Vicente Muñoz nos habla de Geometría y Topología con Planito y la forma del Universo

A finales del pasado mes de octubre, el día 25 concretamente, asistí a una charla titulada La forma del Universo, encuadrada dentro de los diez Coloquios del Centenario de la RSME que se han impartido por universidades e institutos de varias partes de España. Éste fue el octavo de ellos, se celebró en la Biblioteca General de la UCLM en Ciudad Real y el encargado de dar dicha charla fue Vicente Muñoz, catedrático de Geometría y Topología de la Universidad Complutense de Madrid.

Al finalizar la charla, en la que Vicente introdujo conceptos topológicos aprovechando la típica pregunta sobre qué forma tiene el Universo, tuve la oportunidad de comer con él y con otras personas que asistieron a la conferencia. Y después, ya a través de mail, comenzó una conversación encaminada a la publicación de una colaboración suya en Gaussianos que ha culminado en el post que estáis leyendo en estos momentos. Os dejo el artículo que Vicente me ha enviado sobre este tema.

Planito y la forma del Universo

Posiblemente el lector haya oído hablar alguna vez sobre la forma del universo. Lo que no tendrá tan claro es si debe dirigir la pregunta a un matemático o a un cosmólogo. Porque la cuestión de la forma de los objetos y de los espacios es una de las preocupaciones básicas de dos de las ramas de las matemáticas: la Geometría y la Topología.

La dificultad de entender un espacio como el universo, un espacio de tres dimensiones¹, es que nos encontramos inmersos en él. ¡No se pueden dibujar espacios de 3 dimensiones dentro de un espacio de 3 dimensiones! Para intentar averiguar cómo podemos solventar esta dificultad, vamos a recurrir a un viejo truco matemático: explicar lo que ocurre en un problema análogo pero más fácil. Miremos a los espacios de 2 dimensiones, las superficies.

Supongamos que somos un ser bidimensional dentro de un mundo bidimensional, al que en honor a la novela “Flatland. A romance in many dimensions” (E. Abbott, 1884, traducida como “Planilandia. Una novela de muchas dimensiones”, que puede descargarse en este enlace (pdf)) llamaremos Planito.

Planito vive dentro la superficie, y no es consciente de ninguna tercera dimensión. De hecho, su campo visual está formado por una línea. No obstante, quiere averiguar la forma de Planilandia.

Vamos a suponer que Planilandia cumple las siguiente propiedades: es conexa (tiene un sólo trozo), es compacta (tiene área finita, y todo camino puede continuarse indefinidamente), no tiene borde (caminando no se llega a ningún final de Planilandia) y es orientable (Planito no puede volver del revés después de un viaje por la superficie). Un teorema de Topología dice que las posibles superficies vienen dadas por el género, que es un número natural que codifica básicamente el número de agujeros que tiene. Si , se trata de la esfera; si , tenemos el toro (que es la superficie dada por un flotador); en general, tenemos la superficie que es un flotador para niños:

¿Cómo puede saber Planito cuál de todas estas superficies se corresponde con Planilandia? Supongamos que recorre toda Planilandia, y la divide en regiones poligonales. Sea el número total de tales regiones, el número total de lados que aparecen al dividir, y el número total de vértices. La cantidad se denomina característica de Euler-Poincaré de la superficie. Éste es un invariante topológico, es decir, no depende de la división en regiones. Es más, para cualquier superficie se cumple que . Con lo que sabiendo se puede averiguar .

Claro, que viajar por toda Planilandia puede ser una labor inabordable para Planito (¡imaginémonos que nos piden viajar por todo nuestro Universo para averiguar su forma!)². ¿Hay algún método más económico para resolver el problema?

Al rescate viene la Geometría, que estudia las propiedades métricas (distancias, ángulos, curvatura…) de los espacios. Si Planito supone que las propiedades métricas no dependen del punto en el que se encuentre³, entonces puede deducir la forma de Planilandia observando la luz que recibe sin moverse del lugar. Bajo esta condición de isotropía, la curvatura es constante. Hay ahora tres posibilidades:

• Si la curvatura es positiva, entonces la superficie es forzosamente una esfera, es decir . En esta situación Planito, mirando a su cielo, ve una imagen de las mismas estrellas (las que se encuentran en las antípodas) sea cual fuere la dirección en que mire.

  

• Si la curvatura es cero, entonces la superficie es un toro, es decir . Un toro se consigue a partir de un cuadrado pegando los lados opuestos a pares.

  

  Si Planito vive en el toro (es decir, en el cuadrado con los lados identificados), se ve a sí mismo mirando hacia adelante.

  

  De hecho, se ve a sí mismo repetido una infinidad de veces. Tiene cuatro imágenes que son las más cercanas (y otra multitud de imágenes de sí mismo más alejadas), que le indican que su mundo se construye a partir de un cuadrado, y por tanto, que se trata de un toro.

  

• Finalmente, si la curvatura es negativa, tenemos que la superficie satisface . Tal superficie se construye a partir de un polígono de lados, pegándolos de una manera conveniente. Por ejemplo, en el caso de , obtenemos la superficie a partir de un octógono.

  

  Geométricamente, es necesario que la suma de los ángulos de los vértices del octógono sea de 360º, pues estos vértices concurren en un solo punto al realizar el pegado. Para esto, no podemos usar un octógono euclídeo (cuya suma de ángulos es 1080º). El octógono que necesitamos se puede construir en el disco de Poincaré (que es el plano hiperbólico, y que tiene curvatura negativa). En el disco de Poincaré, las rectas son diámetros y arcos de circunferencia perpendiculares al borde.

  

  

  Planito, de poder mirar a su alrededor tan lejos como fuera posible (de forma que los rayos del luz acabaran volviendo al punto de origen), vería ocho copias de sí mismo, junto con otras muchas más que quedarían más alejadas. El género lo deduce de este dato.

  

La forma de nuestro universo también se puede averiguar mirando la luz que viene del Cosmos, y buscando imágenes repetidas en los rayos que recibimos en nuestros radiotelescopios. Esta es la base del proyecto WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) llevado a cabo por la NASA durante los años 2001-2010. Desafortunadamente, la distancia a la que podemos mirar ha resultado ser insuficiente.

Si el lector quiere conocer más detalles de este tema, puede encontrarlos en el libro Formas que se deforman. La topología (Vicente Muñoz, 2011), que publica la editorial RBA. El libro se vendió el pasado domingo 20 de noviembre con el periódico El País dentro de la colección Las matemáticas que nos rodean.

¹: No entramos aquí en hablar del espacio-tiempo de 4 dimensiones, y suponemos que el tiempo está fijado.

²: Sin mencionar el pequeño detalle de que aunque sepamos la característica de Euler-Poincaré de un espacio de dimensión 3, no podemos saber cuál es.

³: La suposición es razonable. En el universo, las propiedades métricas dependen de la cantidad de materia (densidad de galaxias) y éstas se distribuyen bastante uniformemente.

Buena excusa para explicar un poco sobre Geometría y, sobre todo, Topología. Desde aquí quiero dar las gracias a Vicente por enviarme este artículo para el blog.

Sobre el libro, yo ya lo tengo en mi poder. Comenzaré con él en cuanto termine un par de cosas que tengo a medias. ¿Alguien lo ha comprado y lo ha leído ya? Si queréis dejar vuestra opinión, ahí tenéis los comentarios, como siempre.

Este artículo es mi segunda colaboración con la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Ciencia Conjunta.