Después de un fin de semana de viaje (los dardos han ocupado mi tiempo estos días) y un problema con Jazztel anoche (no me dejó conectar) os dejo el problema de la semana:
Sea un polinomio
en la variable compleja
, de grado exacto
y con coeficientes complejos. Supongamos que sus
son simples (distintas dos a dos) y sean
las raíces del polinomio derivado
. Calcular el valor de la siguiente suma:
A por él.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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El caso fácil en que
, da como resultado $lates S=0$.
Creo que con sólo notar que un polinomio de raíces simples no puede tener derivada nula en sus raíces basta para mostrar que la sumatoria da cero.
Parece que se puede demostrar que la sumatoria da cero siguiendo la línea que sugiere Hernan 1. no puede tener derivada nula en sus raíces 2. , que debe ser cero, da lo siguiente al desarrollarlo: Sumando a todas las raíces de la derivada se llega a la suma del problema Para demostrar que no tiene derivada nula en sus raíces, se parte de una expresión de como producto de sus raíces: (1) Aquí es fundamental que las raíces sean simples. es producto de factores no nulos, así que . Igualmente . De lo contrario tendríamos una raíz con derivada… Lee más »
Yo hice exactamente lo mismo que Gulliver.
También se llega a S con
$latex \displaystyle{
S = \sum_{i=1}^n
\frac {P^{\prime \prime}(a_i)} { P^\prime(a_i)}
}$
Gracias nene…