Parejas en la sucesión de Fibonacci

Publicado por gaussianos | 22 octubre, 2014 | Juegos | 13 |

Vamos con el problema semanal. Ahí va:

Dada la sucesión de Fibonacci $\{ F_n \} = \{1,1,2,3,5,8,13, \ldots \}$

encuentra todas las parejas $\{ a,b \}$ de números reales para los cuales se cumple que
$a F_n + b F_{n+1}$

es un elemento de la sucesión de Fibonacci para todo $n$ natural.

encuentra todas las parejas $\{ u,v \}$ de números reales positivos que cumplen que
$u (F_n)^2 + v (F_{n+1})^2$

es un elemento de la sucesión de Fibonacci para todo $n$ natural.

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

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Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes encontrarme también en Twitter, en Instagram, en Geogebra.org y en Facebook.

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22/10/2014 12:12

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nacho

22/10/2014 12:18

Las parejas a y b son parejas de números de Fibonacci sucesivo, Fa y Fa+1.

Las parejas u y v no sé decirlo todavía.

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Tito Eliatron (@eliatron)

22/10/2014 12:56

NACHO: siempre y cuando entendamos que $F_{-1}:=0$

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Ignacio Larrosa Cañestro

22/10/2014 14:00

Tito, no veo porque hay que suponer que F(-1) = 0. Es más así no se cumpliría. De acuerdo con la ley de recurrencia y la fórmula de Binet, F(-n) = (-1)^(n+1)F(n) y F(0) = 0.

Para la segunda pregunta, se desprende inmediatamente de la primera que (1, 1) es una solución, y creo que la única, aunque tengo que pensarlo algo más …

rtomas

22/10/2014 21:24

como ya decis arriba esta propiedad:
F(n+m) = F(m–1) F(n) + F(m) F(n+1)
sirve para dar con las primeras soluciones, pero demostrar que no hay mas que la solucion (1,1)
para la segunda pregunta parece dificil…

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Julio

22/10/2014 22:56

Creo que lo he entendido mal, porque yo pensaba que las parejas (1,1), (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), (8,13)…. cumplían la primera condición

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ensnnet

23/10/2014 12:22

Para el caso 1, yo creo que también son válidas las parejas (0,1) y (1,0)

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yolanda

23/10/2014 15:22

No sé si lo entiendo bien pero para el segundo caso encuentro (1,2) (2,3)
Me pregunto si al estar dentro de la sucesión n+1 podría ser (8,13) (3,5) (5,8) (13,21) etc quiero decir que no sé si +1 es natural ó representa el siguiente en la sucesión.

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Cristóbal Camarero

25/10/2014 23:28

Para la parte 1.
Por aclarar considero $F_n$ definido para todo entero $n$ y $F_0=0$ .

Primero unas cosas sencillas:
Lemma1: Si $F_x<F_y<2F_x$ entonces $y=x+1$ .
Lemma2: Si $F_x=F_y+F_z$ con $F_x>F_y>F_z$ entonces $x=y+1=z+2$ .

Sea $\{a,b\}$ una solución. Entonces para algunos $n,m$ tenemos que $F_n+bF_{n+1}=F_m$ . Expandiendo una vez la definición de Fibonacci: $aF_n+bF_{n+1}=(aF_{n-1}+bF_{n})+(aF_{n-2}+bF_{n-1})$ .
Y como $\{a,b\}$ es una solución tenemos que $aF_{n-1}+bF_{n}=F_m'$ y $aF_{n-2}+bF_{n-1}=F_m''$ . Y entonces por el Lemma2 tenemos que $m'=m-1$ .

Podemos aplicar inducción a lo anterior en $m$ y obtenemos que para algún $k\in\mathbb Z$ , $aF_k+bF_{k+1}=0$ . Las soluciones a esta ecuación son $a=\lambda F_{k+1}$ y $b=-\lambda F_k$ para algún número real $\lambda$ .

Introduciendo estas soluciones de nuevo en la fórmula original tenemos que para cualquier $n$ , $\lambda F_{k+1}F_n-\lambda F_{k}F_{n+1}=\lambda (-1)^kF_{n-k}$ es un número de Fibonacci. Los signos son realmente irrelevantes y podemos quedarnos con que para todo $n$ existe $m$ tal que $\lambda F_n=F_m$ . Para $n=0$ está claro que $m=0$ ya que $\lambda F_0=0=F_0$ .
Por otro lado como $\lambda F_{n+2}=\lambda F_{n+1}+\lambda F_n$ , por Lemma2, si $\lambda F_n=F_m$ entonces $\lambda F_{n+1}=F_{m+1}$ . Juntando estos dos hechos con inducción obtenemos que $\lambda F_n=F_n$ para todo $n$ y por tanto $\lambda=1$ .

Así que las soluciones son $a=F_{k+1}$ y $b=-F_k$ . Que por simetría son las mismas que $\{F_k,F_{k+1}\}$ .

Responde

Cristhian

26/10/2014 00:35

Buenas tardes, Cristóbal Camerro: en tu demostración faltan unos pequeños detalles aparte de la prueba de los lemas. Primero en el lema 2 es necesario excluir la solución $F_{1}+F_{3}=F_{4}$ siempre que $F_{0}=0$ y $F_{1}=1$ .Segundo, es MUY importante suponer desde el comienzo que la sucesión $G_{n}=aF_{n}+bF_{n+1}$ es estrictamente creciente pues de lo contrario no podrías aplicar el lema 2 directamente y por último no entiendo por qué decís que «los signos son realmente irrelevantes», espero que soluciones mis dudas. Saludos

Responde

Cristóbal Camarero

26/10/2014 10:18

Hola Cristhian.

Recordemos la fórmula $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n$ . Es claro que $|F_x|=|F_y|$ implica $|x|=|y|$ .

Primero la prueba de los lemas.
Lema 1: Si $0\leq F_x< F_y<2F_x$ entonces $y=x+1$ .
Demostración. Claramente $y> x$ . Como son enteros $y\ge x+1$ .
Ahora supongamos que $y\ge x+2$ . Entonces $F_y\geq F_{x+2}=F_{x+1}+F_x>2F_x$ . Así que la suposición $y\ge x+2$ es falsa y $y=x+1$ .

Lema 2: Si $F_x=F_y+F_z$ con $F_x>F_y>F_z\geq 0$ entonces $x=y+1=z+2$ .
Demostración. Tenemos $F_y< F_x=F_y+F_z< 2F_z$ . Aplicando Lema 1 obtenemos $x=y+1$ . Ahora $F_y+F_z=F_x=F_{y+1}=F_y+F_{y-1}$ .
Substrayendo $F_y$ en todos los términos queda $F_z=F_{y-1}$ .
Y por tanto $z=y-1$ .

Está claro que $F_n$ es monótono para $n> 0$ . Así que lo tenemos es un problema de signos. Como no aporta mucho a la idea no quise entrar en ello.

Primero arreglemos las inducciones. Las dos se arreglan igual así que describiré la primera.
Habíamos supuesto que $a,b$ era una solución, así que para cualquier $n$ , $aF_n+bF_{n+1}$ es un número de Fibonacci.
Lo que vamos a probar por inducción es que existe un $c$ tal que para todo $n$ , $aF_n+bF_{n+1}=F_{n+c}$ .
Si $a$ y $b$ son ambos positivos entonces elijamos un $N$ positivo y para evitarnos problemas que sea mucho más grande que $a$ o $b$ .
Como $aF_N$ y $bF_{N+1}$ son monótonas positivos podemos aplicar el Lemma 2 y obtenemos que para cierto $c$ tenemos
$aF_N+bF_{N+1}=F_{N+c}$ ,
$aF_{N-1}+bF_{N}=F_{N-1+c}$ y
$aF_{N-2}+bF_{N-1}=F_{N-2+c}$ .
Para hacer la inducción probamos que si para un $n$ se cumple
$aF_n+bF_{n+1}=F_{n+c}$ ,
$aF_{n-1}+bF_{n}=F_{n-1+c}$ y
$aF_{n-2}+bF_{n-1}=F_{n-2+c}$ ; entonces también se cumplen
$aF_{n+1}+bF_{n+2}=F_{n+1+c}$ y
$aF_{n-3}+bF_{n-2}=F_{n-3+c}$ .
Y esto se demuestra simplemente expandiendo el Fibonacci, esto es
$aF_{n+1}+bF_{n+2}=(aF_n+bF_{n+1})+(aF_{n-1}+bF_{n+1})=F_{n+c}+F_{n-1+C}=F_{n+1+c}$ .
Notar que aquí no se ha usado el Lemma3, esa condición sólo la necesitamos en el caso base $N$ .
Tomando $c=-n$ se obtiene la expresión $aF_n+bF_{n+1}=0$ que se usa luego.

¿Qué pasa si no son ambos positivos?

En el caso que sean ambos positivos tenemos que $|a|F_n+|b|F_{n+1}$ es un número de Fibonacci. Y por lo anterior que $|a|F_n+|b|F_{n+1}=F_{n+c}$ .
Consecuentemente $aF_n+bF_{n+1}=-F_{n+c}$ . Pero para $n$ positivo eso nos da números negativos consecutivos que no ocurre en la sucesión de Fibonacci. Así que estos $a,b$ no dan solución.

Si tenemos $a$ de diferente signo a $b$ entonces como caso base tomaremos un $N$ negativo (y con valor absoluto suficientemente grande). Esto nos lleva al caso original con un factor $(-1)^{N+1}$ a un lado y otro $(-1)^{N+c+1}$ . Si se cancelan estaremos en una situación análoga a la de ambos positivos y si no será como ambos negativos.

No sé si me estoy dejando alguna cosa; pero seguro que se puede arreglar de forma parecida.

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Cristóbal Camarero

26/10/2014 12:26

Obviamente tengo una errata en «En el caso que sean ambos positivos tenemos […]» -> «En el caso que sean ambos negativos tenemos […]».

Por otro lado, una vez que tenemos un $c$ tal que para cualquier $n$ , $aF_n+bF_{n+1}=F_{n+c}$ es más fácil llegar directamente a la solución.
Simplemente, para $n=0$ se tiene $F_c=aF_0+bF_1=b$ y para $n=-1$ se tiene $F_{c-1}=aF_{-1}+bF_0=-a$ . Con lo que $-a$ y $b$ son números de Fibonacci consecutivos.

Responde

Cristóbal Camarero

26/10/2014 16:33

Parece que la parte 2 puede hacerse de forma parecida.

Le ecuación (59) en http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html dice $F_{2k+1} = F_{k+1}^2+F_k^2$ . Aunque no la voy a usar, sugiere que $u F_n^2 + v F_{n+1}^2=F_{2n+c}$ para algún $c$ dependiente de $u,v$ .

Voy a asumir todo positivo.

Empiezo con un lema parecido.
Lema 1: Si $0\leq F_x< F_y<4F_x$ entonces $y=x+1$ o $y=x+2$ .
Prueba. $F_{x+3}=F_{x+2}+F_{x+1}=2F_{x+1}+F_x=3F_x+2F_{x-1}$ $=4F_x+F_{x-1}+F_{x-2}> 4F_x > F_y.$ Así que $y<x+3$ .

Sea $g$ la función tal que $uF_n^2+vF_{n+1}^2=F_{g(n)}$ .
Y definamos $X_n=uF_{n+1}F_n+vF_{n+2}F_{n+1}$ .
Realmente $X_n$ también va a ser un número de Fibonacci; pero por ahora no lo sabemos.
Trivialmente tenemos $F_{g(n)}< X_n < F_{g(n)+1}$ .

Expandiendo una vez la formula de Fibonacci en $F_{g(n)}$ obtenemos
$F_{g(n)}=F_{g(n-1)}+2X_{n-2}+F_{g(n-2)}$ .
Y de ahí la desigualdad
$F_{g(n-1)} < F_{g(n-1)}+3F_{g(n-2)} < F_{g(n)} < 3F_{g(n-1)}+F_{g(n-2)} < 4F_{g(n-1)}$ .
Y por el lema $g(n)=g(n-1)+1$ o $g(n-1)+2$ , para todo $n$ (positivo, tal y cual).

Ahora vamos a descartar la posibilidad de que sea $g(n)=g(n-1)+1$ .
Teníamos en un $n$ cualquiera que $F_{g(n)} > F_{g(n-1)}+3F_{g(n-2)}$ .
Si suponemos $g(n)=g(n-1)+1$ entonces lo convertimos en $F_{g(n-1)-1} > 3F_{g(n-2)}$ .
Ahora bien $g(n-1)\leq g(n-2)+2$ , así que $F_{g(n-1)-1}\leq F_{g(n-2)+1} < 2F_{g(n-2)}$ .
Esto es, $3F_{g(n-2)} < F_{g(n-1)-1} < 2F_{g(n-2)}$ , que implica la contradicción $3< 2$ .
Así que la suposición $g(n)=g(n-1)+1$ tiene que ser falsa.

Por tanto para todo $n$ , $g(n+1)=g(n)+2$ . Esto implica una constante $c$ tal que $g(n)=2n+c$ . Es decir $uF_n^2+vF_{n+1}^2=F_{2n+c}$ . Ahora estamos en condiciones de demostar fácilmente que $X_n=F_{2n+1+c}$ , pero no nos interesa realmente.

Ahora solo queda ver que para $n=0$ se tiene $v=F_c$ y para $n=-1$ , $u=F_{c-2}$ . Esto es $(u,v)=(F_{c-2},F_c)$ .

Han sido muchos pasos; espero no haberme colado en nada.

Responde

Cristóbal Camarero

26/10/2014 20:31

Al final de lo que he hecho para la parte 2 falta considerar el valor $n=1$ . Del cual se obtiene $u+v=F_{c+2}$ y por tanto $F_c+F_{c-2}=F_{c+2}=F_{c+1}+F_c$ y $F_{c+1}=F_{c-2}$ , que es imposible.

Y antes tomé el valor $n=-1$ , con lo que no hay soluciones que lo cumplan para todos los enteros. Pero el enunciado dice para los naturales; y para los naturales a partir de los puntos $n=0$ y $n=1$ se obtiene que la única solución es (1,1).

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