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La Fórmula de Euler, maravilla matemática que vimos hace unos días, sólo es válida para poliedros convexos. En este artículo vamos a presentar el poliedro de Császár, una curiosa figura que nos va a servir como ejemplo de por qué los poliedros no convexos no cumplen la igualdad propuesta por Euler.

¿Qué es el poliedro de Császár?

El poliedro de Császár es un poliedro no convexo que no tiene diagonales (comparte esta propiedad con el tetraedro), es decir, cada uno de sus vértices está conectado con todos los demás por una arista. Podemos verlo en la siguiente imagen (tomada de MathWorld):

Poliedro de Császár

En este enlace de la Wikipedia podéis ver una animación de este poliedro junto con la figura que queda al desplegarlo.

El poliedro de Császár tiene 7 vértices, 21 aristas y 14 caras triangulares. Por ello no cumple la fórmula de Euler:

14-21+7=0 \ne 2

Es topológicamente equivalente a un toro (esto es, una rosquilla) y su esqueleto es isomorfo al grafo completo K_7.

Este poliedro fue descubierto por el topólogo húngaro Ákos Császár en 1949 y sirvió para resolver el siguiente problema:

Un toroide es un poliedro cuyas caras son todas polígonos simples (es decir, si fueran de plastilina podríamos deformarlas sin romperlas hasta obtener un disco) que además cumple que el propio poliedro es topológicamente equivalente a una esfera con uno o más agujeros que la atraviesan. ¿Es posible construir un toroide que no posea diagonales?

¿Cómo construir el poliedro de császár?

A la vista de la imagen anterior, el poliedro de Császár tiene una forma muy peculiar, extraña, hasta difícil de imaginar. Lo curioso es que es sencillo construirlo con papel a partir de estas dos plantillas:

Plantillas para construir el poliedro de Császár

Los pasos que debemos seguir para contruir el poliedro, según el gran Martin Gardner, con los siguientes:

Recortamos las plantillas y coloreamos por los dos lados los triángulos sombreados. Después doblamos por las líneas de puntos para formar aristas «montañas» y por las líneas llenas para formar aristas «valle».

Para formar la base plegamos los dos triángulos más grandes hacia el centro y sujetamos con cinta adhesiva los vértices A uno junto al otro. Le damos la vuelta al papel y plegamos los triángulos más pequeños hacia el centro sujetando después con cinta las aristas B. Ya tenemos la base.

La punta cónica de seis caras se forma pegando entre sí los lados C. Para colocarla sobre la base se unen los triángulos blancos con los triángulos sombreados y después se pegan cada uno de sus seis lados a los seis correspondientes de la base.

Hemos comentado antes que este poliedro no tiene diagonales y que el poliedro de Császár y el tetraedro son los únicos poliedros conocidos (con superficie acotada) que no tienen diagonales. Es sencillo comprobar que si un poliedro tiene v vértices y A agujeros, el hecho de que no posea diagonales obliga a que se cumpla la siguiente relación:

A=\cfrac{(v-3)(v-4)}{12}

Teniendo en cuenta que los dos tienes que ser números enteros positivos y que además v debe ser mayor que 3 (no hay poliedro con 3 o menos vértices), la solución con valores más pequeños es v=4, \; A=0, que corresponde al tetraedro. Y la siguiente es v=7, \; A=1, que es la que corresponde al poliedro de Császar. La siguiente solución posible es v=12, \; A=6, que nos daría un poliedro con 44 caras y 66 lados, pero dicho poliedro no puede construirse. No se conoce ninguna solución más a partir de la cual se obtenga un poliedro que se pueda construir.

El dual de Császár

Dado un poliedro cualquiera, su poliedro dual puede construirse tomando un punto en cada una de las caras del poliedro inicial y uniendo el punto tomado en cada cara con los puntos tomados en las caras adyacentes a ésta. Por ejemplo, el poliedro dual del tetraedro es el propio tetraedro.

Tetraedro y su dual

Si representamos el poliedro dual del poliedro de Császár aparece el denominado poliedro de Szilassi, descubierto por el matemático húngaro Lajos Szilassi en 1977. Este poliedro tiene el mismo número de aristas que el de Császár, 21, pero intercambia el número de caras con el número de vértices, esto es, tiene 14 vértices y 7 caras hexagonales. Aquí lo tenéis:

Poliedro de Szilassi

El poliedro de Szilassi y el tetraedro son los únicos poliedros en los que cada una de sus caras comparte una arista con el resto de caras del poliedro. Esta propiedad es la propiedad dual a la propiedad que comparten el tetraedro y el poliedro de Császár comentada al comienzo de este artículo.

Fuentes y enlaces relacionados:

  • Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas, de Martin Gardner, de donde, entre otras cosas, provienen las plantillas y las instrucciones para construir el poliedro de Császár.
  • Császár polyhedron en la Wikipedia inglesa.
  • Szilassi polyhedron en la Wikipedia inglesa.
  • En esta web podéis encontrar una plantilla del poliedro de Császár que creo que es mejor que las comentadas anteriormente y en esta otra tenéis una plantilla para construir el poliedro de Szilassi.
  • El poliedro de Szilassi en MathCurve.

Este artículo va a ser mi segunda aportación a la cuarta edición del Carnaval de Matemáticas, que organiza Zurditorium.

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