Largo es el camino de la enseñanza por medio de teoremas; breve y eficaz por medio de ejemplos.
Lucius Annaeus Séneca
Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas
Aunque en ocasiones son indispensables estoy de acuerdo con la idea que nos quiere transmitir la frase. ¿Qué pensáis?
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Si hay que elegir entre una cosa y otra, ganan los teoremas, porque son los que nos permiten subirnos a hombros de gigantes. Pero esa elección no es real, se pueden tener ambas cosas.
Siempre que sea posible, hay que dar un ejemplo que ilustre el teorema, porque el cerebro no funciona a base de logaritmos y cotangentes, funciona asociando ideas.
La experiencia docente que tengo no es en matematicas. En otras areas, que es de lo único que puedo hablar, no poner ejemplos es el camino más corto para convertir una bonita asignatura de ciencias en una horrorosa asignatura de letras (horrorosa, por el resultado, no por las letras).
En matematicas no sé, pero no se me ocurre por qué no se podría generalizar la idea. Así que creo que los ejemplos son también casi indispensables.
En el libro «¿Está usted de broma, Sr. Feynman?», el autor, Richard Feynman, da su visión sobre el asunto en dos ocasiones.
Una es cuando viaja a Brasil y se encuentra horrorizado con que las clases de física allí son listas de leyes que hay que memorizar, sin ejemplos.
Y en otra, más relacionada con las matemáticas, cuenta sus batallas con los estudiantes de matemáticas, en las que ellos le planteaban supuestos teoremas que él conseguía, casi siempre, decir si eran correctos o no, basándose sólo en ejemplos.
Mi experiencia investigadora me dice lo siguiente:
Uno se plantea un teorema, o lo cONJETURA. Después se buescan ejemplos TEST para verificar la conjetura y si ésta los supera, pues entonces se trata de demostrar en la mayor generalidad posible.
En definitiva: Sin ejemplos no hay Teoremas y sin Teoremas no hay ejemplos.
En general estoy de acuerdo, Tito, aunque muchas veces llegan antes los ejemplos (o la observación de ciertos hechos o patrones) que dan pie a sugerir una conjetura. De todas maneras concretamente en matemáticas hay teoremas demostrados de existencia para los que no se ha podido dar ningún ejemplo (recordemos el caso de los números normales…).
¿De que sirve un teorema sin ejemplos prácticos que muestren su utilidad?…Por otra parte, también depende de el nivel…en Análisis Matemático V, los ejemplos suelen llevar a nuevos teoremas pero aún asi…
Un saludo
De todos modos lo que plantea Séneca no es la utilidad de los ejemplos, sino que estos sustituyan a los teoremas, y en eso no tiene razón.
Si la ciencia avanzara sólo con ejemplos, lo más que tendríamos serían ruedas y palancas.
Gowers (medalla field) planteó lo que él considera su principio pedagógico favorito: primero los ejemplos! (y generó un gran debate en su blog).
Es decir, ni siquiera con ambas cosas, la gente se pone de acuerdo con el orden!
LordHASH, de qué servirá un teorema nunca se sabe, para empezar a mí me sirve por el simple placer de conocerlo y comprenderlo. Como ejemplo está la famosa prueba no constructiva de que «Existen números irracionales
y 
tales que 
es racional». La podéis encontrar aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Nonconstructive_proof
Me recuerda a la queja de Schopenhauer, quien pretendía que se apele a la intuitividad del teorema -de teoremas como el de Pitágoras- antes que a su demostración, siempre más oscura y más difícil de percibir y retener.
Saludos.
Yo creo que es una elección falsa, ambas cosas son necesarias: los teoremas pueden quedar «vacíos» sin ejemplos (aunque no todos, no es necesario «aplicarlo» todo) y por otro lado, no basta con los ejemplos, hay que formalizar, ver si realmente esa propiedad se cumple siempre, porque en Matemáticas «siempre» es «siempre»
Yo creo que al final de lo que se trata es de entender, asimilar, etc. las ideas y propiedades matemáticas, bien con ejemplos bien con teoremas. A veces un ejemplo deja más claras estas ideas; otras, es necesario el teorema más abstracto para aclararlas.
Hola a todos,
Pienso que los teoremas y sus aplicaciones (ejemplos) van de la mano a la hora de enseñar un «concepto matemático». Sin embargo, es necesario priorizar el enseñar a demostrar teoremas, no dictar tal o cual demostración, sino facilitar los caminos para su demostración. Este razonamiento surge, a su vez, de una generalización de ejemplos sencillos, de lo inductivo a lo deductivo, que el profesor de matemáticas debe mostrar a los estudiantes.
Primero invitar a los estudiantes, mediante los ejemplos, para luego llegar a la demostración.
Saludos.
Hace diez post, se publicó una cita aquí, en Gaussianos del matemático Paul Halmos. Pues bien este matemático opinaba lo siguiente:
«Una buena cantidad de ejemplos, tan grande como sea posible, es indispensable para la aprehensión profunda del concepto. Cuando quiero aprender algo nuevo, lo primero que hago es construir un ejemplo.»
(Fuente: http://es.wikiquote.org/wiki/Paul_Halmos)
Y en esto si que estoy de acuerdo, no solo en matemáticas sino en cualquier otra materia.
Como estudiante de bachillerato, digo que los ejemplos son indispensables. Aunque sea interesante conocer la base matemática del teorema, es imposible aplicarlo sin ejemplos.
No os dais cuenta de que los teoremas no existen por si solos? Un teorema no es más que la generalización de un ejemplo, una forma de expresar éstos. En el mundo real, donde las personas se mueven, los teoremas no se muestran, sólo un número finito de casos. Las matemáticas son muy importantes pero en la aplicación en el mundo finito es donde son realmente útiles.