares, es decir, aquellos formados por segmentos de igual longitud que formen el mismo ángulo entre segmentos contiguos.
Si imponemos esta restricción ya no podemos construir ilimitados poliedros, sino que nos limitamos a 5, los poliedros regulares, también conocidos como sólidos platónicos, que son conocidos por los hombres desde tiempos de la Grecia antigua.
Antes de continuar dejemos clara la nomenclatura que se usará en este post:

• Cara: Cada uno de las porciones de plano limitadas por las aristas.
• Arista: Son segmentos de recta, convergen entre si en los vértices.
• Vértices: Puntos en común de las aristas, como mínimo deben converger tres aristas y tres caras en un mismo vértice.
• Sección: Polígono resultante de la intersección de un plano cualquiera con las caras del poliedro
• Verdadera magnitud: Elemento que se ve sobre el plano del cuadro (papel o pantalla) sin deformaciones. Sin rigor: es aquella representación que se puede medir sobre el papel.

La limitación del número de poliedros regulares se puede razonar de la siguiente manera: Cada uno de los vértices de un poliedro, y las aristas que en el concurren, sea el poliedro regular o no, forma un ángulo sólido. Por esta razón, la suma de los ángulos que forman los lados que convergen en un mismo vértice debe ser menor de 360º (2π radianes).
Esto sólo sucede con seis polígonos regulares: El triángulo, con 60º entre lados, dará lugar a tres poliedros(60·3=180<360; 60·4=240<360; 60·5=300<360); el cuadrado, con lados en ángulo recto y el pentágono, cuyos lados están separados 108º, darán lugar a un poliedro cada uno.

En esta entrada sólo trataremos el tetraedro, que es el más simple de los poliedros y está formado por cuatro triángulos equiláteros. Como hemos demostrado antes con la suma de ángulos, en cada vértice convergen tres caras.

El desarrollo de dicho cuerpo, es decir colocar desplegadas todas las caras sobre un mismo plano, tiene forma de triángulo equilátero de superficie cuatro veces la de cada una de las caras que lo conforman. Tiene un aspecto similar al logotipo de Fischer o el Triforcio de los juegos Zelda.

Para construir el cuerpo basta con doblar los tres extremos por las líneas discontinuas hasta que los tres vértices converjan en un mismo punto. Se obtiene una pirámide triangular de altura H=a(2/3)^(1/2), siendo a, la longitud de la arista.

Para una mejor comprensión de lo aquí expuesto, he aquí unos dibujos:

En el primero, podemos ver un tetraedro apoyado sobre una de sus caras sobre el plano horizontal usando el sistema diédrico. Obsérvese que la cara que hace las veces de base (el triángulo ABC) se ve en verdadera magnitud en su vista en planta, y que en esa misma vista, el vértice superior D se encuentra sobre el centro de su cara opuesta. Esto nos da una idea de su regularidad, pues pasaría lo mismo independientemente de qué cara hiciese las veces de base.
Absolutamente todos los parámetros de todos los poliedros (distancias entre caras opuestas, ángulos, altura…) se pueden deducir de las propiedades geométricas de sus caras, bien gráficamente o utilizando matemática simbólica y como la única diferencia entre dos sólidos del mismo tipo es el tamaño de su arista y su orientación, nos basta con estudiar uno en función de su arista.

Ya que es mucho más fácil de ver las propiedades de estos cuerpos de forma gráfica, este será el método que usaremos. Para ello, nos valdremos de una sección particular que nos proporcionará todos los datos del tetraedro. La llamada sección principal.

Todos los poliedros regulares tienen una sección principal que cumple unas características muy concretas, pero dada la singularidad del tetraedro, que se pone de manifiesto en el hecho de que no tiene aristas paralelas, dejaremos pues su definición para cuando tratemos el hexaedro y el octaedro.

En el tetraedro la sección principal contiene una arista y dos alturas de las dos caras a las que la arista no pertenece. En la perspectiva de la derecha es el polígono dibujado en rojo, se trata de un triángulo isósceles.

Su construcción es muy sencilla y basta saber manejar el compás y la escuadra y el cartabón (o un programa de CAD en su defecto).

Entender la sección principal de cualquier poliedro supone poder dibujar el poliedro colocado en cualquier posición Debido a su importancia vayamos paso a paso analizando el dibujo de más abajo.

El triángulo azul es la cara del tetraedro en verdadera magnitud, un triángulo equilátero de lado a. Trazando una perpendicular a un lado por el vértice opuesto se obtiene la altura h, en rojo.

Usando uno de los lados del triángulo y el segmento h se construye la sección principal, en el dibujo regruesada en negro. En esta sección se puede observar en verdadera magnitud una arista, el lado desigual del triángulo, así como dos alturas de cara h.

Haciendo un ejercicio mental, podemos ver cómo cada uno de los lados h, es la proyección de una cara sobre el plano del cuadro, (nuestra pantalla), por lo que una recta perpendicular a esa cara resulta perpendicular a nuestra proyección h. Trazando la perpendicular por un vértice a una cara, obtenemos la altura H del tetraedro, en verde en el dibujo. También se obtiene el centro del poliedro y los radios r_i y r_c de las circunferencias inscrita y circunscrita respectivamente.

El que tratemos en solitario el tetraedro, no es un mero capricho, sino que hemos decidido ordenar la explicación en función de una propiedad de los poliedros regulares llamada dualidad. Esta dice que todo poliedro regular, engendra otro poliedro, también regular, si tomamos como nuevos vértices los centros de las caras del poliedro original. En el caso particular del tetraedro, es dual de si mismo, hecho que se debe a que tenga tanto cuatro vértices como cuatro caras (cosa que no pasa con el resto de los poliedros).

Como podemos ver en el dibujo de la derecha, si unimos los centros de las caras del tetraedro verde, obtenemos otro tetraedro más pequeño. Como ya se ha comentado más arriba, ambos tetraedros son esencialmente el mismo; por tanto bastaría girar el verde π/2 radianes y reducir el tamaño de sus aristas a un tercio, manteniendo fijo el centro, para obtener el tetraedro rojo. El que la arista se reduzca a un tercio, se puede demostrar muy rápidamente haciendo uso de la sección principal.

Obsérvese que la arista roja horizontal situada debajo de la arista 8-6 está sobre la sección principal con sus extremos en el centro de las caras. Llevamos los datos a la sección principal teniendo en mente que el centro de un triángulo equilátero dista 1/3 de la altura, medida desde el lado correspondiente a dicha altura. Usando un poco de trigonometría o dibujando sobre el papel, obtenemos la relación antes expresada.

La perspectiva isométrica en la que se muestra la dualidad también resulta interesante para ilustrar una propiedad geométrica curiosa del tetraedro. Fijémonos que las aristas opuestas de cualquier tetraedro están contenidas en caras opuestas de un hexaedro regular (un cubo). Es más, son dos diagonales de las caras formando entre si por lo tanto un ángulo recto. De esto se puede deducir que la proyección horizontal del tetraedro verde del ejemplo sería el cuadrado 1-2-3-4 y sus dos diagonales. Os proponemos a modo de problema que nos digáis en los comentarios el ángulo que forman dos caras del tetraedro. Y no os pedimos el valor numérico, que es 70.528779°, sino una expresión explícita del ángulo en función de los datos de una cara. Fijáos en que no hace falta que demos ningún valor pues los únicos parámetros que afectan a cualquier dato del tetraedro son los de un triángulo regular. Aun así aclararemos que trivialmente el ángulo no depende del tamaño de la arista y que los ángulos de un triángulo equilátero valen todos 60º. El problema ya está prácticamente resuelto en una de las figuras anteriores y lo único que tenéis que hacer es aplicar unos elementales conocimientos de trigonometría.