Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación x^n+y^n=z^n no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n = 2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las matemáticas

Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados

Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que x^2+y^2=z^2. A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica. Y todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.

Mediante el teorema de Pitágoras a partir de dos números enteros positivos x, y podemos encontrar un tercer número z que cumpla esa ecuación simplemente despejando de ella. Pero nada ni nadie nos asegura que ese z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vamos a ver un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.

Preliminares

El método analítico comienza partiendo de una terna pitagórica (x, y, z). Si estos tres enteros positivos tuvieran algún factor común, digamos d, entonces la terna (x/d, y/d, z/d) también sería una terna pitagórica. Y si dos de ellos tuvieran un factor común entonces ese factor debería serlo también del tercero. Por tanto es suficiente con buscar las ternas pitagóricas que cumplan que sus elementos son primos relativos dos a dos, ya que las demás se formarán multiplicando todos sus elementos por cualquier número entero positivo.

Por tanto no pueden ser los tres pares, ni siquiera dos de ellos. Y tampoco los tres impares, ya que tendríamos impar + impar = impar, lo cual es imposible. Por tanto debe haber dos impares y uno par. Es sencillo ver que z no puede ser el par, ya que con sencillos cálculos (ejercicio propuesto 1) llegaríamos a impar = par, que sabemos que es imposible. Entonces z debe ser impar, y entre los otros dos debe haber uno impar y otro par. Tomemos x par e y impar.

Desarrollo del método analítico

Rescribimos la ecuación así: x^2=z^2-y^2. De aquí, usando el famoso producto notable diferencia de cuadrados igual a suma por diferencia llegamos a: x^2=(z+y)(z-y). Como los números x, z + y, z – y son todos pares se tiene que existen enteros positivos u, v, w tal que x = 2u, z + y = 2v, z – y = 2w. Entonces (2u)^2=(2v)(2w). Simplificando obtenemos u^2=v \cdot w. Además el máximo común divisor de v y w es 1, es decir, son primos relativos, ya que un divisor común de v y w también lo sería de y y z (ejercicio propuesto 2), lo cual es imposible porque éstos eran primos relativos.

Tenemos entonces u^2=v \cdot w. Y aquí viene el paso clave de la demostración:

Si el producto de dos enteros positivos primos relativos v y w es igual a un cuadrado entonces tanto v como w son cuadrados (ejercicio propuesto 3)

Por tanto existen enteros positivos p, q tal que v=p^2 y w=q^2. Además p y q son primos relativos al serlo v y w. Entonces:

z=v+w=p^2+q^2
y=v-w=p^2-q^2

Esto nos dice que p > q, y que p y q son de paridad distinta (es decir, que uno es par y el otro impar), ya que y y z son impares. Usando ahora la primera expresión podemos expresar x fácilmente en términos de p y q:

x^2=z^2-y^2=p^4+2p^2q^2+q^4-p^4+2p^2q^2-q^4=4p^2q^2=(2pq)^2

Es decir, x = 2pq.

Lo que hemos obtenido es lo siguiente: dada una terna pitagórica primitiva (x, y, z), existen enteros positivos primos relativos p y q tal que p > q, p y q son de paridad distinta y la terna (2pq,p^2-q^2,p^2+q^2) es una terna pitagórica.

Esto completa el análisis porque es sencillo mostrar que dado un par de enteros positivos p y q tal que p y q son primos relativos, p > q y p y q de distinta paridad, entonces la terna (2pq,p^2-q^2,p^2+q^2) forma una terna pitagórica primitiva (ejercicio propuesto 4).

Conclusión

El método descrito y los resultados obtenidos resuelven completamente el problema de la construcción de ternas pitagóricas primitivas. Recapitulando:

Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)

El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los elementos de la misma por un número.

Las ternas pitagóricas primitivas que podemos obtener con p menor o igual que 6 son las siguientes:

p q x y z
2 1 4 3 5
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 2 20 21 29
5 4 40 9 41
6 1 12 35 37
6 5 60 11 61

Nota: Las partes que he dejado propuestas las podéis intentar. Iré actualizando el post conforme vayáis obteniendo las soluciones de las mismas.

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