Estamos más o menos acostumbrados a ver por aquí cuestiones matemáticas que en ocasiones atentan contra nuestra intuición, ¿verdad? Pues hoy vamos a ver otra más relacionada con esferas y taladros.

Partimos de una situación ideal: una pelota que es una esfera perfecta, una esfera matemática en tres dimensiones. Imaginemos que esa esfera tiene radio 2 cm, por lo que si la dejamos en una mesa tendrá una altura de 4 cm. Taladremos ahora nuestra pelota ideal de radio 2 cm de manera uniforme por el centro con una broca con la que consigamos reducirla lo suficiente para que la figura resultante, como una cuenta de un collar, tenga una altura de 2 cm y calculemos el volumen de dicha figura.

Tomemos ahora una pelota ideal de 2 metros de radio, que por tanto tendría una altura de 4 metros si la dejáramos en el suelo, y realicemos la misma operación: un agujero con un taladro de forma que la superficie resultante tenga, igual que en el caso anterior, 2 cm de altura. Calculemos el volumen también ahora.

A la primera le hemos quitado una parte del total que posiblemente no sea muy grande en comparación con la pelota en sí, pero de entrada la pelotita era muy pequeña. La segunda era bastante más grande, pero le hemos tenido que hacer un agujero anchísimo para dejarla a la misma altura que la anterior. ¿Qué relación habrá entre los volúmenes de las figuras obtenidas?

Pues, como posiblemente más de uno ya habrá intuido, los volúmenes son iguales. Sí, da igual cómo sea la pelota inicial, siempre que los agujeros dejen a la figura resultante con la misma altura los volúmenes serán exactamente iguales.

La demostración de este hecho es relativamente sencilla, pero requiere conocimientos de integración múltiple. Como seguro que muchos de vosotros llegáis a ese nivel vamos a realizar los cálculos.

Tomamos una esfera de radio R, de la que, por comodidad para los cálculos, nos quedaremos con la mitad superior. También por comodidad la supondremos centrada en (0,0,0). Lo que vamos a comprobar es que el volumen de la figura que queda al taladrarla por el centro y dejarla a una cierta altura k es independiente de R. Eso probaría por simetría lo comentado anteriormente, que da igual cómo sea la esfera inicial (da igual si radio) siempre que al taladrarla la dejemos con la misma altura.

La superficie de nuestra semiesfera taladrada quedaría así:

Lo que vamos a hacer es calcular, mediante integración doble, el volumen de la parte que le quitamos al taladrarla, y después se lo restaremos a su volumen total, V_{se}, que por ser una semiesfera de radio R es:

V_{se}= \cfrac{2}{3} \; \pi R^3

esto es, la mitad del volumen de una esfera entera.

Bien, entonces tenemos una semiesfera centrada en (0,0,0) y de radio R, por lo que su ecuación es x^2+y^2+z^2=R^2. Para calcular el volumen de la parte eliminada al taladrar vamos a usar coordenadas polares:

\begin{matrix} x=r \; cos(\theta) \\ y=r \; sen(\theta) \end{matrix}

La región sobre la que se integra es el círculo que queda a altura k, es decir, la parte más alta de la figura resultante al taladrar. Ese círculo, por tanto, se describe de la siguiente manera:

\{(x,y) \; / \; x^2+y^2 \le R^2-k^2 \}

En ese círculo tomamos las coordenadas polares, lo que significa que 0 \le r \le R^2-k^2 y 0 \le \theta \le 2 \pi.

La función a integrar se calcula restando la de arriba, z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}, que en polares quedaría z=\sqrt{R^2-r^2}, menos la de abajo, z=0. Además hay que tener en cuenta que al pasar a polares hay que multiplicar la función a integrar por el jacobiano del cambio, que es r. Todo esto nos da la siguiente integral doble:

\displaystyle{\int_0^{2 \pi} \int _0^{R^2-k^2} r \; \sqrt{R^2-r^2} \ dr \; d \theta}

Como tanto la función a integrar como los límites de integración de r son independientes de \theta, tenemos que esta integral es igual a

2 \pi \; \displaystyle{\int _0^{R^2-k^2} r \; \sqrt{R^2-r^2} \ dr}

Y esta integral sin convierte en inmediata sin más que completando la derivada de R^2-r^2 dentro de la misma, con lo que, después de integrar y operar con los límites de integración, obtenemos el siguiente resultado:

V_t=\cfrac{2}{3} \; \pi \; (R^3-k^3)

Ése es el volumen de la parte eliminada al taladrar, V_t. Por tanto, el volumen de la figura resultante, V_{set}, se calcula restando esa cantidad al volumen total de la semiesfera:

V_{set}=V_{se}-V_t=\cfrac{2}{3} \; \pi R^3-\cfrac{2}{3} \; \pi \; (R^3-k^3)=\cfrac{2}{3} \; \pi k^3

Como veis se cumple lo que comentábamos antes: el volumen de la figura resultante al taladrar una semiesfera de radio R hasta dejarla a altura k es independiente de R, solamente depende de la altura k. Por tanto, siempre que mantengamos la misma altura obtendremos figuras con el mismo volumen. O lo que es lo mismo:

Dos cuentas de un collar tienen el mismo volumen si y sólo si tiene la misma altura, independientemente del radio de la esfera que se utilizara para construir cada una de ellas.

Y para finalizar un detalle. Ese volumen, como muchos habréis visto ya, es exactamente el volumen de una esfera de radio k. Si llamamos V_{et} a ese volumen, tenemos entonces que:

V_{et}=\cfrac{2}{3} \; \pi k^3

Y recordad, independientemente del radio de la esfera inicial. Tremendo.

Indagando un poco podemos encontrar multitud de maravillas matemáticas como ésta.


Fuentes y enlaces relacionados:


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