Si imaginamos que tomamos tres palos cualesquiera (o algo que se le asemeje) e intentamos formar un triángulo con ellos, es posible que la intuición nos diga, inicialmente, que siempre podremos hacerlo; si pasamos a la práctica y escogemos tres elementos que representen a esos palos y vamos variando las longitudes de los mismos, posiblemente veamos que no siempre podemos. De hecho, si somos un poco rigurosos y vamos variando significativamente las longitudes de nuestros «palos» (intentando analizar todas las opciones posibles), igual hasta nos damos cuenta de que no son demasiadas las ocasiones en las que conseguimos nuestro deseado triángulo.
El estudio de esta cuestión es bastante clásico, de hecho se ha convertido en un problema que aparece recurrentemente en pruebas de matemáticas de distinta índole. Y aquí vamos a ver cómo llegar a la respuesta.
Habitualmente, la situación se plantea de la siguiente manera:
Y la cuestión principal que hay que determinar antes de responder a la pregunta es la siguiente: ¿qué condición deben cumplir tres segmentos para que con ellos se pueda formar un triángulo?
Si se hacen pruebas con tres segmentos de distintas longitudes, como os proponía al principio de este texto, es posible que se vea que es sencillo formar un triángulo cuando los segmentos tienen longitudes relativamente parecidas, incluso cuando solamente dos de ellos tienen longitud similar, pero no se puede cuando uno de ellos tiene una longitud sensiblemente superior a la de los otros dos. Lo que nos está sugiriendo la práctica es la condición que buscamos, que es la siguiente:
Por ejemplo, podremos formar un triángulo con tres segmentos de longitudes 5 cm, 8 cm y 11 cm o con tres de longitudes 56 cm, 246 cm y 290 cm, pero no podremos si las longitudes de nuestros «palos» son, por ejemplo, 27 cm, 40 cm y 70 cm, al ser 27+40 menor que 70.
Conociendo esto, la cuestión que se propone pasa ahora por calcular la probabilidad de que se dé esta relación entre las longitudes de los segmentos.
Hay una gran variedad de formas de calcular esta probabilidad. En este artículo, os voy a mostrar la más frecuente, la que se encuentra más a menudo en libros y webs que estudian este tema. Supongamos que tomamos nuestros segmento de longitud 1 y lo cortamos en tres trozos por los puntos aleatorios \( x,y \). Si \( x < y \), tendremos tres segmentos de longitudes \( x, y-x \) y \( 1-y \):
Y si \( y < x \), tendremos tres segmentos de longitudes \( y, x-y \) y \( 1-x \):
Si colocamos el comienzo del segmento en el punto \( (0,0) \) y el final en el \( (1,0) \), para asegurar que se cumple la condición comentada (que la suma de cada dos segmentos sea mayor que el otro) debe ocurrir que las longitudes de todos los segmentos sean menores que la mitad del segmento total, estos es, que sean menores que \( \frac{1}{2} \).
En el primer caso, \( x < y \), debe cumplirse que
\[ \begin{matrix} \boxed{x < \frac{1}{2}} \\[1ex] \boxed{y-x < \frac{1}{2}} \\[1ex] 1-y < \frac{1}{2} \rightarrow \boxed{y > \frac{1}{2}} \end{matrix} \]
Y en el segundo caso, \( y < x \), se debe dar que
\[ \begin{matrix} \boxed{y < \frac{1}{2}} \\[1ex] \boxed{x-y < \frac{1}{2}} \\[1ex] 1-x < \frac{1}{2} \rightarrow \boxed{x > \frac{1}{2}} \end{matrix} \]
Representando gráficamente los dos grupos de desigualdades, nos quedan marcadas (en naranja) las dos regiones siguientes como conjuntos solución (con un 1, la del primer caso; con un 2, la del segundo):
Calculando el área de cada triángulo, vemos que ambos tienen área
\[ \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{8} \]
Por tanto, el área solución y, en consecuencia, la probabilidad pedida es
\[ P(\text{Formar triángulo})=\frac{1}{4} \]
Podéis ver varias demostraciones más en este hilo de mathoverflow. Mención especial para la que se basa en el bellísimo teorema de Viviani
La imagen principal ha sido generada con ChatGPT.
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