Supongamos, que dos personas están en un habitación y que entre los dos tuvieran infinitas monedas. Como las monedas son todas iguales (digamos de un euro), se les coloca un “número” a cada una de las monedas y las ordenaron en forma creciente (1, 2, 3, …). Además, en la habitación hay: una caja enorme y un cronómetro.
Entonces, comienza el siguiente proceso: una persona cronometra un minuto, y en 30 segundos la otra persona coloca en la caja las monedas numeradas del 1 al 10. Una vez hecho esto, el cronometrador retira la moneda que lleva el número 1. Después, en la mitad de lo que queda de minuto (15 segundos), la persona sin cronometro coloca en la caja las monedas del 11 al 20, y el cronometrador rápidamente retira la moneda con el número 2. Así, en la mitad del tiempo que queda (7 segundos y medio) de nuevo se realiza el mismo proceso, y se continuaría haciendo lo mismo indefinidamente.
Es decir, cada vez en la mitad del tiempo que queda para terminar el minuto, una persona mete 10 monedas en la caja y la otra saca la moneda con el número más bajo que haya.
Ahora llegamos a la pregunta:una vez terminado el tiempo (o sea, cuando terminó el minuto), ¿cuántas monedas hay en la caja?
Este problema es parecido al tan polémico «la cuerda y el gusano«.
(Gracias a Marcelo)
La tentación es decir, naturalmente, que en la caja hay infinitas monedas. De hecho, después de los primeros 30 segundos, hay 9 monedas, después de los 45, hay 18 monedas. Pasados 52 segundos y medio, hay 27 monedas, y luego de 56 segundos y un cuarto, hay 36 monedas. Es decir, luego del primer tramo, quedaron 9 monedas, después del segundo, 18. Luego del tercero, 27. Luego del cuarto, 36. La idea es que luego de cada parte del proceso aumentamos en nueve la cantidad de monedas. Más aún: si uno “detuviera” el reloj en cualquiera de los pasos, en la caja habría un número de monedas que sería un múltiplo de nueve (¿entiende por qué? Es que en cada paso, ponemos 10 y sacamos 1).
Luego de este razonamiento que acabo de hacer, es esperable que uno tienda a suponer que hay infinitas monedas en la caja cuando termina el proceso.
Sin embargo, esto es falso. En realidad, en la caja ¡no quedó ninguna moneda!
Veamos por qué. ¿Qué moneda puede haber quedado en la caja? Elija usted un número de moneda cualquiera (claro… como usted no puede, voy a elegir yo, pero lo invito a que haga usted el razonamiento por su cuenta). Por ejemplo, la número 3.
¿Pudo haber quedado la número 3 en la caja? ¡No! Porque ésa fue la que su amigo sacó luego del tercer paso.
¿Pudo haber quedado la número 20 dentro de la caja? ¡No! Tampoco ésta, porque luego del paso número veinte, sabemos que esa moneda la sacamos. ¿Podrá ser la número 100? Tampoco, porque luego del centésimo paso, la sacamos a ésta también. Entonces, otra vez: ¿qué moneda quedó dentro de la caja? Como usted advierte, cualquier moneda que usted crea que quedó adentro, tendrá que tener un número (digamos el 147.000), pero justamente, al haber llegado al paso 147.000 seguro que su amigo sacó esa moneda de la caja también.
Moraleja: a pesar de que atenta fuertemente contra la intuición, el hecho de ir sacando las monedas de la forma en la que describí más arriba, garantiza que cuando pase el minuto ¡no quedará ninguna moneda en la caja!
(La solución la he copiado literalmente)
(El problema y la solución se encuentran en Página/12)
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Pues si es como el problema de ‘la cuerda y el gusano’ entonces la caja tendría 0 monedas, ya que en un tiempo infinito (ya que el minuto nunca llegaría) el cronometrador acabaría sacando todas las monedas que el otro está metiendo, ¿no?
O más bien infinitas, ya que el crecimiento de la entrada de monedas es de orden 10 veces más rápido que la salida.
O dicho matemáticamente, sería la suma infinita de 9, que no tiene mucho aspecto de ser finito. Pero… Ya lo pensaré cuando libere las neuronas.
Ya está servida la polémica.
No quedan monedas, ya que las ha sacado todas (para cualquier n, ha sacado la moneda número n)
Si las monedas no estuvieran numeradas podríamos argumentar que quedan infinitas monedas, porque cada vez que se altera el estado de la caja se añaden 9.
Se dice q las monedas son infinitas, ok!. Pero antes de pensar si tiene involucrado alguna posion algebraica en el medio:
La caja se dice q es enorme, pero puede almacener infinitas monedas??? Si no puede, entonces se repite hasta q se llene la caja :P. Sino a pensarlo un rato mas.
jeje, es muy muy parecido 😉
Yo no digo nada… que lo sé lo se!!!
Bueno, aplicando los números transfinitos, podemos establecer un apareamiento entre los números naturales (monedas) y los números 10x+1.
11
112
213
…
Ambos tienen como cardinal aleph-o, ergo el mismo número de elementos, ergo al final no quedan monedas.
Por alguna extraña razón no me reconoce el grupo de caracteres menor que-guión-mayor que.
La lista correcta sería:
1…….1
11……2
21……3
…
Alejandro suponemos que la caja tiene capacidad para todas las monedas, es decir, infinita.
David los símbolos menor y mayor no los coge porque los interpreta como etiquetas HTML.
neok, gracias, pero la solución ¿está bien?
Y para otra vez, ¿Cómo puedo poner las flechas? ¿Admite símbolos, por ejemplo, copiados del Word o escritos mediante alt+3579?
Empirismo:¹ (combinación
), ₪ (pegado).
David la solución dentro de poco la pondré, los símbolos se pueden insertar mediante código HTML los que sean símbolos especiales para éste.
Mirad esta web para los símbolos en HTML.
Tiene esto algo que ver con las sucesiones de Goodstein?
Pues entonces, la cantidad de monedas q hay en la caja es la misma q la cantidad de monedas q tiene el chico del cronometro, a su vez igual a la cantidad inicial de monedas.
Espero q este sea mas claro q el de la cuerda y el gusano
Ciertamente se parece al otro problema,
Supongamos una funcion f(x) el numero de monedas que hay en la caja y donde x toma el valor de las veces que se ha hecho la accion de meter 10 y quitar 1, la cantidad de monedas que si habra en cada punto sera 10x-x, para que llegase al minuto habria infinitos sucesos. Si haces el limite de esta función cunado tiende al infinito te da que en la caja hay infinitas monedas…
Un saludo Paco
Este problema ya lo había visto en otro lado y la solución que «comúnmente se acepta» es la de que hay cero monedas, y lo pongo entre comillas porque está el problema de la interpretación del problema ya que se puede argumentar que hay cero monedas por una «supuesta» contradicción. Pero en verdad nunca me ha convencido esa demostración ya que si se plantea que en cada paso hay 9*n monedas y necesitamos un número infinito numerable de pasos para terminar entonces al final hay infinitas monedas y es una interpretación válida. Al igual que con el problema del gusano… Lee más »
elessar la interpretación es única, te lo aseguro. En este problema una de tus interpretaciones no es válida y en el problema de la cuerda y el gusano pasa lo mismo. Lo de este problema lo dejo para cuando neok publique la solución. Sobre la cuerda y el gusano: Nadie ha dicho que haya un momento (número real) para el cual el gusano alcance el final de la cuerda. Eso es a todas luces imposible. Lo que se dijo es que con tiempo infinito los dos recorren la misma distancia. ¿Qué distancia? Pues infinita del mismo orden. Y eso no… Lee más »
Pues la pregunta que yo leí es esta: «¿Alcanzará alguna vez el gusanito el final de la cuerda?», ¿te das cuenta que en tu solución no respondiste esa pregunta? Sólo argumentaste que el gusano recorre una distancia infinita en un tiempo infinito y la cuerda también se hace de longitud infinita en ese tiempo infinito, de eso mi mente no concluye que el gusano llega al final de la cuerda, es el problema de la interpretación, ya que yo interpreto que el gusano llega al final de la cuerda cuando la cabeza del gusano está a la misma distancia que… Lee más »
Sí crecen en la misma proporción ya que el gusano acaba recorriendo una distancia infinita de cuerda, exactamente la misma que recorre la propia cuerda. Y ya lo he dicho, eso es así por la porción de cuerda que recorre el gusano en cada instante de tiempo. En un comentario ya expliqué que si la porción de cuerda recorrida por el gusano fuese de otra forma el gusano no alcanzaría en final de la cuerda aunque el tiempo fuera infinito. El principal problema de este tipo de juegos es el infinito. No podemos mezclar lo infinito con lo infinito. Las… Lee más »
«Sí crecen en la misma proporción ya que el gusano acaba recorriendo una distancia infinita de cuerda, exactamente la misma que recorre la propia cuerda.», es cierto eso, pero ya no sigas por esa línea de la argumentación, porque para mi el gusano nunca llega al final de la cuerda (ya expliqué para mi qué significa que el gusano llegue al final de la cuerda), lo único que me has argumentado es que el gusano recorre una distancia infinita de cuerda y ya, que es cierto. Sé que el infinito no es intuitivo y que hay distintos infinitos, y que… Lee más »
Por pasos: Nunca puede ser cero la cantidad de monedas en la caja y se lo demuestra facilmente por miles de caminos, pero se lo puede ver si se toma en consideracion q se extrae un moneda despues de metar antes otras 10. Q pasaria? llegaria un punto donde el del cronometro se hace el piola y saca no solo de la caja sino tb de la mano del otro?. 😛 Distinto fuera el caso si en el primer minuto uno se encarga de poner de a 10 monedas y al siguiente minuto el otro se encarga de sacar de… Lee más »
Alejandro, Diamond es licenciado en matemáticas, al contrario que yo que soy informático, y lo puedes ver en ¿Quiénes somos?, por tanto yo supondría que sabe de lo que habla, y con esto no quiero decir que no se equivoque todos nos equivocamos a veces. 😉 Respecto a los infinitos, voy a hablar de mis conocimientos, y es que a mí en Cálculo cuando me enseñaban los límites me dijeron claramente que hay diferentes ordenes de infinito y que los puedes usar para resolver límites triviales, entonces una función como e^x es de un orden mayor que una función 10·x,… Lee más »
Bueno creo que he hecho una demostración basandome en induccion y en algunos otros teoremas basicos, que puede poner fin a este debate a ver que os parece
http://docs.google.com/View?docid=dfntp6g6_8fsdwxn
Quedan cero, está claro… cuando el rango de tiempo sea demasiado pequeño, será más fácil sacar que meter, haced la prueba xDDDDDDD
Yo estoy entre los que piensan que, aplicando lo del dichoso gusano, la respuesta «correcta» debería ser cero monedas. Aunque me parece más correcto decir que quedan infinitas monedas, peeeeeeeero…….
Si bien es cierto q por muy algo q sea n, en el intervalo n-esimo acabariamos sacando la moneda n, también lo es q en ese mismo intervalo habrían 9xn monedas en la caja, por tanto, no estaria vacia, podriamos esperar al intervalo o=9xn para sacar la ultima moneda, pero entonces ya tendriamos en la caja 9xo monedas(9x(9xn))
Por infinitas que sean las particiones que podemos hacer en un minuto tambien son infinitas las monedas q vamos metiendo,en el instante ∞ sacariamos la moneda ∞, pero nos qedarian 9x∞ en el interior de la caja.
Jajaja, ya me va a escuchar Paenza, le voy a reclamar sobre su libro y ademas sobre este problema!! 😛
Igual bien por publicar la fuente del problema, aunque haya salido no un medio no «matematico» y por lo tanto faltante de los fundamentos «importantes» q hacen a la parte matematica.
Este y muchos problemas mas son extraido del libro de Adrián Paenza, que a su vez son re-editados por el diario Pagina 12 de Argentina.
El libro se llama «Matematica… ¿estas ahí?» y se puede descargar de internet, lo recomiendo. Si alguien lo quiere se lo paso !!!
Ahora que ya se publicó la respuesta quisiera que de favor ^DiAmOnD^ me argumentara por qué se deben usar todos y cada uno de los números naturales para que el tiempo se haga cero, porque de la definición formal de límite de una sucesión que tiende a cero cuando n tiende a infinito eso no sé cómo se infiera.
¿O lo volví a interpretar mal?
Yo estoy en desacuerdo con esa solución, porque no demuestra nada. Es decir es una respuesta tan intuitiva como puede ser la otra. La intuición de esta moneda es la monda x siempre sera sacada. Como habeis dicho el infinito no es nada intuitivo, y por lo tanto no pueden darse ese tipo de soluciones porque dependen claramente de lo que quiera uno entender. Cualquiera puede decir que aunque esten numeradas en cualquier momento (hasta el infinito) habría el mismo numero de monedas si las metieras numeradas, como no y partiendo de esta interpretación la solución no seria correcta. Pero… Lee más »
Joder que mal hablo recien levantado. Reescribo mi comentario con un poco mas de sentido JEJEJEJE Yo estoy en desacuerdo con esa solución, porque no demuestra nada. Es decir es una respuesta tan intuitiva como puede ser cualquiera de las anteriores. La intuición de esta solucion es que cualquier moneda que metes será tarde o menprano sacada. Como habeis dicho el infinito no es nada intuitivo, y por lo tanto no pueden darse ese tipo de soluciones porque dependen claramente de lo que quiera uno entender. Cualquiera puede argumentar que aunque estén numeradas en cualquier momento (hasta el infinito) habría… Lee más »
Paco, creo que no se trata del limite de una sucesion, sino del valor de una serie, es decir, la suma de los infinitos terminos de la sucesion.
Un saludo
Esa respuesta no es valida matematicamnte…
Vamos, es mas la historieta sobra bastante, hay que pensar que si hemos recogido n monedas estemos en el momento n de tiempo y se habrán puesto n*9 monedas, por lo que si hacemos un limite al infinito nos dará infinitas monedas.
Vamos creo yo….
elessar para que la sucesión 1/n se haga cero necesitamos todos los números naturales, es decir, necesitamos hacer el límite cuando n tiende a infinito de 1/n. Esa sucesión tiende a cero, creo que no hay duda, pero no existe ningún número natural n tal que 1/n sea cero.
Teniendo en cuenta que las monedas están numeradas son fácilmente identificables por su número. La pregunta es: ¿alguien podría decirme el número de una moneda que quedaría en la caja?
Saludos 🙂
No es una intuición, solamente no está escrito formalmente.
Sería algo así:
Llamamos M(p) al conjunto de las monedas en el paso p.
M(p)={x:x natural y px, no(infinito>infinito) y x*infinito=infinito para todo natural x, tenemos
M(infinito)={x:infinitoinfinito) cardinal(M(p))=infinito
(Antes me ha escrito mal los menor que)
No es una intuición, solamente no está escrito formalmente.
Sería algo así:
Llamamos M(p) al conjunto de las monedas en el paso p.
M(p)={x:x natural y p<x<=10*p}
Añadiendo infinito a los naturales, con infinito>x, no(infinito>infinito) y x*infinito=infinito para todo natural x, tenemos
M(infinito)={x:infinito<x<infinito}={}
Y por tanto no hay ninguna moneda.
Podemos destacar que no existe el límite cuando p tiende a infinito de M(p), aunque límite(p->infinito) cardinal(M(p))=infinito
Ahora sí me fallaste ^DiAmOnD^, ¿por qué son necesarios todos los naturales? Por que hasta donde yo sé sólo es necesaria una cantidad infinita numerable de naturales, ¿no?. Cuando haces el límite a infinito dice que para toda epsilon mayor que cero existe un natural a partir del cual 1/n es menor que el epsilon que tú diste, más no dice que ese natural que existe sea único ni sucesor de otro, sólo existe, quien sabe a donde ande. Y para tu pregunta «Teniendo en cuenta que las monedas están numeradas son fácilmente identificables por su número. La pregunta es:… Lee más »
Las condiciones del problema dicen que tenemos infinitas monedas numeradas con los números naturales. O sea que no vale coger sólo los números pares, o los múltiplos de 5, ya que estarías cambiando las condiciones del problema. Por otro lado tenemos infinitas monedas. Como dividiendo 1 minuto de la forma que se explica tendríamos infinitas divisiones se tiene que se usarán las infinitas monedas. Y para terminar: si quedara alguna moneda dentro de la caja al terminar el minuto ésta tendría un número. Decidme ese número. Si se puede entonces habrá monedas en la caja. Si para cualquier número que… Lee más »
Perfecto, eso es lo que quería leer, algo más específico sobre el problema, porque la definición me parece ambigüa y la demostración obscura, en lo personal las demostraciones platicadas me parecen muy informales. Si se definiera que para el paso «n» han sucedido sin excepción el paso «n-1» y se dijera que obviamente si los pasos siguen indefinidamente el tiempo se hace cero, entonces preguntar ¿cuántas monedas hay después de infinitos pasos cuando el tiempo se hizo cero? tendría la respuesta obvia de que no hay ningun a porque si hubiera algunas entonces el conjunto de las que quedaron sería… Lee más »
Yo voy a explicar aquí algo, que tiene algo que ver con esto, allá voy:
Teniendo las funciones f(x)=10·x y g(x)=x, es obvio ver que las dos contienen el mismo número de elementos (o números) y es obvio ver que el cardinal (perdón si esto no recibe este nombre) de ambas funciones es infinito y para ambas podemos ver que es el mismo, ya que con ambas podemos generar los mismos y el mismo número de elementos.
Sé que no es una explicación del problema, pero es una aclaración a temas que se han hablado aquí, o eso creo.
Hola amigos. He seguido con interés vuestra controversia y soy de la opinión de que la caja contendrá infinitas monedas cuando acabe el minuto de tiempo. ¿Por qué? Antes debemos contestar a la siguiente pregunta: ¿cambiaría algo el resultado del proceso el que en el paso «n» retiremos la moneda número «n» o cualquier otra de las que contiene la caja? Evidentemente, no. Supongamos entonces que en cada paso retiramos la que tenga un número acabado en 5, es decir, en el paso «n» retiramos la numerada como «5.(2n-1)», esto es: la 5 en el primer paso, la 15 en… Lee más »
Finalmente esto es lo que quería decir desde el principio, pero es muy díficil a veces expresarlo sin simbología, los vicios de usarla tan seguido:
http://blog.amarelloartis.com/wp-content/uploads/2006/12/respuesta.gif
Quizá hubiera ahorrado tiempo y tecleo.
Xoan tu planteamiento significaría modificar las condiciones iniciales del problema. El problema claramente dice que en cada paso se saca una cierta moneda. Lo que tú planteas sería otro problema ya que las condiciones iniciales son distintas.
elessar, yo creo que se trata más de un problema de indeterminación que de interpretación. Me explico: tras el paso «n», la caja contendrá «10n – n» monedas, por tanto, tomando límite: lim (10n – n) = inf – inf = indeterminado. Fíjate que no pongo «9n» sino «10n – n», que es la raíz de toda la cuestión dialéctica. Pero los que opinan que la caja estará vacía después del minuto de tiempo, consideran que «la moneda numerada con infinito» será retirada en algún instante, y esto es un error de concepto pues infinito no es un número. Así… Lee más »
DiAmOnD, ¿en verdad crees que tomar una moneda en lugar de otra cambiará en algo el resultado? Es tanto como suponer que las cosas son distintas porque se les dé distintos nombres.
Un perro es un perro aquí y en Pernambuco, aunque allí le llamen «can».
Ya, pero hay que tener en cuenta que es muy importante que las monedas estén numeradas. Las condiciones no dicen que sacamos cualquier moneda en cada paso sino una moneda concreta. Por eso lo que tú propones no es este problema sino otro, ya que cambias las condiciones iniciales.
El que yo propongo es otro problema pero equivalente y que tiene la misma solución. Te pongo un símil: una urna contiene cuatro bolas: B1, N2, N3, N4, donde B significa «blanca» y N significa «N». Si retiramos una bola negra, da igual que sea N2, N3 o N4, la probabilidad de extraer blanca pasará de 1/4 a 1/3, sin importar para nada el número de bola negra que retiremos.
Sí, cierto, pero en ese problema lo importante es el color de la bola, no su número (fíjate que acabas calculando la probabilidad de ser blanca en los dos casos). En el nuestro lo importante es que las monedas están numeradas y el número de moneda que se retira en cada paso.
Diamond, no quiero ser ofensivo, pero me recuerdas al viejo chiste del pobre hombre al que encargaron comprar un bocadillo de queso y le dieron dos euros, uno para pan y otro para queso. Al llegar al bar, el hombre se quedó dos horas indeciso hasta que, cuando le preguntaron qué le ocurría, contestó: «es que ahora mismo no me acuerdo de qué euro era para el pan y cuál era para el queso».
Dirás (lim 10n – lim n) ¿no? porque la sucesión 9n = 10n -n. ¿Te das cuenta que el problema sigue estando en la interpretación? Yo quiero tomar las monedas que hay en el instante despues de que el cronómetro se paró (o sea 9n) porque yo entendí que pasa de manera instatánea la operación de quitar la moneda, detener el cronómetro y volver a ponerlo a andar, y en la respuesta el autor no niega eso. Ahora tú dices que habría que considerarlo como enventos independientes, yo digo que son consecutivos y hay que respetar ese orden, por eso… Lee más »
Lo importante en el problema no es el número que tenga la moneda que se retira, sino sólo que se retira una, da igual su número.
Yo en parte estoy con elessar. Como ha dicho depende mucho de la interpretacion. Aún asi igual que tu dices reto a alguien a que diga lamonda que se queda en la caja, yo digo reto a quien quiera a que me diga cuando se saca la última moneda, puesto que la descripcion del problema dice claramente que se meten diez y se saca una.