Os traigo hoy el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:
Demostrar que
Repito: demostrar. Que se os dé bien :).
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Recordando que 1/sen^2(x) = 1 + cotg^2(x), la expresión a demostrar es equivalente a cotg^2(pi/14) + cotg^2(3pi/14) + cotg^2(5pi/14) = 21 ó tg^2(pi/7) + tg^2(3pi/7) + tg^2(5pi/7) = 21 Estos tres ángulos son tales que el seno de 7 veces ellos es cero. Utilizando la fórmula de De Moivre, tenemos que, abreviando cos(x) por c y sen(x) por s, (cos(7x) + i*sen(7x)) = (c + i*s)^7 Tomando la parte imaginaria, sen(7x) = 7c^6s – 35c^4s^3 + 21c^2s^5 – s^7 ¡Ya tenemos aquí el 21 que necesitamos! Para x igual a cualquiera de nuestros tres ángulos, y sus suplementarios, sen(7x) =… Lee más »
Bueno, al pasar de cotangentes a tangentes, tomando los complementarios, no cambie los números. Debe ser: tg^2(pi/7) + tg^2(2pi/7) + tg^2(2pi/7) = 21 El resultado evidentemente se puede generalizar: Sum(tg^2(k*pi/(2n+1), k, 1, n) = Comb(2n + 1, 2) = n(2n + 1) O bien, Sum(cotg^2((2n + 1 – 2k)*pi/(2(2n+1)), k, 1, n) = n(2n + 1) Sum(cotg^2((2k + 1)*pi/(2(2n+1)), k, 0, n-1) = n(2n + 1) O bien Sum(1/sen^2((2k + 1)*pi/(2(2n+1)), k, 0, n-1) = n(2n + 1) + n = 2n(n + 1) Otro resultado relacionado es: Sum(tan^2(k*pi/(2(n+1))), k, 1, n) = n(2n + 1)/3 (http://oeis.org/A014105, 5º comentario) P.S.:… Lee más »
Una duda Ignacio, ¿por qué buscas como resultado 21? ¿El problema no pide demostrar que da 24?
Y por último, cotg(x)=1/tg(x), según wikipedia, por tanto, no entiendo cómo has pasado los 1/sin^2 a cotg^2.
#Sm4o, las dos cuestiones están relacionadas:
1/sen^2(x) = 1 + cotg^2(x)
De ahi sale un 1 por dada sumando, 3 en este caso, que debemos restar al 24.
La igualdad es inmediata:
1/sen^2(x) = (sen^2(x) + cos^2(x))/sen^2(x) = 1 + cotg^2(x)
Maravilloso! Ya lo entiendo, hay que restar 1 por cada sumando para conseguir la igualdad entre cotg y sin. Con el tiempo surgirán más dudas, ya que de momento sólo me he fijado en esta parte de la solución.
Gracias Ignacio, un saludo!
He deducido la ecuación 4x+4x^2-8x^3=1 para calcular el seno pi/14 y apartir de aqui sigo en ángulos multiples, no es muy ortodoxo pero he explotado las aportaciones que hice en el problema 13 de El Pais.
Ignoro si la ecuación que aporto es inedita o no y si puede tener utilidad para el cálculo de relaciones trigonométricas
Saludos
Hola Ignacio! Me gustó tu post y lo iba entendiendo hasta la parte que dice «tomando parte imaginaria sen (7x) = …. » ahi me perdi :S
Pues continuemos a partir de ahí, desarrollando el segundo término mediante la fórmula del binomio: (cos(7x) + i*sen(7x)) = (c + i*s)^7 = Comb(7, 0)c^7s^0*i^0 + Comb(7, 1)c^6s^1i^1 + Comb(7, 2)c^5s^2i^2 + Comb(7, 3)c^4s^3i^3 + Comb(7, 4)c^3s^4i^4 + Comb(7, 5)c^2s^5i^5 + Comb(7, 6)c^1s^6i^6 + Comb(7, 7)c^0s^7i^7 = Reemplazamos los números combinatorios (7, k) por 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 para k = 0..7, y i^k por 1, i, -1, -i, 1, i -1, -i, también para k = 0..7: c^7 + 7c^6s*i – 21c^5s^2 – 35c^4s^3*i + 35c^3s^4 + 21c^2s^5*i – 7c*s^6 – s^7i = (c^7 –… Lee más »
Increible Ignacio ahora si he entendido muchas gracias por tomarte el trabajo de explicarlo todo!! 😀