Este artículo está basado en una colaboración enviada por Daniel. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos puedes enviar tus propuestas a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
En las últimas semanas habéis podido leer en Gaussianos un par de artículos relacionados con los conjuntos infinitos y sus peculiaridades. A saber, Qué extraño es el infinito y El mALEPHicio del infinito. En este último se alude a la demostración de Cantor de la imposibilidad de poner en correspondencia biunívoca el conjuntos de los naturales, , con el conjunto de los reales,
. En este artículo vamos a desgranar dicha demostración.
La demostración de Cantor
Como hemos dicho antes, en El mALEPHicio del infinito vimos cómo poder en correspondencia uno a uno el conjunto de los naturales positivos con el conjunto de los enteros distintos de cero y con los racionales positivos (y por extensión con los racionales). Y comentamos que no podemos hacer lo mismo con los reales. Para demostrar este hecho comenzamos con un resultado previo:
Lema:
El cardinal del intervalo es el mismo que el cardinal de
.
Demostración:
La idea de la demostración es encontrar una función que pongan en correspondencia uno a uno el intervalo con
. Este tipo de funciones se llaman biyectivas.
La función que buscamos es composición de dos:
- La primera es la función
, que establece una biyección entre el intervalo
y el intervalo
. Es bien sencillo demostrar que esta función es biyectiva, es decir, que pone en correspondencia uno a uno a esos dos intervalo.
- La segunda es
. Esta función es una biyección entre el intervalo
y
, es decir, pone en correspondencia biunívoca ese intervalo con el conjunto de los números reales.
Realizando la composición de las dos obtenemos una biyección entre el intervalo y
. Por tanto ambos conjuntos tienen el mismo cardinal.
La idea ahora es demostrar que el infinito de los números reales es mayor que el de los naturales. Para ello veremos que el cardinal de estos últimos es menor que el de los primeros. Pero antes vamos a dar una definición sobre esto que nos va a echar una mano:
- Dados dos conjuntos,
, decimos que el cardinal de
es menor que el cardinal de
,
(
representa el cardinal de
), si podemos poner en correspondencia biunívoca el conjunto
con un subconjunto de
y no podemos hacer lo mismo entre
y
.
INCISO:
Es interesante recalcar que no basta con que
pueda ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto de
para decir que
. La segunda condición es obligatoria para que la definición tenga sentido. Un ejemplo claro de esto es la relación entre los números pares y todos los números naturales: los números pares pueden ponerse en correspondencia biunívoca con un subconjunto de los naturales (de hecho con varios: los propios números pares, los impares,…), pero sabemos ya que los números pares también pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los propios números naturales, por lo que el cardinal de los pares es el mismo que el de los naturales.
Recordando que dijimos que un conjunto infinito es numerable si puede ponerse en correspondencia biunívoca con los naturales, presentamos el enunciado del teorema de Cantor:
Teorema: (de Cantor):
El conjunto de los números reales, , no es numerable, es decir,
.
Demostración
La idea es utilizar la definición anterior. Por ello lo primero que debemos hacer es encontrar un subconjunto de que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con
. Ese subconjunto va a ser el propio
, que como sabemos es un subconjunto de los reales. Ya tenemos entonces la primera parte: podemos poner en correspondencia biunívoca a
con un subconjunto de
.
Según el resultado demostrado anteriormente tenemos que . Por ello si demostramos que
ya tendremos que
. Para ello vamos a suponer que tenemos una correspondencia cualquiera entre
y
y encontraremos un elemento de
que no se corresponde con ninguno de
, es decir, veremos que no hay correspondencias uno a uno entre esos dos conjuntos.
Cualquier correspondencia biunívoca entre y
es básicamente una numeración de los elementos de
, es decir, creamos una lista con los elementos de ese intervalo, digamos
, y asociamos cada número natural con uno de esos elementos. Cada uno de ellos será un cero seguido de un cierto número (finito o infinito) de decimales. Evitando repeticiones (ya sabemos que
y
son el mismo número) tendríamos algo así:
La clave es la siguiente: vamos a encontrar un elemento del intervalo que no corresponde con ningún número natural. Para ello tomamos
y nos quedamos con su primer decimal, al que sumamos 1 obteniendo
; tomamos ahora
y nos quedamos con su segundo decimal, sumándole también 1, obteniendo
; y así sucesivamente (si alguno de ellos es un 9 ponemos un cero). Ahora formamos el número
siguiente:
Para que se entienda mejor pongo el siguiente ejemplo:
Si tenemos las siguientes relaciones:
![]()
construiríamos
.
Es evidente que, construido así, y también es claro que
no corresponde con ningún número natural, ya que difiere con
en (al menos) el primer decimal, con
en (al menos) el segundo, con
en (al menos) el tercero…
Hemos encontrado entonces un elemento del intervalo que no corresponde con ningún número natural en cualquier correspondencia que podamos crear entre estos dos conjuntos. Por tanto
y, en consecuencia:
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
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Y por qué no lo explicarán así de clarito los libros… Muchas gracias a los dos!
hola, saludos!!!!!!!!!!!
ya casi al finalizar la demostración-
gracias por el artículo
un comentario…falta una «|» al enunciar el teorema y un parentesis para el intervalo de
Ya que hablamos de numerabilidad, os propongo el siguiente problema. Creo que es divertido.
1.- Probar que en plano podemos dibujar una cantidad no numerable de «ceros» disjuntos, entendiendo que un cero es una circunferencia.
2.- Probar que si cambiamos «ceros» por «ochos», tan solo podemos dibujar una cantidad numerable.
Si alguien necesita pistas, estaré encantado de proporcionárselas.
El artículo está muy bien, pero hay una cosa que no entiendo: ¿por qué el artículo se llama «La diagonalización de Cantor»?
El proceso que usa cantor para encontrar un número real en el intervalo que no esté relacionado con ningún número natural (si se prefiere que no tenga preimagen por la aplicación en cuestión, lo que implica que no puede ser sobreyectiva) es escribir los números en su orden de numeración ( o escribirlos en una tabla según el orden de sus imágenes por : ) y luego fijarse en la diagonal de esa tabla para construir un número real que es distinto de todos los listados en la tabla (en efecto difiere de en el k-ésimo decimal). El hecho de… Lee más »
Hola, creo que he encontrado una biyección entre un subconjunto de los números naturales y el intervalo [0,1], lo que demostraría que el cardinal de N es mayor o igual que el cardinal de R. Si me dicen dónde puedo publicar el resultado lo haré gustoso. No dudo que sea una falacia mi razonamiento pero me gustaría ver el error de mi argumentación. Un saludo
Si no conoces el proceso de publicacion, estas como yo.
Necesitas a “alguien“ que decida invertir su tiempo en tu trabajo, lo revise y luego si se te abririan ciertas puertas de publicaciones serias.
De resto solo te quedan cosas como este blog. Y tratar de llamar la atencion de alguien.
Estamos igual los dos, exactamente en la misma sitiación, sobre exactamente el mismo tema.
Si este mundo bo fuese una mierda, podriamos tener una dicusión provechisa al respecto.
PERO, hables con quien hables, registralo en el registro de la propiedad intelectualantes.
Fijate: yo puedo asignar una cantidad infinita de naturales únicos, a cada uno de los elementos de cada posible subconjunto con elementos infinitos de N.
De hecho si un natural se repite en uno de los subconjuntos infinitos, tiene una serie distinta de naturales.
Y tengo las formulas, puedes averiguar los que quieras, si la computadora soportase números tan grandes, o tuvieses tiempo…
Pero en cuanto dices de que va… dejan de escucharte.
Me parece muy interesante, si la publicas, por favor, dinos el lugar para poder leerla. Gracias
¡Muchas gracias Dani! Más claro imposible.
Tanháuser, hay una cosa que no entiendo de tu problema. Supongamos la primera parte, es decir, que se puede dibujar una cantidad de circumferencias no numerables en el plano. Bien, cada una de esas circumferencias tendrá un cierto area, que por supuesto dependerá de la circumferencia en cuestión, pero siempre será estrictamente positiva. Por lo tanto dentro de cada circumferencia podemos dibujar un «ocho». Al estar los ochos estrictamente contenidos en las circumferencias, tenemos dibujados en el plano una cantidad no numerable de ochos disjuntos, en contra de la segunda parte del problema… :S?
Creo recordar que el mismo argumento de diagonalización se usa para demostrar que no existe ninguna máquina de Turing que pueda decir si un programa se va a detener o no, no recuerdo bien pero me parece que se llama el problema de la parada.
Saludos
Alguien puede darme una biyeccion entre R y [0,1] ?
Coge todos los numeros que empecen por “0,…”.
Ahora separa sus decimales en dos partes. Las posiciones pares y las impares.
Ahora la parte entera del real la escribes en las partes impares, y la parte decimal del real en las impares.
No es exactamente una biyeccion, pero si demuestras que hau dos relaciones diferentes, entre dos conjuntos con cardinalidad infinita. Y las dos relaciones demuestran que uno tiene al mebos mas elementos que el otro, y viceversa. Puedesafirmar que tienen el mismo cardinal.
Respecto a la cuestión 1 de Tanhäuser (y guiado por el último comentario de Dani), claramente puede responderse tomando circunferencias concéntricas de radio irracional. La gracia estaría en ver si es posible elegir las circunferencias de modo que sus círculos no estén contenidos unos dentro de otros. Pero la respuesta es que no por lo siguiente: Supongamos una familia (indizada en un conjunto de índices genérico ) de circunferencias cuyos círculos sean disjuntos dos a dos en el plano: (>0), tales que (). Llamemos y veamos que este conjunto es contable (y por tanto también ). Como es numerable, podemos… Lee más »
Respecto a la pregunta que hace ds, yo ahora mismo no conozco ningún ejemplo explícito. Normalmente una biyección entre un intervalo abierto (como
) y otro cerrado o semicerrado (por ejemplo,
) se suele construir implícitamente siguiendo la demostración del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein.
Así que para dar una biyección entre
y
, basta considerar
, que es biyección entre
y
, y luego de
en
puedes fijar los irracionales y como los racionales de ambos conjuntos son numerables también los puedes asociar biunívocamente.
Muy buena, M. Por alguna razón había supuesto que se requería que los DISCOS fuesen disjuntos, no las circumferencias, en cuyo caso está tanto el problema que dices tú como el que plantee yo. Ahora quedaría por demostrar que de hecho no es posible hacerlo con ochos.
(es decir, demostrar que no podemos «encajar» ochos dentro de ochos dentro de ochos de forma no numerbale)
Supongamos que tenemos ochos encajados dentro de cada «circumferencia superior» del ocho inmediatamente anterior (supondremos que sólo se encajan en la circumferencia superior pues si también hubiese en la inferior doblaríamos el cardinal, lo que no afecta a la numerabilidad). si el conjunto de ochos es , reciclo la función de elección (y la idea, claro 🙂 ) de M para definir una función como donde es precisamente el círculo inferior de cada ocho. Como hemos supuesto que los ochos siguientes están encajados dentro de los círculos superiores de los ochos anteriores, tenemos que . Por lo tanto esta función… Lee más »
Casi, casi.
La idea es pensar que Q^4 es numerable.
Como muy bien habéis observado, la gracia está en la «estructura topológica» de un 8.
Dani tu último razonamiento no me parece del todo correcto, ya que por propia construcción parece que estás tomando una cantidad numerable de ochos (de hecho hablas de «ocho inmediatamente anterior»). Pero la idea de elegir un punto de cada «círculo inferior» se ajusta muy bien a lo que ha propuesto Tanhäuser. De hecho nos lo ha dejado servido ( 🙂 ) y basta coger un punto con coordenadas racionales de cada una de las dos componentes conexas de la región interior del ocho: Para cada figura con forma de ocho llamaremos a las dos componentes conexas de su región… Lee más »
M: voilà.
Felicidades 🙂
Perdonen mi ignorancia, pero siempre varias veces me he topado con los símbolos matemáticos y y quisiera saber qué significan. Creo que alguna vez oí (quizá incorrectamente) que se refieren al plano y al espacio euclídeo, respectivamente. Sé que R es el conjunto de los números reales, pero desconozco los símbolos anteriormente empleados. Tampoco sé qué es . Os agradecería si pudiérais aclararme tal cuestión. También tengo otra pregunta, quizá un tanto extraña. ¿Existe algún criterio o algoritmo para determinar si un enunciado matemático es demostrable o no? Es decir, ¿existe algún método que permita saber si (por ej.) la… Lee más »
M: ok, comprendido, y buena! ;). Nicolás: Dado un conjunto y otro se define su producto cartesiano como el conjunto de pares ordenados formados por un elemento de y otro de . Así pues el conjunto es el conjunto de pares ordenados de números reales, como el o el . Como podemos identificar cada punto del plano con un par ordenado de números mediante un sistema de coordenadas identificamos todo el plano con . Para el espacio es lo mismo pero con ternas ordenadas de números reales. El producto cartesiano se puede extender todo lo que quieras (para el infinito… Lee más »
Muchas gracias, Dani. ¡Ahora por fin lo entiendo!
No quiero incordiar, pero acabo de acordarme de que hay problemas con la demostración del teorema de Cantor, si el proceso diagonal se define tal como se ha hecho. ¿Si el proceso diagonal se aplicase a las series siguientes (que en realidad son la misma) obtenemos un número de (0,1)? 0’9 0’99 0’999 0’9999 0’99999 … 0’899999… 0’989999… 0’998999… 0’999899… 0’999989… … La sucesión siguiente tampoco define un número de (0,1): 0’8 0’88 0’888 0’8888 … Lo que es peor aún, la ley que asigna a cada serie un nuevo número «en » no está bien definida: las siguientes sucesiones… Lee más »
Sí. Efectivamente, yo también me di cuenta de eso pero decidí obviarlo porque es fácil de arreglar. Mi demostración original consideraba una aplicación , es decir, una numeración de las sucesiónes de ceros y unos, que se pueden identificar con los reales del mediante el sistema binario. Demostrando que no puede ser sobreyectiva obtenemos el resultado deseado. Con ceros y unos es más fácil de arreglar esa cuestión, y aun se podría refinar más dándose cuenta de que el conjuno de números reales que tiene más de una representación en binario es numerable (si es el conjuno de números que… Lee más »
Muchísimas gracias por el artículo, el autor se expresó con suma claridad y hasta una profana como yo en el universo matemático lo pilló 😉 Tengo una duda y me gustaría que alguien me echara un cable. Es sobre le teorema de la diagonal de Cantor, ¿alguien podría explicarme la demostracion de la diagonal y la contradiagonal construyendo una matriz con ceros y unos? Muchísimas gracias, es una pregunta de la asignatura de Lógica, Teoría de conjuntos que tengo en la carrera. Muchas gracias, espero impaciente que algún gentil matemático pueda darme una explicación «clara y distinta», como diría el… Lee más »
[…] uno de los principales culpables), provocando una auténtica revolución. También en esta época los trabajos de Cantor conmocionaban a los matemáticos del […]
necesito demostrar que dada una sucesión de 0 y1 es numerable o no . justificando
Gracias Silvia
[…] que el conjunto de los números reales no es numerable (es decir, que no se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números […]
Silvia, ¿Te refieres a si el conjunto de sucesiones cuyos elementos son todos iguales a 0 o a 1 es o no numerable? Si es así, la respuesta es no, e inmediata de justificar: Una sucesión de ceros y unos es la representación en base 2 de un número en el intervalo [0, 1]. No es una biyección por lo que ya se ha comentado, que una sucesión cuyos términos sean todos unos de uno en adelante, se corresponde con el mismo número que otra sucesión finita. Pero esta claro que el cardinal de las sucesiones de ceros y unos… Lee más »
[…] comentaba ayer, en Gaussianos ya publiqué una demostración de este hecho debida a Cantor. En esta entrada os muestro otra que me mandó Daniel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com . La […]
[…] tantos naturales como reales? Pues la respuesta es no, y lo demostró Cantor con su método diagonal. Esto nos lleva a admitir un hecho muy poco intuitivo: hay distintos tipos de infinitos. Los […]
[…] extraño es el infinito El mALEPHicio del infinito La diagonalización de Cantor Ted Kaczynski, Unabomber: el matemático […]
Yo no entiendo cómo se demostró el lema de que la cardinalidad del conjunto de los números reales es igual al cardinal del conjunto de los números reales en (0,1). La imagen de f(x)=tg(x) evaluada en -pi/2 y pi/2 no está definida! ¿O estoy entendiendo mal?
Es fácil si usas un método más intuitivo: Todos los números en {0,1} comienzan por «0,…» ok?. Obviemos el 0 y el 1… pero el 0 puede ser 0,00000 y el 1 puede ser 0,999999… Coge las posiciones decimales pares, y las impares: En las posiciones pares, escribiremos la parte entera del real, y en las impares, la parte decimal del real. EJ: 349,67895 -> 0,6374899050 Rellenas con ceros si hay mas dígitos enteros que decimales o viceversa. En ese ejemplo el último cero sobra, pero para que fuese distinto de cero, la parte entera debería tener 5 dígitos, y… Lee más »
Puedes «emparejar» todos los números del intervalo [0,1] con todos los números del mismo [0,1] o con otro intervalo que tenga la misma longitud. Pero emparejar todo el conjunto de los números reales con el intervalo [0,1] es otra cosa, muy pero muy discutible.
Si alguien quiere emparejar los números que están en el intervalo [0,1] con todos los números reales, repito, puede hacer una biyección entre los elementos de [0,1] y los elementos del mismo [0,1]. Pero ¿Dónde caben en esa biyección el resto de números reales, es decir los que están fuera de [0,1] ?. ¡Muy discutible!.
Claro Xavier, pero ten en cuenta que el intervalo se toma abierto, no se calculan esas imágenes.
Gracias es la mejor explicaciòn que he encontrado.
[…] ser uno de los pioneros de la teoría de conjuntos moderna, y por demostrar, mediante su conocido método diagonal, que el conjunto de los números naturales, , y el de los números reales, , no tienen la misma […]
Gracias…
Según creo entender: no es el diferencial de densidad definido entre los elementos de la recta de números reales y los elementos de la recta de números naturales, lo que impide que el número real (x de Cantor) construido por (f(x) de Cantor – construido en base a la modificación de los dígitos de la diagonal) sea contenido en la lista de Cantor. Su razón, se limita tan solo a su construcción (f(x)). Misma que le excluye de cualquier lista (finita o infinita).
…
Personalmente, esta demostración no me gusta demasiado. La no numerabilidad de
, no depende de que cada número real puede expresarse como decimial infinito (hecho que no se deduce inmediatamente de los axiomas) ni si quiera de sus propiedades algebraicas, tan sólo depende de las propiedades de orden.
Esta demostración me parece adecuada para probar que
no es numerable, pero no para probar la no numerabilidad de los reales.
Pondría en duda eso, puedo demostrarte con un argumento parecido a la diagonalización, que ese conjunto {0,1} elevado a w (el infinito de primer orden) es numerable. Incluso conjuntos aparentemente más «complejos/grandes». Lo malo de la conclusión es que sólo sirve para demostrar que la enumeración es posible, ya que estás obligado a escoger un «tipo» en concreto de construcción, dejando una cantidad brutal de naturales fuera. Es como decir, SE que es una de ellas, pq DEBE estar dentro de esas opciones… pero no se decirte cual, pero una vez escojas una, las demás se quedan por fuera. Si… Lee más »
Esta demostración es linda para la divulgación. Hay otra demostración que también me gusto mucho y, personalmente la prefiero aunque tiene sus similitudes con esta. Se supone que IR es numerable y se tiene alguna numeración del intervalo [0,1] f:IN –> [0,1] Se parte el intervalo [0,1] en tres intervalos iguales, y en alguno de estos tres se ha de no tener a f(1). Se elije ese intervalo y se lo llama I1. Luego, se parte I1 en tres intervalos y alguno de esos tres ha de no tener a f(2), se llama a este intervalo I2. Inductivamente se parte… Lee más »
[…] @gaussianos nos ha recordado un artículo sobre la diagonalización de Cantor. […]
ds: Una biyección de R en (0,1) es la que ha dado M; f(x)= 1/2+1/Pi arctag(x); otra puede ser g(x)= 1/2(1+th(x))=e^(2x)/(1+e^(2x)). La función h(x)=0, si x=1/2; 1/n-2 , si x=1/n, n natural mayor estrictamente que 2; x si x es distinto de 1/n , n natural mayor estrictamente que 1. Es una biyección de (0,1) en [0,1] . Las compuestas hof ó hog, son biyecciones de R en [0,1]. Una biyección de (0,1) en [0,1), es F(x)= 0 si x=1/2; 1/n-1 si x=1/n n natural mayor estrictamente que 2; x, si x es distinto de 1/n n natural mayor estrictamente… Lee más »
Es válida esta aplicación entre los N y el intervalo {0,1] de los números R?
N —-R N—-R N——R ……..
0 0 10 0.9 100 0.99
1 1 11 0.01 101 0.001
2 0. 1 12 0.11 . .
.
9 0.8 99 0.98 .
Disculpa pero al enviar mi comentario no han quedado bien los números y no sé corregir una vez publicado. Me gustan las matemáticas y la ciencia en general y esta es una curiosidad que tengo sobre este tema Lo que quería decir es que si se puede establecer una aplicación biyectiva entre los naturales y el intervalo cerrado [0,1] de tal forma que se le resta una unidad al número natural y se invierte el numero resultante, definiendo la imagen del 0 en el 0 y la imagen del 1 en el 1 y el resto de los números como… Lee más »
Fucking bitch!! Yo tenia otra.. a mi me da que o falta algo en la definicion.. o ni tu ni yo vemos «algo». De hecho todo inifinito tiene el mismo cardinal que otro infinito. Pues todo conjunto imaginable por el hombre esta formado por una serie de dimensiones o particiones numerables de forma recursiva. Pero tu solución es jodidamente simple :D. Lo que despista aqui es que dos infinitos se pueden realcionar de muchas formas con el truco de «dejar cosas fuera para luego». pero no son la unica forma… cantor solo define una posible relacion con los naturales, y… Lee más »
Gracias por la explicacion, hacia rato que queria entender como se demostraba.
Pero esa demostración se puede rebatir creo: Cambia los naturales, por los pares solo…. ahora te quedan libres todos los impares. Luego fijate qeu hay muchas opciones no solo sumarle uno, pero en definitiva son solo 9 por digito… de forma qeu se pueden definir dos conjuntos. 1 La lista de numeros reales. 2 Los numeros que «podriamos crear con la diagonilazion», cuya estructura de creacion no es mas que la de los numeros naturales (10 posibilidades por digito). como los pares tienen el mismo cardinal que los naturales, y los impares tambien, acabo de cubrir los dos conjuntos solo… Lee más »
¿Será posible, verificar la correspondencia biunívoca, existente entre los números reales y (0, 1) de (R), empleando el método del Argumento de la diagonal de Cantor? {Siendo, aún más significativo, poder verificarla entre: (0, 1) de (R) y (0, 1) de (R)}
¿Será posible, verificar la correspondencia biunívoca, existente entre los números reales y (0, 1) de (R), empleando el método del Argumento de la diagonal de Cantor? {Siendo, aún más significativo, poder verificarla entre: (0, 1) de (R) y (0, 1) de (R)} Del mismo modo, en que Cantor no detalla (FC(x)) – que en principio definiría como una función biyectiva entre los conjuntos de Lista(C) {f: (N→R)}, misma que, posteriormente declarara inexistente –; no detallare (FG(x)) – que en principio, definiría una función biyectiva entre los conjuntos de Lista(R) {f: (R→(0, 1) de R)}–. Y, si os pones muy quisquillosos,… Lee más »
MUY BUENA DEMOSTRACION,
No sé, me queda una gran duda cuando plantean una biyección entre el intervalo (0 , 1) y todo el conjunto R de los números reales. Si se intenta la relación biyectiva entre (0, 1) y el mismo (0,1) de R, ésta es posible porque al ser iguales, tienen la misma cantidad de elementos. ¿ Pero dónde caben en esa biyección el resto de elementos de R ?. Ya sé que me dirán que la definición de un conjunto infinito dada por Cantor es tal y cual. Pero a mi me quedan muchas dudas. Me quedo, para siempre, con la… Lee más »
[…] con esto, Murphy (2006) trató de demostrar, en base al argumento de la diagonalización de Cantor (aquí la explicación más sencilla que he encontrado, no creo que pueda explicarlo mejor) que no sólo […]