Suma de raíces

Después de un fin de semana de viaje (los dardos han ocupado mi tiempo estos días) y un problema con Jazztel anoche (no me dejó conectar) os dejo el problema de la semana:

Sea un polinomio P(z) en la variable compleja z, de grado exacto n y con coeficientes complejos. Supongamos que sus n raíces a_1, \ldots ,a_n son simples (distintas dos a dos) y sean b_1, \ldots ,b_{n-1} las raíces del polinomio derivado P^\prime (z). Calcular el valor de la siguiente suma:

\displaystyle{S= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n-1} \cfrac{1}{a_i-b_j}}

A por él.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comments

  1. Creo que con sólo notar que un polinomio de raíces simples no puede tener derivada nula en sus raíces basta para mostrar que la sumatoria da cero.

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  2. Parece que se puede demostrar que la sumatoria da cero siguiendo la línea que sugiere Hernan

    1. P(z) no puede tener derivada nula en sus raíces

    2. \displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } }, que debe ser cero, da lo siguiente al desarrollarlo: \displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{ b_j - a_i}}

    Sumando a todas las raíces de la derivada se llega a la suma del problema

    Para demostrar que P(z) no tiene derivada nula en sus raíces, se parte de una expresión de P(z) como producto de sus raíces: \displaystyle{P(z) = c \prod_{j=1}^n (z-a_j) } (1)

    \displaystyle{P^\prime(a_i) = \lim_{z \to a_i} \frac{P(z)-P(a_i)}{z - a_i} = c \prod_{j \not= i} (a_i - a_j) }

    Aquí es fundamental que las raíces sean simples. P^\prime(a_i) es producto de factores no nulos, así que P^\prime(a_i) \not= 0.

    Igualmente P(b_j) \not= 0. De lo contrario tendríamos una raíz con derivada nula.

    Ahora que sabemos que P^\prime(b_j) = 0 y P(b_j) \not= 0, podemos afirmar sin cargo de conciencia que \displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } = 0 }.

    Utilizando (1) el desarrollo de \displaystyle{\frac{ P^\prime(z) }{ P(z) }} es inmediato

    \displaystyle{\frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } = \sum_{i=1}^n \frac{1}{ b_j - a_i} = 0 }

    \displaystyle{ S = - \sum_{j=1}^{n-1} \frac{ P^\prime(b_j) }{ P(b_j) } }

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  3. También se llega a S con

    $latex \displaystyle{
    S = \sum_{i=1}^n
    \frac {P^{\prime \prime}(a_i)} { P^\prime(a_i)}
    }$

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