Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación 
Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados
Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que 
Mediante el teorema de Pitágoras a partir de dos números enteros positivos x, y podemos encontrar un tercer número z que cumpla esa ecuación simplemente despejando de ella. Pero nada ni nadie nos asegura que ese z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vamos a ver un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.
Preliminares
El método analítico comienza partiendo de una terna pitagórica (x, y, z). Si estos tres enteros positivos tuvieran algún factor común, digamos d, entonces la terna (x/d, y/d, z/d) también sería una terna pitagórica. Y si dos de ellos tuvieran un factor común entonces ese factor debería serlo también del tercero. Por tanto es suficiente con buscar las ternas pitagóricas que cumplan que sus elementos son primos relativos dos a dos, ya que las demás se formarán multiplicando todos sus elementos por cualquier número entero positivo.
Por tanto no pueden ser los tres pares, ni siquiera dos de ellos. Y tampoco los tres impares, ya que tendríamos impar + impar = impar, lo cual es imposible. Por tanto debe haber dos impares y uno par. Es sencillo ver que z no puede ser el par, ya que con sencillos cálculos (ejercicio propuesto 1) llegaríamos a impar = par, que sabemos que es imposible. Entonces z debe ser impar, y entre los otros dos debe haber uno impar y otro par. Tomemos x par e y impar.
Desarrollo del método analítico
Rescribimos la ecuación así: 
Tenemos entonces
Si el producto de dos enteros positivos primos relativos v y w es igual a un cuadrado entonces tanto v como w son cuadrados (ejercicio propuesto 3)
Por tanto existen enteros positivos p, q tal que 
Esto nos dice que p > q, y que p y q son de paridad distinta (es decir, que uno es par y el otro impar), ya que y y z son impares. Usando ahora la primera expresión podemos expresar x fácilmente en términos de p y q:
Es decir, x = 2pq.
Lo que hemos obtenido es lo siguiente: dada una terna pitagórica primitiva (x, y, z), existen enteros positivos primos relativos p y q tal que p > q, p y q son de paridad distinta y la terna 
Esto completa el análisis porque es sencillo mostrar que dado un par de enteros positivos p y q tal que p y q son primos relativos, p > q y p y q de distinta paridad, entonces la terna
Conclusión
El método descrito y los resultados obtenidos resuelven completamente el problema de la construcción de ternas pitagóricas primitivas. Recapitulando:
Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:
El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los elementos de la misma por un número.
Las ternas pitagóricas primitivas que podemos obtener con p menor o igual que 6 son las siguientes:
| p | q | x | y | z | |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 |
Nota: Las partes que he dejado propuestas las podéis intentar. Iré actualizando el post conforme vayáis obteniendo las soluciones de las mismas.
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Los enunciados 2,3 y 4 son fáciles: Ejercicio 2: Supongamos que v y w tienes un divisor común, l, tal que v=l*n y w=l*m, entonces: z = v + w = ln+lm=l(n+m) y y = v – w=ln-lm=l(m-n) con lo que z e y tendrían tambien a l lo cual no es posible. Ejercicio 3: Si u es primo, entonces llegariamos a que u=v=w. Supongamos que u=pq con p,q primos (si no fuera producto de primos podríamos usar varias veces el mismo argumento). Entonces tendríamos que vw=(pq)^2 entonces p^2 divide a v o divide a w. Como son primos relativos,… Lee más »
Muy bien Ferni; para tu primer comentario no está nada mal la cosa :). Los 3 están bien.
Para el primer: si z es el par los otros dos deben ser los impares. Impongamos esas condiciones y veamos qué sale.
Saludos 🙂
Kisiera saber la demostración de q la suma de todos los triángulos internos de un triángulo suman 180°. mandamelo a mi mail, x fa.
podrian ayudarme con la demostracion de esta formula:
(2n+/-1)/\2+((((2n+/-1)/\2)-1)/2)/\2=((((2n+/-1)/\2)+1)/2)/\2
para toda n>1
generadora de terna en base de numeros impares
porfavor he tratado de todas las formas que conosco ayudenme
No. Estudia. Lengua también.
[…] soluciones? Evidentemente sí, de hecho habría infinitas. Por ejemplo, cualquier terna pitagórica, por ejemplo (3,4,5) para n=2. Pero bueno, esas eran esperables. ¿Hay más? Pues sí, por […]
No veo lo de que si z es par tendriamos impar = par…
impar^2 + impar^2 = impar siempre ?¿
No se..
Si x es impar x^2 = x·x = impar , lo mismo ocurre con y si es impar, y la suma de dos números impares es un numero par. Tendrías par = par
¿?¿?¿?¿?¿¿¿??¿??¿¿’ ¿?¿???¿
Kevin supongo que sí entiendes el razonamiento hasta la frase «debe haber dos impares y uno par».
Vamos a ver por qué no puede ser z el par:
Hacemos x=2p+1, y=2q+1, z=2r. sustituyendo en x^2+y^2=z^2 tendríamos:
(2p+1)^2+(2q+1)^2=(2r)^2. Si desarrollamos verás que queda así:
(4p^2+4p+1)+(4q^2+4q+1)=4r^2 que es lo mismo que 4(p^2+p+q^2+q)+2=4r^2
y si dividimos la última expresión por 2 obtendríamos 2(p^2+p+q^2+q)+1=2r^2, es decir, impar = par.
{bf Ejercicio propuesto 3.} Si con mcd$(v,w)=1$ entonces $v=A^2$ y $w=B^2$. Primeramente si $u=1$ entonces sucede $v=1^2$ y $w=1^2$. Para completar sea $uge2$. Por el teorema fundamental de la aritm\’etica se puede escribir $u=p_1^{n_1}p_2^{n_2}cdots p_m^{n_m}$ donde los $p_i$ son primos diferentes y los exponentes son $ge1$. Reemplazando $u$: $left({p_1^{n_1}}right)^2left({p_2^{n_2}}right)^2cdots left({p_m^{n_m}}right)^2=vw$.\ Por ser mcd$(v,w)=1$ un primo $p_i$ no puede ser divisor de $v$ y $w$ al mismo tiempo, entonces $left({p_i^{n_i}}right)^2$ es factor solamente de $v$ o de $w$. Si es necesario reordenar podemos suponer que $v=left({p_1^{n_1}}right)^2left({p_2^{n_2}}right)^2cdots left({p_k^{n_k}}right)^2$ y $w=left({p_{k+1}^{n_{k+1}}}right)^2left({p_{k+2}^{n_{k+2}}}right)^2cdots left({p_m^{n_m}}right)^2$\ De donde se observa que tienen la forma: $v=A^2$ y $w=B^2$… Lee más »
Ejercicio propuesto 3. Si
con mcd
entonces 
y 
.
Primeramente si
entonces sucede 
y 
.
Para completar sea
. Por el teorema fundamental de la aritmética se puede escribir 
donde los 
son primos diferentes y los exponentes son 
Reemplazando
: 
.
Por ser mcd
un primo 
no puede ser divisor de 
y 
al mismo tiempo, entonces 
es factor solamente de 
o de 
. Si es necesario reordenar podemos suponer que $latex v=\left({p_1^{n_1}}\right)^2\left({p_2^{n_2}}\right)^2\cdots
\left({p_k^{n_k}}\right)^2$ y
De donde se observa que tienen la forma:
y 
!como se quería!
He demostrado que un cuadrado se puede descomponer como la suma de dos cuadrados sí y sólo sí la base de éste es un primo pitagórico o, en su defecto, un múltiplo de éste
Haciendo una lectura diagonal de los elementos del Triangulo de Pascal he podido hallar una fórmula matemática para dicho triangulo. De ahí que cualquier elemento de dicho triangulo se puede obtener en función de la posición y de la diagonal de dicho elemento.
En este sentido he hallado, por ejemplo, que la suma de los p-ésimos elementos de una diagonal del Triángulo de Pascal es igual al p-ésimo elemento que se halla en la diagonal precedente.
Con respecto al último teorema de Fermat, recientemente demostrado por Wiles, tengo que decir que los esfuerzos de los matemáticos se enfocado , una y otra vez en determinar la veracidad de la preposición, y por consiguiente en hallar los valores de las ternas; pero no nos ha importado saber nada en torno al por qué de esos valores y de esa demostración, lamentablemente le hemos dado más importancia a los árboles y nos hemos olvidado por completo del bosque. Estoy casi seguro que el Último Teorema de Fermat está relacionado con los números primos pitagóricos y que la ecuación… Lee más »
Desde el punto de vista geométrico un Triángulo es Pitagórico sí y sólo sí la longitud de su hipotenusa es un primo pitagórico; de lo contrario dicho triángulo no será pitagórico.
1 3 4 5
2 20 21 29
3 119 120 169
4 696 697 985
5 4059 4060 5741
6 23660 23661 33461
7 137903 137904 195025
8 803760 803761 1136689
9 4684659 4684660 6625109
10 27304196 27304197 38613965
11 159140519 159140520 225058681
12 927538920 927538921 1311738121
13 5406093003 5406093004 7645370045
14 31509019100 31509019101 44560482149
15 183648021599 183648021600 259717522849
16 1070379110496 1070379110497 1513744654945
17 6238626641379 6238626641380 8822750406821
18 36361380737780 36361380737781 51422757785981
19 211929657785303 211929657785304 299713796309065
20 1235216565974040 1235216565974041 1746860020068409
TERNAS PITAGORICAS COJAS
DONDE b-1 = a
ESTRUCTURAS JAB nueveventanas@hotmail.com
Me parece bien curioso cómo podemos formar ternas pitagóricas siendo igual a cualquier número impar, y luego obteniendo con la siguiente fórmula: , y sería simplemente . Bueno, en realidad no sé si funciona para todos los impares, pero he probado para varios de ellos y todos me han dado ternas pitagóricas. ¿Lo que estoy diciendo es equivalente a lo que se muestra en este artículo? La verdad no lo he entendido porque me parece muy avanzado para mis conocimientos, ¿aguien que me ayude? P. D.: una disculpa por las mil ediciones del comentario, soy nuevo en esto de comentar… Lee más »
Se le puede dar una interpretación geométrica. Partimos de un triángulo rectángulo cuyos catetos sean naturales. Si la hipotenusa no es natural nos fijarémos en los ángulos que forman los catetos con la hipotenusa A y B con A<B<90. Es fácil comprobar que cualquier triángulo rectángulo que contenga el ángulo B-A o el ángulo A+A conducen a un triángulo pitagórico. Esto se puede comprobar con las relaciones trigonométricas para suma de ángulos. Además (2pq,pˆ2-qˆ2,pˆ2+qˆ2)también se puede deducir a partir de dichas relaciones trigonométricas. De forma análoga cuando tenemos 2 triángulos pitagóricos de ángulos A<B<90 y C<D<90 las combinaciones lineales de… Lee más »