Diferencia al cuadrado acotada

Publicado por ^DiAmOnD^ | 19 junio, 2012 | Juegos | 12 |

Vamos con el problema semanal. Éste es el enunciado:

La suma de los cuadrados de cinco números reales $a_1, a_2,a_3,a_4,a_5$ es igual a 1. Demostrar que el menor de los números $(a_i-a_j)^2$ , con $i,j=1,2,3,4,5$ y además $i \ne j$ , no es mayor que $1/10$ .

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Bitacoras.com

19/06/2012 12:25

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema semanal. Éste es el enunciado: La suma de los cuadrados de cinco números reales es igual a 1. Demostrar que el menor de los números , con y además , no es mayor que . A por él. Entra en Gaussianos s……

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Cartesiano Caotico

19/06/2012 15:49

Pues no se si me equivoco en algo pero a mi me sale esto bucando un contraejemplo: Parece que lo más lógico es coger 5 valores con incrementos iguales. Es decir . Y por supuesto el primer término nulo. Así, hacemos que Si tomamos cualquier mayor entonces para que los cuadrados sigan sumando 1 tiene que haber algún otro menor, y por tanto no podrá nunca superar el valor de Por otra parte, si tomamos el primer término no nulo, necesariamente las diferencias con el resto de términos deberán ser menores para que los cuadrados sigan sumando 1, y por… Lee más »

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Javiol

19/06/2012 19:50

Buenas Cartesiano Caotico,

Yo no lo he resuelto pero me parece que lo que dice el enunciado es que la suma de los cuadrado de los numeros es 1, a1^2 + … a5^2 =1 y con eso ya demostrar que (ai – aj)^2 <= 1/10 para todo i,j. No que la suma de las diferencias es 1 que creo que es lo que tu has empezado suponendo no?

Un saludo.

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JJGJJG

19/06/2012 20:22

Con un razonamiento similar he llegado a la misma solución que Cartesiano caótico:
Fijémonos solo en las cuatro diferencias (a5-a4)^2, (a4-a3)^2, (a3-a2)^2 y (a2-a1)^2 que deben ser las menores posibles. Si las obligamos a ser todas 0,1 y, para minimizar la suma de cuadrados elegimos a3 = 0 nos resultan para las demás a2^2=a4^2=0,1 y a1^2=a5^2= 4*0,1. Los valores serán, pues -0.632.., -0.316…, 0, 0,316… y 0,632… cuyos cuadrados 0.4+0.1+0+0.1+0.4 suman precisamente 1. Cualesquiera otros valores harían alguno de los cuadrados de diferencias menor que 0.1 o la suma de los cinco cuadrados mayor que 1.

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JJGJJG

19/06/2012 20:26

Perdón, donde dice «l… las menores posibles ..» debe decir «… las mayores posibles …».

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Cartesiano Caotico

19/06/2012 21:28

Hola Javiol.

Si te fijas lo primero que hago es hacer $a_1=0; a_2=h; a_3=2h; a_4=3h; a_5=4h$
Y con eso hago todas las diferencias iguales a ‘h’, razonando que el máximo de todos los mínimos se da cuando todas las diferencias son iguales. No se si esto último habría que demostrarlo, aunque en principio parece evidente.

Lo curioso es que empecé a exponer que me salía 1/30 cuando mientras escribía me di cuenta de que los valores negativos también juegan 😉

Saludos

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19/06/2012 21:55

Pongamos $a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4 \leq a_5$ y llamemos $d:=\displaystyle{\min_{i\neq j}} |a_i-a_j|$ . Entonces, para $i>j$ , $a_i-a_j\geq (i-j)d$ . Luego, $\displaystyle{\sum_{i>j}} (a_i-a_j)^2\geq d^2\displaystyle{\sum_{i>j}} (i-j)^2=50 d^2.$

Por otra parte, $\displaystyle{\sum_{i>j}} (a_i-a_j)^2=5\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^5} a_i^2\right)-\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^5 a_i}\right)^2=5-\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^5} a_i\right)^2\leq 5$ .

En definitiva: $50d^2\leq 5$ , y se obtiene el resultado.

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19/06/2012 22:03

Además, según el razonamiento anterior, se da la igualdad $d^2=\frac{1}{10}$ si y sólo si los números son $-2d,-d,0,d,2d$ , con $d=\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

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Ratoncillo de biblioteca

19/06/2012 22:53

Supongamos, por reducción al absurdo que, $\min\{(a_i-a_j)^2, \ i\neq j\}>\cfrac{1}{10}$ entonces

${\displaystyle 1<\sum_{i=1}^4\left(\sum_{j=i+1}^5(a_i-a_j)^2\right)}=4-2A=$ , donde $A=\sum_{i=1}^4\left(\sum_{j=i+1}^5 a_ia_j\right)$

Por tanto, $A<\cfrac{3}{2}$

Por otro lado, consideremos los vectores, $a=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ y $b=(1,1,1,1,1)$ . Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene

$\langle a,b\rangle^2\leq \|a\|^2\|b\|^2=5$ , pero ${\displaystyle \langle a,b\rangle^2=\left(\sum_{i=1}^5a_i\right)^2}=1+2A<4$ llegando a la contradicción $4\leq 5$ .

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Ratoncillo de biblioteca

19/06/2012 23:27

Puff, perdonad, me precipité en mi comentario anterior!

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José María

20/06/2012 23:45

Hola M

¿De donde sacas que ai-aj>=(j-i)D?
Es que no lo veo
Saludos

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karl

21/06/2012 00:00

M que pena la pregunta pero no logro entender porque el hecho de que d ^2=1/10 implica estrictamente esa combinación de números

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21/06/2012 10:02

José María, si $d$ es la diferencia mínima, entonces $a_{i+1}-a_{i}\geq d$ , para todo $i$ . Inductivamente, resulta entonces $a_{i}-a_{j}\geq (i-j)d$ , para $i>j$ (los números han sido ordenados en orden creciente).

karl, si $d^2=1/10$ , entonces todas las desigualdades intermedias se dan con igualdad. Luego, $\sum_{i=1}^5 a_i=0$ , y $a_{i+1}-a_i=d$ , con $\sum_{i=1}^5 a_i^2=1$ .