Vamos con el problema semanal. Ahí va:
Dada la sucesión de Fibonacci
- encuentra todas las parejas
de números reales para los cuales se cumple que
es un elemento de la sucesión de Fibonacci para todo
natural.
- encuentra todas las parejas
de números reales positivos que cumplen que
es un elemento de la sucesión de Fibonacci para todo
Que se os dé bien.
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Las parejas a y b son parejas de números de Fibonacci sucesivo, Fa y Fa+1.
Las parejas u y v no sé decirlo todavía.
NACHO: siempre y cuando entendamos que
Tito, no veo porque hay que suponer que F(-1) = 0. Es más así no se cumpliría. De acuerdo con la ley de recurrencia y la fórmula de Binet, F(-n) = (-1)^(n+1)F(n) y F(0) = 0.
Para la segunda pregunta, se desprende inmediatamente de la primera que (1, 1) es una solución, y creo que la única, aunque tengo que pensarlo algo más …
como ya decis arriba esta propiedad:
F(n+m) = F(m–1) F(n) + F(m) F(n+1)
sirve para dar con las primeras soluciones, pero demostrar que no hay mas que la solucion (1,1)
para la segunda pregunta parece dificil…
Creo que lo he entendido mal, porque yo pensaba que las parejas (1,1), (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), (8,13)…. cumplían la primera condición
Para el caso 1, yo creo que también son válidas las parejas (0,1) y (1,0)
No sé si lo entiendo bien pero para el segundo caso encuentro (1,2) (2,3)
Me pregunto si al estar dentro de la sucesión n+1 podría ser (8,13) (3,5) (5,8) (13,21) etc quiero decir que no sé si +1 es natural ó representa el siguiente en la sucesión.
Para la parte 1. Por aclarar considero definido para todo entero y . Primero unas cosas sencillas: Lemma1: Si entonces . Lemma2: Si con entonces . Sea una solución. Entonces para algunos tenemos que . Expandiendo una vez la definición de Fibonacci: . Y como es una solución tenemos que y . Y entonces por el Lemma2 tenemos que . Podemos aplicar inducción a lo anterior en y obtenemos que para algún , . Las soluciones a esta ecuación son y para algún número real . Introduciendo estas soluciones de nuevo en la fórmula original tenemos que para cualquier ,… Lee más »
Buenas tardes, Cristóbal Camerro: en tu demostración faltan unos pequeños detalles aparte de la prueba de los lemas. Primero en el lema 2 es necesario excluir la solución
siempre que 
y 
.Segundo, es MUY importante suponer desde el comienzo que la sucesión 
es estrictamente creciente pues de lo contrario no podrías aplicar el lema 2 directamente y por último no entiendo por qué decís que «los signos son realmente irrelevantes», espero que soluciones mis dudas. Saludos
Hola Cristhian. Recordemos la fórmula . Es claro que implica . Primero la prueba de los lemas. Lema 1: Si entonces . Demostración. Claramente . Como son enteros . Ahora supongamos que . Entonces . Así que la suposición es falsa y . Lema 2: Si con entonces . Demostración. Tenemos . Aplicando Lema 1 obtenemos . Ahora . Substrayendo en todos los términos queda . Y por tanto . Está claro que es monótono para . Así que lo tenemos es un problema de signos. Como no aporta mucho a la idea no quise entrar en ello. Primero arreglemos… Lee más »
Obviamente tengo una errata en «En el caso que sean ambos positivos tenemos […]» -> «En el caso que sean ambos negativos tenemos […]».
Por otro lado, una vez que tenemos un
tal que para cualquier 
, 
es más fácil llegar directamente a la solución.
se tiene 
y para 
se tiene 
. Con lo que 
y 
son números de Fibonacci consecutivos.
Simplemente, para
Parece que la parte 2 puede hacerse de forma parecida. Le ecuación (59) en http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html dice . Aunque no la voy a usar, sugiere que para algún dependiente de . Voy a asumir todo positivo. Empiezo con un lema parecido. Lema 1: Si entonces o . Prueba. Así que . Sea la función tal que . Y definamos . Realmente también va a ser un número de Fibonacci; pero por ahora no lo sabemos. Trivialmente tenemos . Expandiendo una vez la formula de Fibonacci en obtenemos . Y de ahí la desigualdad . Y por el lema o , para… Lee más »
Al final de lo que he hecho para la parte 2 falta considerar el valor
. Del cual se obtiene 
y por tanto 
y 
, que es imposible.
Y antes tomé el valor
, con lo que no hay soluciones que lo cumplan para todos los enteros. Pero el enunciado dice para los naturales; y para los naturales a partir de los puntos 
y 
se obtiene que la única solución es (1,1).