Vamos con el problema semanal. Éste es el enunciado:
La suma de los cuadrados de cinco números reales
es igual a 1. Demostrar que el menor de los números
, con
y además
, no es mayor que
.
A por él.
Diferencia al cuadrado acotada
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Pues no se si me equivoco en algo pero a mi me sale esto bucando un contraejemplo: Parece que lo más lógico es coger 5 valores con incrementos iguales. Es decir . Y por supuesto el primer término nulo. Así, hacemos que Si tomamos cualquier mayor entonces para que los cuadrados sigan sumando 1 tiene que haber algún otro menor, y por tanto no podrá nunca superar el valor de Por otra parte, si tomamos el primer término no nulo, necesariamente las diferencias con el resto de términos deberán ser menores para que los cuadrados sigan sumando 1, y por… Lee más »
Buenas Cartesiano Caotico,
Yo no lo he resuelto pero me parece que lo que dice el enunciado es que la suma de los cuadrado de los numeros es 1, a1^2 + … a5^2 =1 y con eso ya demostrar que (ai – aj)^2 <= 1/10 para todo i,j. No que la suma de las diferencias es 1 que creo que es lo que tu has empezado suponendo no?
Un saludo.
Con un razonamiento similar he llegado a la misma solución que Cartesiano caótico:
Fijémonos solo en las cuatro diferencias (a5-a4)^2, (a4-a3)^2, (a3-a2)^2 y (a2-a1)^2 que deben ser las menores posibles. Si las obligamos a ser todas 0,1 y, para minimizar la suma de cuadrados elegimos a3 = 0 nos resultan para las demás a2^2=a4^2=0,1 y a1^2=a5^2= 4*0,1. Los valores serán, pues -0.632.., -0.316…, 0, 0,316… y 0,632… cuyos cuadrados 0.4+0.1+0+0.1+0.4 suman precisamente 1. Cualesquiera otros valores harían alguno de los cuadrados de diferencias menor que 0.1 o la suma de los cinco cuadrados mayor que 1.
Perdón, donde dice «l… las menores posibles ..» debe decir «… las mayores posibles …».
Hola Javiol.
Si te fijas lo primero que hago es hacer
Y con eso hago todas las diferencias iguales a ‘h’, razonando que el máximo de todos los mínimos se da cuando todas las diferencias son iguales. No se si esto último habría que demostrarlo, aunque en principio parece evidente.
Lo curioso es que empecé a exponer que me salía 1/30 cuando mientras escribía me di cuenta de que los valores negativos también juegan 😉
Saludos
Pongamos
y llamemos 
. Entonces, para 
, 
. Luego, 
Por otra parte,
.
En definitiva:
, y se obtiene el resultado.
Además, según el razonamiento anterior, se da la igualdad
si y sólo si los números son 
, con 
.
Supongamos, por reducción al absurdo que,
entonces
Por tanto,
Por otro lado, consideremos los vectores,
y 
. Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene
Puff, perdonad, me precipité en mi comentario anterior!
Hola M
¿De donde sacas que ai-aj>=(j-i)D?
Es que no lo veo
Saludos
M que pena la pregunta pero no logro entender porque el hecho de que d ^2=1/10 implica estrictamente esa combinación de números
José María, si
es la diferencia mínima, entonces 
, para todo 
. Inductivamente, resulta entonces 
, para 
(los números han sido ordenados en orden creciente).
karl, si
, entonces todas las desigualdades intermedias se dan con igualdad. Luego, 
, y 
, con 
.