Imaginemos que tomamos una regla y un compás y seguimos las condiciones clásicas sobre construcciones con regla y compás. ¿Qué polígonos regulares podríamos construir? Pues en realidad muchísimos…aunque esencialmente no tantos.

Me explico. Hay un conocidísimo teorema que caracteriza los polígonos regulares que pueden construirse con regla y compás, demostrado por Gauss y Wantzel (cada uno una implicación), y que es el siguiente:

Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás)

Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás con las condiciones clásicas si y sólo si la descomposición en factores primos de n es de la forma

n=2^r \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_k

siendo r \ge 0 y los p_i primos de Fermat distintos entre sí (recordemos que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma 2^{2^n}+1).

(La demostración de la parte de Gauss aparece en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae)

Para empezar, este resultado nos asegura que existen infinitos polígonos regulares construíbles con regla y compás en este sentido. Por ejemplo, como el triángulo equilátero es construíble, entonces cualquier polígono con un número de lados igual a 2^k \cdot 3 es construíble.

¿Por qué digo entonces que esencialmente hay muy pocos? Pues muy sencillo. Si partimos de un polígono regular con m lados que sea construíble, es muy fácil construir el de 2m lados. Una forma sencilla es la siguiente:

  • Inscribimos el polígono en una circunferencia.
  • Tomamos un lado y y dibujamos su mediatriz.
  • Unimos cada uno de los extremos de dicho lado con el punto de corte de la mediatriz con la circunferencia que queda entre ellos (la mediatriz tiene dos puntos de corte con la circunferencia).
  • Hacemos lo mismo con todos los lados, obteniendo así un polígono regular con el doble de lados que el inicial.

Os dejo un ejemplo con un pentágono, que es construíble al tener 5=2^{2^1}+1 lados (cumple el teorema anterior):

Por tanto, dado un polígono regular construíble con regla y compás, la construcción del polígono regular con el doble de lados digamos que no aporta nada nuevo.

En un comentario, alvaro dice, muy acertadamente, que el cuadrado, polígono regular con 4=2^2 lados, tiene una construcción con interés que hay que separar del resto de polígonos cuyo número de lados es múltiplo de 2, por lo que sería injusto no reseñarlo. Por cierto, ¿cómo se construye un cuadrado?

¿Cuáles nos quedarían entonces esencialmente distintos? Pues los que tengan como número de lados un primo de Fermat o un producto de varios de ellos. Y estos no son infinitos, al menos a día de hoy, ya que solamente se conocen cinco primos de Fermat:

  • F_0=2^{2^0}+1=3
  • F_1=2^{2^1}+1=5
  • F_2=2^{2^2}+1=17
  • F_3=2^{2^3}+1=257
  • F_4=2^{2^4}+1=65537

De hecho no se sabe si hay más. Se sabe de unos cuantos número de Fermat que son compuestos, y de algunos se conoce la factorización completa, pero seguimos sin saber si hay alguno más que sea primo aparte de estos cinco (en la Wikipedia inglesa hay algo de información al respecto).

Por ello, si eliminamos la potencia de 2 del número de lados del polígono, nos queda que podemos construir con regla y compás los polígonos regulares cuyo número de lados es 3, 5, 17 (Heptadecágono), 257, 65537, 15=3·5, 51=3·17, 771=3·257, 196611=3·65537, 85=5·17, 1285=5·257, 327685=5·65537, 4369=17·257, 1114129=17·65537, 16843009=257·65537, 255=3·5·17, 3855=3·5·257, 983055=3·5·65537, 13107=3·17·257, 3342387=3·17·65537, 50529027=3·257·65537, 21845=5·17·257, 5570645=5·17·65537, 84215045=5·257·65537, 286331153=17·257·65537, 65535=3·5·17·257, 16711935=3·5·17·65537, 252645135=3·5·257·65537, 858993459=3·17·257·65537, 1431655765=5·17·257·65537 y 4294967295=3·5·17·257·65537. Ordenados de menor a mayor quedan así (enciclopedia de las sucesiones):

3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765 y 4294967295

Es decir, tenemos 31 polígonos regulares construíbles con regla y compás cuya construcción aporta algo, cuya construcción es esencialmente distinta al resto.

Dos curiosidades para terminar:

  • Con k primos de Fermat tenemos 2^k-1 polígonos regulares construíbles con regla y compás. Por eso hay 31=2^5-1 contruíbles, porque hay 5 primos de Fermat.
  • Si tomamos el triángulo de Pascal módulo 2 (es decir, ponemos un 0 en los números pares y un 1 en los impares), tenemos que los números resultantes son las representaciones en binario de las cantidades de lados de los polígonos regulares construíbles:

    1 1 = 3
    1 0 1 = 5
    1 1 1 1 = 15
    1 0 0 0 1 = 17
    1 1 0 0 1 1 = 51
    1 0 1 0 1 0 1 = 85
    1 1 1 1 1 1 1 1 = 255

Algunos enlaces interesantes:

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