Este artículo está basado en una colaboración enviada por Daniel. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos puedes enviar tus propuestas a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

En las últimas semanas habéis podido leer en Gaussianos un par de artículos relacionados con los conjuntos infinitos y sus peculiaridades. A saber, Qué extraño es el infinito y El mALEPHicio del infinito. En este último se alude a la demostración de Cantor de la imposibilidad de poner en correspondencia biunívoca el conjuntos de los naturales, \mathbb{N}, con el conjunto de los reales, \mathbb{R}. En este artículo vamos a desgranar dicha demostración.

La demostración de Cantor

Como hemos dicho antes, en El mALEPHicio del infinito vimos cómo poder en correspondencia uno a uno el conjunto de los naturales positivos con el conjunto de los enteros distintos de cero y con los racionales positivos (y por extensión con los racionales). Y comentamos que no podemos hacer lo mismo con los reales. Para demostrar este hecho comenzamos con un resultado previo:

Lema:

El cardinal del intervalo (0,1) es el mismo que el cardinal de \mathbb{R}.

Demostración:

La idea de la demostración es encontrar una función que pongan en correspondencia uno a uno el intervalo (0,1) con \mathbb{R}. Este tipo de funciones se llaman biyectivas.

La función que buscamos es composición de dos:

  • La primera es la función f(x)=\pi (x-\textstyle{\frac{1}{2}}), que establece una biyección entre el intervalo (0,1) y el intervalo (\textstyle{\frac{-\pi}{2}},\textstyle{\frac{\pi}{2}}). Es bien sencillo demostrar que esta función es biyectiva, es decir, que pone en correspondencia uno a uno a esos dos intervalo.
  • La segunda es f(x)=tg(x). Esta función es una biyección entre el intervalo (\textstyle{\frac{-\pi}{2}},\textstyle{\frac{\pi}{2}}) y \mathbb{R}, es decir, pone en correspondencia biunívoca ese intervalo con el conjunto de los números reales.

Realizando la composición de las dos obtenemos una biyección entre el intervalo (0,1) y \mathbb{R}. Por tanto ambos conjuntos tienen el mismo cardinal.
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La idea ahora es demostrar que el infinito de los números reales es mayor que el de los naturales. Para ello veremos que el cardinal de estos últimos es menor que el de los primeros. Pero antes vamos a dar una definición sobre esto que nos va a echar una mano:

  • Dados dos conjuntos, A,B, decimos que el cardinal de A es menor que el cardinal de B, |A| < |B| (|A| representa el cardinal de A), si podemos poner en correspondencia biunívoca el conjunto A con un subconjunto de B y no podemos hacer lo mismo entre A y B.

INCISO:

Es interesante recalcar que no basta con que A pueda ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto de B para decir que |A| < |B|. La segunda condición es obligatoria para que la definición tenga sentido. Un ejemplo claro de esto es la relación entre los números pares y todos los números naturales: los números pares pueden ponerse en correspondencia biunívoca con un subconjunto de los naturales (de hecho con varios: los propios números pares, los impares,…), pero sabemos ya que los números pares también pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los propios números naturales, por lo que el cardinal de los pares es el mismo que el de los naturales.

Recordando que dijimos que un conjunto infinito es numerable si puede ponerse en correspondencia biunívoca con los naturales, presentamos el enunciado del teorema de Cantor:

Teorema: (de Cantor):

El conjunto de los números reales, \mathbb{R}, no es numerable, es decir, |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|.

Demostración

La idea es utilizar la definición anterior. Por ello lo primero que debemos hacer es encontrar un subconjunto de \mathbb{R} que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con \mathbb{N}. Ese subconjunto va a ser el propio \mathbb{N}, que como sabemos es un subconjunto de los reales. Ya tenemos entonces la primera parte: podemos poner en correspondencia biunívoca a \mathbb{N} con un subconjunto de \mathbb{R}.

Según el resultado demostrado anteriormente tenemos que |(0,1)|=|\mathbb{R}|. Por ello si demostramos que |\mathbb{N}| < |(0,1)| ya tendremos que |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|. Para ello vamos a suponer que tenemos una correspondencia cualquiera entre \mathbb{N} y (0,1) y encontraremos un elemento de (0,1) que no se corresponde con ninguno de \mathbb{N}, es decir, veremos que no hay correspondencias uno a uno entre esos dos conjuntos.

Cualquier correspondencia biunívoca entre \mathbb{N} y (0,1) es básicamente una numeración de los elementos de (0,1), es decir, creamos una lista con los elementos de ese intervalo, digamos a_1,a_2, \ldots, a_n, \ldots, y asociamos cada número natural con uno de esos elementos. Cada uno de ellos será un cero seguido de un cierto número (finito o infinito) de decimales. Evitando repeticiones (ya sabemos que 0,2999 \ldots y 0,3 son el mismo número) tendríamos algo así:

\left \{ \begin{matrix} 1 \rightarrow a_1= 0,a_1^1\,a_1^2\,a_1^3 \ldots \\ 2 \rightarrow a_2= 0,a_2^1\,a_2^2\,a_2^3 \ldots \\ 3 \rightarrow a_3= 0,a_3^1\,a_3^2\,a_3^3 \ldots \\ 4 \rightarrow a_4= 0,a_4^1\,a_4^2\,a_4^3 \ldots \\ 5 \rightarrow a_5= 0,a_5^1\,a_5^2\,a_5^3 \ldots \\ \vdots \end{matrix} \right.

La clave es la siguiente: vamos a encontrar un elemento del intervalo (0,1) que no corresponde con ningún número natural. Para ello tomamos a_1 y nos quedamos con su primer decimal, al que sumamos 1 obteniendo b_1=a_1^1+1; tomamos ahora a_2 y nos quedamos con su segundo decimal, sumándole también 1, obteniendo b_2=a_2^2+1; y así sucesivamente (si alguno de ellos es un 9 ponemos un cero). Ahora formamos el número b siguiente:

b=0,b_1 b_2 b_3 \ldots

Para que se entienda mejor pongo el siguiente ejemplo:

Si tenemos las siguientes relaciones:

\left \{ \begin{matrix} 1 \rightarrow 0,\mathbf{3} 240069 \ldots \\ 2 \rightarrow 0,1 \mathbf{4}29871 \ldots \\ 3 \rightarrow 0,77 \mathbf{9} 2851 \ldots \\ 4 \rightarrow 0,198 \mathbf{2} 555 \ldots \\ 5 \rightarrow 0,3175 \mathbf{4} 03 \ldots \\ \vdots \end{matrix} \right.

construiríamos b=0,45035 \ldots.

Es evidente que, construido así, b \in (0,1) y también es claro que b no corresponde con ningún número natural, ya que difiere con a_1 en (al menos) el primer decimal, con a_2 en (al menos) el segundo, con a_3 en (al menos) el tercero…

Hemos encontrado entonces un elemento del intervalo (0,1) que no corresponde con ningún número natural en cualquier correspondencia que podamos crear entre estos dos conjuntos. Por tanto |\mathbb{N}| < |(0,1)| y, en consecuencia:

|\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|

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