Un nuevo viernes os traigo uno de los problemas matemáticos que se proponen en la edición digital de El País. Hoy mismo apareció el decimosexto de los 30 que se van a proponer aprovechando la celebración del Centenario de la RSME.
Este problema dieciséis se titula Una molécula de siete átomos y lo propone Carmen Cascante Canut, decana de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Barcelona. Podéis ver dicho problema haciendo click en este enlace.
Recordamos que se sorteará la colección de libros «Las matemáticas nos rodean» entre todos los que acierten el problema de cada semana. Si encontráis la solución y queréis participar, sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el lunes 4 de julio.
Respecto a la dificultad de los problemas, recordad que se intenta llegar a la mayor cantidad de gente posible, por lo que no se pretende proponer problemas con una gran complejidad.
Y respecto al tema de los comentarios, os recuerdo mi opinión. En principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos.
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Igual es porque no he prestado mucha atención, pero si cabe la posibilidad de poner coordenadas racionales e irracionales, ¿por qué no se pueden poner todos los átomos dentro de un círculo de radio 1/2?
He pensado lo mismo Lola, así que supongo que la condición es que los átomos estén a exactamente 1 amstrong.
Deberían cuidar más estos detalles, algunos de los planteamientos han sido muy poco claros.
A mí «estén a un ångström de distancia» me parece clarísimo. ¿Por qué hace falta poner «exactamente»? Supongo que es deformación profesional, pero me parece que a veces confundimos rigor con rigidez.
Yo también pienso que estaba claro que la distancia tenía que ser exactamente 1 ångström, ya que si no fuera así debían haber dicho algo así como «…como mucho a una distancia de…» o «…a distancia menor o igual a…».
Por cierto, se ha cambiado el título del problema. Yo ya lo he actualizado en el post.
Encontrado el conjunto geométricamente. Puf, qué pereza calcular ahora las coordenadas…
A mí me quedó claro que tenía que ser exactamente 1 pero porque en caso contrario el problema sería trivial, no porque el enunciado lo aclarara.
Además, es contradictorio pretender querer llegar al máximo de gente posible, y después agarrarse al hecho de que el enunciado es literalmente correcto (cosa que nadie ha negado).
Solución enviada. Aunque geométricamente la solución puede quedar bastante sencilla, luego a la hora de sacar las coordenadas he tenido que jugar bastante con senos y con cosenos.
Yo se que soy muy torpe para los enunciados, pero este también me parece que está mal explicado.
Dicen que los átomos deben estar a 1 de distancia, vale, ¡pero no dicen cómo es un átomo!, ¿es un punto?, ¿es un círculo?, … ¿es un avión?.
NOTA 1: la distancia entre dos conjuntos es la menor de las distancias de los pares de puntos del producto cartesiano, pero ¿cual es el conjunto de puntos que ocupa un átomo?.
NOTA 2: sí, claro, que un átomo ocupa un punto es evidente…
Jose Juan sobre eso que dices: NOTA 1: la distancia entre dos conjuntos es la menor de las distancias de los pares de puntos del producto cartesiano, pero ¿cual es el conjunto de puntos que ocupa un átomo?. Desde luego que esa afirmación es un poco valiente. Si hay que hablar entre distancias entre conjuntos, ya que nos ponemos, lo normal sería usar la de Hausford que consiste en estudiar la máxima distancia de los puntos de A a B, la máxima distancia de los puntos de B a A y de estos 2 números, quedarte con el más grande.… Lee más »
Información Bitacoras.com…
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Tu réplica (zurditorium) sobre la distancia entre conjuntos es una impertinencia que no responderé.
En cuanto a:
«pero está claro que en el enunciado están considerando al átomo como un punto»
díme dónde lo dejan claro de forma objetiva.
De hecho. ante la duda. me dirigí al vídeo (y eso que el enunciado lo ponen para aclarar dudas ¡y ahí son circunferencias! (si es que ni siquiera es un punto gordo).
Qué mal estoy últimamente. De nuevo, este problema vuelve a parecerme muy fácil, pero mi bombilla lleva apagada muchos días y no encuentro corriente por ningún sitio…
Y encima ahora me quedo todo el verano casi sin Internet.
JoseJuan, ¿impertinencia lo que he dicho de los conjuntos? ¿Te piensas que te lo he dicho con desconocimiento? Creo que me has malinterpretado (aparte de que no sé por qué he escrito tan mal Hausdorff!!!), lo que he dicho no era hablar por hablar. Por si te piensas que lo que he dicho me lo he inventado, aquí tienes un link de la wikiipedia, como los que te gustan poner a ti hablando de la distancia de Hausdorff: http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_de_Hausdorff Aunque en la wikipedia ponga que es para compactos y luego que también vale para cerrados, en realidad vale para conjuntos… Lee más »
@Rafalillo, te puedo asegurar que no, que el problema no es fácil, o al menos la solución que yo he obtenido no es fácil de imaginar (y me refiero a la parte de imaginarse el conjunto, no ya a dar las coordenadas). Y que lo he sacado gracias a que ya había usado el mismo conjunto para resolver otro problema de lógica totalmente distinto.
No me extrañaría que este problema tenga menos respuestas correctas que el anterior (que tuvo muy pocas).
Chicos tranquilidad, a ver si nos vamos a enfadar por el enunciado de un problema.
Yo ya he dado mi opinión: creo que el enunciado del problema está suficientemente claro. Aunque bueno, sí es cierto que podían haber especificado algo más algunos detalles del mismo.
Pero vamos, que no es para cabrearse. Gracias por vuestra comprensión.
Yo estoy muy tranquilo y únicamente me importan los aspectos prácticos de la discusión, por eso no quise entrar en el tema de la distancia. Ya obligado, y dado que se me atribuyen lindezas como «los que te gustan poner a ti hablando de la distancia de Hausdorff». 1. Yo en ningún momento he hablado de la distancia de Hausdorff. 2. Yo no he dicho que la distancia de Hausdorff sea menos oportuna (aunque lo es). 3. Mi definición de distancia era pertinente (venía al caso) y es válida al 100% dentro de los límites del problema. 4. Tu referencia… Lee más »
Me ha gustado este problema porque, como dice Zurditorium, la solución no parece fácil de imaginar (yo, al menos, yo no pude hacerlo), y tuve que dar con ella en varios pasos.
Por cierto, Zurditorium, tengo curiosidad por conocer el «problema de lógica totalmente distinto» en el que necesitaste utilizar este conjunto… ya nos lo contarás una vez se publique la solución.
Yo he encontrado la solución geométrica con un sencillo grafo de siete vértices. Las coordenadas podría calcularlas fácilmente si tomásemos sencillamente la unidad, pero pasarlo a la unidad pedida me da pereza, jejeje.
@Rafalillo, por si te vale de consuelo, yo tampoco lo veo, aunque estoy emperrado en hacerlo de cabeza, a lo mejor ese es mi fallo. Ayer me acosté pensando que al despertarme tendría la solución en la cabeza, como sucede tantas veces, pero se ve que esta noche mis neuronas decidieron irse de parranda.
De hecho, ahora que lo pienso, a menos que me equivoque -agradecería que alguien me corrigiera si así es-, al menos puede existir una configuración geométrica (el grafo que he construido cumple el enunciado), pero, si tomamos el (0,0) como eje de giro de todo el sistema, la configuración se mantiene, pues el diseño del grafo queda inmutable, pero las coordenadas ‘se mueven’ si se hace virar la configuración sobre el eje, en cualquiera de los dos sentidos. Eso me lleva a pensar que existe más de una solución (todas las posibles al virar el grafo dos veces pi). ¿Qué… Lee más »
Yo todavía no lo veo y llevo un buen rato haciendo garabatos…
@Sebastián, efectivamente una vez tengas una solución, tienes infinitas soluciones ya que por rotar la figura completa alrededor de un punto no cambian las distancias entre los puntos de la figura.
JoseJuan, que en el problema los átomos son considerados puntos y ya está. Deja de darle vueltas. La definición usada para conjuntos da igual porque en el caso de puntos coinciden. Así que creo que es tan pertinente una distancia como la otra en este caso al ser iguales. Y creo que eres la única persona que no tiene claro que en el problema los átomos están siendo considerados puntos. Como ha dicho Diamond, sí, se pueden especificar más las cosas (y prácticamente en cualquier problema que te pongas), pero el enunciado del problema es bastante claro. @Jesús, ok, cuando… Lee más »
Que bonito problema. Quiero agradecer al chico que mencionó lo de los Grafos, me ayudó mucho a encontrar la solución.
A mí sí me ha resultado bastante complicado pero quizá no de los peores (particularmente opino que el de la semana pasada era más difícil, por lo menos para mí… Si no llegan a dar la pista de El Principio del Palomar por aquí no sé yo si habría dado con la solución). Más que difícil me ha resultado escabroso y largo, pero creo que no se necesitan muchas ideas felices ni nada por el estilo (solamente no obcecarse en algunos puntos). Creo que la configuración que he encontrado cumple con lo establecido y lo he comprobado varias veces, pero… Lee más »
Por lo que dices hemos debido de llegar a la misma solución.
También me ha costado bastante, he rellenado un par de folios con dibujos y tachaduras hasta que he dado con una solución.
Luego el cálculo… funciones trigonométricas por doquier, aprovechándome de la cierta simetría para facilitar los cálculos
Coincido en la solución con los últimos comentarios. Esa abscisa que da Sara F. me sale a mi como ordenada, lo cual supongo que indica que yo he llegado al mismo dibujo girado 90º.
Muy bonito problema con dos partes diferenciadas. Primero dar con la distribución geométrica y luego mucha trigonometría.
Sara, otro al que le sale el punto que pones.
Sara no puedes poner decimales: 3.11^1/2 … o es una errata?
Ese punto es un «por»
ok, yo prefiero el ‘por’ encima de la tecla 3: 3 · 11^1/2
pero aceptamos punto bajo como animal de multiplicación 😉
estoy convecido de que el 80% de los que mandaron la solución fallaron y ese 80% es el que dice aquí haberla encontrado.
@Guillermo X: de nada 😉 Anoche, revisando el dichoso grafo que hube garabateado sobre el folio, se me planteó una cuestión adicional. Por isomorfismo de grafos, pude construir uno que seguía cumpliendo la propiedad del enunciado, ésa es, que de un grupo de tres átomos, al menos dos estén a distancia de un ‘amstrong’ (o como se escriba). Con lo cual, a menos que me haya equivocado en la construcción del grafo isomorfo, y considerando que el punto (0,0) puede considerarse como eje de giro del sistema, ¿no es éste un problema un tanto absurdo? Si se acepta que el… Lee más »
jajaja un sencillo grafo de siete vértices, juasjuasjuas que arte tiene el Sebastian… por cierto no tienes que pasarlo a amstrongs… sólo llamar a la unidad 1 Amstrong y punto… seguro que si garabateaste una solución correcta a la primera puedes ver esto. LOL.
@Sebastián, no sé si te entiendo. ¿Quieres decir que hay más de una solución posible? Si te refieres a eso, obviamente hay más de una solución posible, y eso no le quita la gracia al problema por ningún lado. Y si no es eso, explícate mejor, o si no puedes porque darías la solución, hazlo el martes.
@doctor r| >> es una forma (no digo la única) de resolverlo, ¿no? Basta con ingeniar un grafo que, si bien no da las coordenadas -que, bajo mi hipótesis, no son únicas- de la constitución geométrica de la molécula. Como bien dices: tómese la unidad. Al menos ésta es la parte que nos concierne a los ‘matemáticos’. @Zurditorium >> en el vídeo, se piden seis coordenadas para completar la molécula de siete átomos con uno de ellos centrado en (0,0). Si partimos de la hipótesis de que la imagen geométrica (grafo) puede virar sobre el punto (0,0) y, que, además,… Lee más »
Hola a todos, Personalmente he encontrado este problema confuso y nada estimulante. Yo también tuve mis problemas con el enunciado. El principal problema fue que supuse que dos átomos no pueden estar más próximos de 1 ångström. Pensé esto porque no hay enlaces atómicos (que yo sepa) que estén a menor distancia que ésta. Siguiendo en esa dirección se puede demostrar (o al menos creo que lo hice) que no se puede encontrar una configuración que cumpla la propiedad. Por lo que me di por satisfecho. Cuando decís que habéis encontrado una solucíon me he dado cuenta de que mi… Lee más »
No se si lo habéis tenido en cuenta en vuestros comentarios, pero a la molécula a la que se refiere el problema es una molécula lineal o lo que es lo mismo que los átomos (puntos) estan alineados en una recta.
Si lo habéis tenido en cuenta, alguien me podría explicar el sentido de un grafo isomorfo en todo este asunto. Gracias XD
Todos los átomos no pueden estar en la misma recta. La molécula está en un plano.
Yo no sé casi nada de isomorfismos o grafos, pero creo que entiendo a Sebastián porque me sale que hay dos estructuras moleculares (muy parecidas entre sí) que cumplen las condiciones. Otro tema es que, cuando se pide describir esas estructuras dando las coordenadas de los átomos, entonces hay infinitas posibilidades de elegir esas coordenadas, mediante giros o traslaciones de la estructura inicial. Pero para mí eso no le quita ninguna gracia al problema. Quizás habría sido mejor pedir como solución una descripción geométrica de una de esas estructuras, así se evitaría el problema de las infinitas coordenadas, pero supongo… Lee más »
Copio y pego aquí el e-mail que envié a la dirección facilitada en El País y su respuesta. Debo decir que, personalmente, pienso que en esta ocasión la han cagado un poco; pero bueno, cada cuál es libre de pensar lo que quiera… «Estimados ‘propositores’: Tras una serie de operaciones y reflexiones, considero de forma objetiva que el problema a resolver es absurdo. Les explicaré el porqué: He conseguido esbozar un grafo que cumple las condiciones del problema; y no sólo eso, mediante un isomorfismo de grafos, he encontrado (al menos) otro grafo válido, es decir, que cumple las condiciones… Lee más »
Gracias por las contestaciones. Ya me quedo tranquila. Sebastián, tranquilízate, hombre… Yo estoy en parte contigo. Creo que el que haya infinitas soluciones no es problema siempre que ellos acepten cualquiera de ellas. Además, seguramente la mayoría dé dos principalmente. Ya ves que aquí hemos coincidido muchas personas. Aunque haya infinitas soluciones no todas son igual de fácil de hallar y nos gusta que las cosas estén «derechas». Sí pienso que no deberían pedir las coordenadas, pero me imagino que tienen sus razones, yo no lo sé (¿puede ser que se pueda aprovechar fácilmente un programa informático y que se… Lee más »
Hola Sara. Si estoy tranquilo, totalmente. Sólo quise dejar patente mi opinión, que, siempre que sea respetuosa y coherente, tiene cabida. Como estudiante de Matemáticas pienso que, si bien es un problema que tiene solución, que encontrar las coordenadas conlleva un esfuerzo y, cómo no, un mérito, no considero la propuesta de esta semana como un desafío verdaderamente matemático. Pero, repito, es sólo una opinión. Me viene a las mientes uno de mis profesores en la carrera, que actualmente está investigando en el campo de los quaternions, por una cosa que dijo durante una de sus clases. Parafraseo sus palabras… Lee más »
Dos cuestiones:
1. parece que el grafo es único ¿alguien lo ha probado o refutado?. *1
2. ¿alguien ha deducido completamente el grafo? *2
*1: (para salvar isomorfismos de grafos, traslaciones y rotaciones; exigir que el átomo con más arcos esté en el orígen de coordenadas, que todas las coordenadas sean positivas y que el centro de masas esté en x=y).
*2: (por ejemplo, es fácil ver que todos los átomos tienen al menos 3 arcos, etc… pero hace falta el tanteo)
@Garnet, esa pega que pones al enunciado, también la pensé yo, aunque por otro lado eso de que 2 átomos no pueden estar a menos de un ångström de distancia, creo que no es cierto, por ejemplo en una supernova, la distancia entre átomos es mucho menor (aunque nos sé si se podría hablar de estructuras moleculares), y supongo que hay casos no tan extremos donde se pueda reducir esta distancia. En cualquier caso, si no se pudieran coger distancias menores, como bien dices, no tendría solución. @Sergiopasc, en ningún momento dice que tenga que ser lineal. La molécula lineal… Lee más »
Gracias a todos los que dan pistas ¡ Me parecía tirado, y aún no he dado con ello ! Mi primera idea fue: un hexágono de lado 1 con un átomo en el centro y uno en cada vértice… ooops: los 3 átomos de vertices alternos están a más de 1 de distancia 🙁 He probado otro par de distribuciones con triángulos equilateros (de lado 1) y «son demasiado extensos» de forma que se pueden escoger 3 átomos distantes más de 1. A ver si doy con algo que está «empaquetado más denso». Si hay una coordenada con (11)^1/2 es… Lee más »
Yo creo que no he entendido el enunciado todavía.
No he resuelto el problema (el que yo he entendido), pero sí tengo resultados parciales que demuestran que ningún par de atomos puede estar a más de 2 Ä, y como eso contradice esa coordenada parcial que estáis dando pues… o está mal mi demostración, o no entendí el problema.
El caso es que he revisado un montón de veces ambas cosas y no veo el error.
La solución que yo he encontrado, y situada como yo la he situado, no tiene ninguna componente tan «rara».
De hecho, si multiplico por dos todas las componentes, 10 de las 14 son números enteros y las otras 4 toman un sencillo
como valor.
Supongo que se trata de rotar el grafo, pero quien sabe, ¿habrá varios grafos? (no parece…).
Igual es dar muchas pistas, pero el diámetro de mi solución está escrita en mi anterior post…
(todo en Å, claro)
También decir que una vez obtenida es muy sencillita de calcular las coordenadas y de verificar que es correcta.
(o eso, o estoy metiendo la pata hasta el corvejón)
Para los que aun no han conseguido encontrar la solución una aplicación que puede ser muy útil:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/elpais16.htm
Ánimo!
Tengo una respuesta válida por fin, y ahora que la tengo, con toda contundencia afirmo que ningún punto con coordenada
, ni 
, ni, en general, a más de 2 A del origen, puede ser solución del problema.