El problema de esta semana trata de unas sucesiones muy curiosas. Vamos con él:

Para cada \alpha\in \left [0,1 \right ] se considera la sucesión S_{\alpha} definida por recurrencia del modo siguiente:

\begin{matrix} x_0=\alpha \\ x_{n+1}=4x_n(1-x_n),  n\ge 0 \end{matrix}

Diremos que la sucesión S_{\alpha} es periódica, con periodo T\ge 1, si existe {T} el menor natural verificando x_T=x_0 \left (=\alpha \right ).

1) Demostrar que para cada T\geq 1 natural existe al menos un valor \alpha \in \left [0,1 \right ] de modo que la sucesión S_{\alpha} es periódica con periodo exacto igual a T. En particular, existen infinitas sucesiones S_{\alpha} que son periódicas.

2) Hallar la cantidad exacta de números \alpha\in \left [0,1 \right ] cuyo periodo es exactamente 2008.

Espero vuestras respuestas.

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