La diagonalización de Cantor

Este artículo está basado en una colaboración enviada por Daniel. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos puedes enviar tus propuestas a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

En las últimas semanas habéis podido leer en Gaussianos un par de artículos relacionados con los conjuntos infinitos y sus peculiaridades. A saber, Qué extraño es el infinito y El mALEPHicio del infinito. En este último se alude a la demostración de Cantor de la imposibilidad de poner en correspondencia biunívoca el conjuntos de los naturales, \mathbb{N}, con el conjunto de los reales, \mathbb{R}. En este artículo vamos a desgranar dicha demostración.

La demostración de Cantor

Como hemos dicho antes, en El mALEPHicio del infinito vimos cómo poder en correspondencia uno a uno el conjunto de los naturales positivos con el conjunto de los enteros distintos de cero y con los racionales positivos (y por extensión con los racionales). Y comentamos que no podemos hacer lo mismo con los reales. Para demostrar este hecho comenzamos con un resultado previo:

Lema:

El cardinal del intervalo (0,1) es el mismo que el cardinal de \mathbb{R}.

Demostración:

La idea de la demostración es encontrar una función que pongan en correspondencia uno a uno el intervalo (0,1) con \mathbb{R}. Este tipo de funciones se llaman biyectivas.

La función que buscamos es composición de dos:

  • La primera es la función f(x)=\pi (x-\textstyle{\frac{1}{2}}), que establece una biyección entre el intervalo (0,1) y el intervalo (\textstyle{\frac{-\pi}{2}},\textstyle{\frac{\pi}{2}}). Es bien sencillo demostrar que esta función es biyectiva, es decir, que pone en correspondencia uno a uno a esos dos intervalo.
  • La segunda es f(x)=tg(x). Esta función es una biyección entre el intervalo (\textstyle{\frac{-\pi}{2}},\textstyle{\frac{\pi}{2}}) y \mathbb{R}, es decir, pone en correspondencia biunívoca ese intervalo con el conjunto de los números reales.

Realizando la composición de las dos obtenemos una biyección entre el intervalo (0,1) y \mathbb{R}. Por tanto ambos conjuntos tienen el mismo cardinal.
\Box

La idea ahora es demostrar que el infinito de los números reales es mayor que el de los naturales. Para ello veremos que el cardinal de estos últimos es menor que el de los primeros. Pero antes vamos a dar una definición sobre esto que nos va a echar una mano:

  • Dados dos conjuntos, A,B, decimos que el cardinal de A es menor que el cardinal de B, |A| < |B| (|A| representa el cardinal de A), si podemos poner en correspondencia biunívoca el conjunto A con un subconjunto de B y no podemos hacer lo mismo entre A y B.

INCISO:

Es interesante recalcar que no basta con que A pueda ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto de B para decir que |A| < |B|. La segunda condición es obligatoria para que la definición tenga sentido. Un ejemplo claro de esto es la relación entre los números pares y todos los números naturales: los números pares pueden ponerse en correspondencia biunívoca con un subconjunto de los naturales (de hecho con varios: los propios números pares, los impares,…), pero sabemos ya que los números pares también pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los propios números naturales, por lo que el cardinal de los pares es el mismo que el de los naturales.

Recordando que dijimos que un conjunto infinito es numerable si puede ponerse en correspondencia biunívoca con los naturales, presentamos el enunciado del teorema de Cantor:

Teorema: (de Cantor):

El conjunto de los números reales, \mathbb{R}, no es numerable, es decir, |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|.

Demostración

La idea es utilizar la definición anterior. Por ello lo primero que debemos hacer es encontrar un subconjunto de \mathbb{R} que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con \mathbb{N}. Ese subconjunto va a ser el propio \mathbb{N}, que como sabemos es un subconjunto de los reales. Ya tenemos entonces la primera parte: podemos poner en correspondencia biunívoca a \mathbb{N} con un subconjunto de \mathbb{R}.

Según el resultado demostrado anteriormente tenemos que |(0,1)|=|\mathbb{R}|. Por ello si demostramos que |\mathbb{N}| < |(0,1)| ya tendremos que |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|. Para ello vamos a suponer que tenemos una correspondencia cualquiera entre \mathbb{N} y (0,1) y encontraremos un elemento de (0,1) que no se corresponde con ninguno de \mathbb{N}, es decir, veremos que no hay correspondencias uno a uno entre esos dos conjuntos.

Cualquier correspondencia biunívoca entre \mathbb{N} y (0,1) es básicamente una numeración de los elementos de (0,1), es decir, creamos una lista con los elementos de ese intervalo, digamos a_1,a_2, \ldots, a_n, \ldots, y asociamos cada número natural con uno de esos elementos. Cada uno de ellos será un cero seguido de un cierto número (finito o infinito) de decimales. Evitando repeticiones (ya sabemos que 0,2999 \ldots y 0,3 son el mismo número) tendríamos algo así:

\left \{ \begin{matrix} 1 \rightarrow a_1= 0,a_1^1\,a_1^2\,a_1^3 \ldots \\ 2 \rightarrow a_2= 0,a_2^1\,a_2^2\,a_2^3 \ldots \\ 3 \rightarrow a_3= 0,a_3^1\,a_3^2\,a_3^3 \ldots \\ 4 \rightarrow a_4= 0,a_4^1\,a_4^2\,a_4^3 \ldots \\ 5 \rightarrow a_5= 0,a_5^1\,a_5^2\,a_5^3 \ldots \\ \vdots \end{matrix} \right.

La clave es la siguiente: vamos a encontrar un elemento del intervalo (0,1) que no corresponde con ningún número natural. Para ello tomamos a_1 y nos quedamos con su primer decimal, al que sumamos 1 obteniendo b_1=a_1^1+1; tomamos ahora a_2 y nos quedamos con su segundo decimal, sumándole también 1, obteniendo b_2=a_2^2+1; y así sucesivamente (si alguno de ellos es un 9 ponemos un cero). Ahora formamos el número b siguiente:

b=0,b_1 b_2 b_3 \ldots

Para que se entienda mejor pongo el siguiente ejemplo:

Si tenemos las siguientes relaciones:

\left \{ \begin{matrix} 1 \rightarrow 0,\mathbf{3} 240069 \ldots \\ 2 \rightarrow 0,1 \mathbf{4}29871 \ldots \\ 3 \rightarrow 0,77 \mathbf{9} 2851 \ldots \\ 4 \rightarrow 0,198 \mathbf{2} 555 \ldots \\ 5 \rightarrow 0,3175 \mathbf{4} 03 \ldots \\ \vdots \end{matrix} \right.

construiríamos b=0,45035 \ldots.

Es evidente que, construido así, b \in (0,1) y también es claro que b no corresponde con ningún número natural, ya que difiere con a_1 en (al menos) el primer decimal, con a_2 en (al menos) el segundo, con a_3 en (al menos) el tercero…

Hemos encontrado entonces un elemento del intervalo (0,1) que no corresponde con ningún número natural en cualquier correspondencia que podamos crear entre estos dos conjuntos. Por tanto |\mathbb{N}| < |(0,1)| y, en consecuencia:

|\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|

\Box

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

46 Comentarios

  1. Y por qué no lo explicarán así de clarito los libros… Muchas gracias a los dos!

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  2. hola, saludos!!!!!!!!!!!
    gracias por el artículo
    un comentario…falta una “|” al enunciar el teorema y un parentesis para el intervalo de b ya casi al finalizar la demostración-

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  3. Ya que hablamos de numerabilidad, os propongo el siguiente problema. Creo que es divertido.

    1.- Probar que en plano podemos dibujar una cantidad no numerable de “ceros” disjuntos, entendiendo que un cero es una circunferencia.
    2.- Probar que si cambiamos “ceros” por “ochos”, tan solo podemos dibujar una cantidad numerable.

    Si alguien necesita pistas, estaré encantado de proporcionárselas.

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  4. El artículo está muy bien, pero hay una cosa que no entiendo: ¿por qué el artículo se llama “La diagonalización de Cantor”?

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  5. El proceso que usa cantor para encontrar un número real en el intervalo (0,1) que no esté relacionado con ningún número natural (si se prefiere que no tenga preimagen por la aplicación f:\mathbb{N} \rightarrow (0,1) en cuestión, lo que implica que f no puede ser sobreyectiva) es escribir los números en su orden de numeración ( o escribirlos en una tabla según el orden de sus imágenes por f :
    f(1)
    f(2)
    f(3) \ldots ) y luego fijarse en la diagonal de esa tabla para construir un número real que es distinto de todos los listados en la tabla (en efecto difiere de f(k) en el k-ésimo decimal). El hecho de fijarse en la diagonal da nombre al proceso usado en la demostración, que se conoce como la “diagonalización de cantor”.

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    • Hola, creo que he encontrado una biyección entre un subconjunto de los números naturales y el intervalo [0,1], lo que demostraría que el cardinal de N es mayor o igual que el cardinal de R. Si me dicen dónde puedo publicar el resultado lo haré gustoso. No dudo que sea una falacia mi razonamiento pero me gustaría ver el error de mi argumentación. Un saludo

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      • Si no conoces el proceso de publicacion, estas como yo.

        Necesitas a “alguien“ que decida invertir su tiempo en tu trabajo, lo revise y luego si se te abririan ciertas puertas de publicaciones serias.

        De resto solo te quedan cosas como este blog. Y tratar de llamar la atencion de alguien.

        Estamos igual los dos, exactamente en la misma sitiación, sobre exactamente el mismo tema.

        Si este mundo bo fuese una mierda, podriamos tener una dicusión provechisa al respecto.

        PERO, hables con quien hables, registralo en el registro de la propiedad intelectualantes.

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      • Fijate: yo puedo asignar una cantidad infinita de naturales únicos, a cada uno de los elementos de cada posible subconjunto con elementos infinitos de N.

        De hecho si un natural se repite en uno de los subconjuntos infinitos, tiene una serie distinta de naturales.

        Y tengo las formulas, puedes averiguar los que quieras, si la computadora soportase números tan grandes, o tuvieses tiempo…

        Pero en cuanto dices de que va… dejan de escucharte.

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  6. Tanháuser, hay una cosa que no entiendo de tu problema. Supongamos la primera parte, es decir, que se puede dibujar una cantidad de circumferencias no numerables en el plano. Bien, cada una de esas circumferencias tendrá un cierto area, que por supuesto dependerá de la circumferencia en cuestión, pero siempre será estrictamente positiva. Por lo tanto dentro de cada circumferencia podemos dibujar un “ocho”. Al estar los ochos estrictamente contenidos en las circumferencias, tenemos dibujados en el plano una cantidad no numerable de ochos disjuntos, en contra de la segunda parte del problema… :S?

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  7. Creo recordar que el mismo argumento de diagonalización se usa para demostrar que no existe ninguna máquina de Turing que pueda decir si un programa se va a detener o no, no recuerdo bien pero me parece que se llama el problema de la parada.

    Saludos

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    • Coge todos los numeros que empecen por “0,…”.

      Ahora separa sus decimales en dos partes. Las posiciones pares y las impares.

      Ahora la parte entera del real la escribes en las partes impares, y la parte decimal del real en las impares.

      No es exactamente una biyeccion, pero si demuestras que hau dos relaciones diferentes, entre dos conjuntos con cardinalidad infinita. Y las dos relaciones demuestran que uno tiene al mebos mas elementos que el otro, y viceversa. Puedesafirmar que tienen el mismo cardinal.

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  8. Respecto a la cuestión 1 de Tanhäuser (y guiado por el último comentario de Dani), claramente puede responderse tomando circunferencias concéntricas de radio irracional. La gracia estaría en ver si es posible elegir las circunferencias de modo que sus círculos no estén contenidos unos dentro de otros. Pero la respuesta es que no por lo siguiente:

    Supongamos una familia \mathcal{C}=\{C_i/i\in I\} (indizada en un conjunto de índices genérico I) de circunferencias cuyos círculos sean disjuntos dos a dos en el plano: C_i=C(a_i,r_i)=\{x\in\mathbb{R}^2/|x-a_i|= r_i\} (r_i>0), tales que B_i\cap B_j=\emptyset,\;\forall i\neq j (B_i=D(a_i,r_i)=\{x\in\mathbb{R}^2/|x-a_i|\leq r_i\}). Llamemos \mathcal{B}=\{B_i/i\in I\} y veamos que este conjunto es contable (y por tanto también \mathcal{C}).

    Como \mathbb{Q}^2 es numerable, podemos tomar una función de elección \varphi:\; \mathcal{P}(\mathbb{Q}^2)\setminus \{\emptyset\}\to \mathbb{Q}^2 tal que \varphi(A)\in A, \forall  A\subset \mathbb{Q}^2, A\neq \emptyset (en otras palabras, de cada subconjunto no vacío de \mathbb{Q}^2 podemos extraer un elemento). Parecería aquí que estamos usando el axioma de elección, pero no es así ya que todo conjunto numerable admite una función de elección (por ejemplo, a cada subconjunto le asocias su elemento mínimo de acuerdo al orden que hereda el conjunto de su biyección con los naturales).

    Con esto definimos la función \eta: \;\mathcal{B}\to \mathbb{Q}^2, como \eta(B_i):=\varphi(B_i\cap\mathbb{Q}^2) (está bien definida pues los discos tienen radio positivo). Esta función es inyectiva, y por tanto |\mathcal{B}|\leq \aleph_0.

    Para ver que \eta es inyectiva, hay que tener en cuenta que si \eta(B_i)=\eta(B_j) entonces \varphi(B_i\cap\mathbb{Q}^2)=\varphi(B_j\cap\mathbb{Q}^2)\in B_i\cap B_j\cap \mathbb{Q}^2\subset B_i\cap B_j. Pero, al ser los discos disjuntos, debe ser que B_i=B_j.

    En consecuencia las respuestas a la cuestión 1 pasan por considerar circunferencias en las que “la mayoría estén metidas dentro de otras”.

    Con esto, ahora no necesariamente tiene porqué poder dibujarse un ocho dentro de una de esas circunferencias, pues por ejemplo si tomamos circunferencias concéntricas con sus radios cubriendo los irracionales de un intervalo dado ya no habría esa posibilidad.

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  9. Respecto a la pregunta que hace ds, yo ahora mismo no conozco ningún ejemplo explícito. Normalmente una biyección entre un intervalo abierto (como (0,1)) y otro cerrado o semicerrado (por ejemplo, [0,1]) se suele construir implícitamente siguiendo la demostración del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein.

    Así que para dar una biyección entre \mathbb{R} y [0,1], basta considerar f(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}arctg(x), que es biyección entre \mathbb{R} y (0,1), y luego de (0,1) en [0,1] puedes fijar los irracionales y como los racionales de ambos conjuntos son numerables también los puedes asociar biunívocamente.

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  10. Muy buena, M. Por alguna razón había supuesto que se requería que los DISCOS fuesen disjuntos, no las circumferencias, en cuyo caso está tanto el problema que dices tú como el que plantee yo. Ahora quedaría por demostrar que de hecho no es posible hacerlo con ochos.

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  11. (es decir, demostrar que no podemos “encajar” ochos dentro de ochos dentro de ochos de forma no numerbale)

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  12. Supongamos que tenemos ochos encajados dentro de cada “circumferencia superior” del ocho inmediatamente anterior (supondremos que sólo se encajan en la circumferencia superior pues si también hubiese en la inferior doblaríamos el cardinal, lo que no afecta a la numerabilidad). si el conjunto de ochos es A=\{ O_i \ i \in I \}, reciclo la función de elección (y la idea, claro 🙂 ) de M para definir una función \Omega: A \rightarrow \mathbb{Q}^2 como \Omega(B_i)=\varphi(B_i^* \cap \mathbb{Q}^2) donde B_i^* es precisamente el círculo inferior de cada ocho. Como hemos supuesto que los ochos siguientes están encajados dentro de los círculos superiores de los ochos anteriores, tenemos que B_i^* \cap B_j^* = \emptyset \quad \forall i,j \,: \, i \neq j. Por lo tanto esta función es inyectiva y en consecuencia |B| \leq |\mathbb{Q}^2|= \aleph_0. Si de hecho hubiese ochos también encajados en los círuclos inferiores de cada ocho repetimos el argumento sólo para esos y concluiríamos que también son numerables, y por tanto que su unión también lo es.

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  13. Casi, casi.
    La idea es pensar que Q^4 es numerable.
    Como muy bien habéis observado, la gracia está en la “estructura topológica” de un 8.

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  14. Dani tu último razonamiento no me parece del todo correcto, ya que por propia construcción parece que estás tomando una cantidad numerable de ochos (de hecho hablas de “ocho inmediatamente anterior”). Pero la idea de elegir un punto de cada “círculo inferior” se ajusta muy bien a lo que ha propuesto Tanhäuser. De hecho nos lo ha dejado servido ( 🙂 ) y basta coger un punto con coordenadas racionales de cada una de las dos componentes conexas de la región interior del ocho:

    Para cada figura O con forma de ocho llamaremos O^1, O^2 a las dos componentes conexas de su región interior.

    Tomemos una familia arbitraria de “ochos rellenos” (lemniscatas incluyendo su región interior) \Omega=\{O_i/i\in I\} de tal modo que las fronteras de dos ochos dados no se intersequen. Entonces, o bien los ochos son disjuntos (O_i\cap O_j=\emptyset), o bien uno de ellos está contenido en una de las componentes conexas del interior del otro ocho (O_i\subset O_j^\alpha, para algún \alpha=1,2; o bien cambiando el índice i por el j).

    Volvemos a tomar una función de elección \varphi:\; \mathcal{P}(\mathbb{Q}^4)\to \mathbb{Q}^4, y ahora definimos la función \eta: \;\Omega\to \mathbb{Q}^4 definida como \eta(O_i)=\varphi((O_i^1\cap \mathbb{Q}^2)\times(O_i^2\cap \mathbb{Q}^2)). Esta función es inyectiva.

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  15. Perdonen mi ignorancia, pero siempre varias veces me he topado con los símbolos matemáticos R^2 y R^3 y quisiera saber qué significan. Creo que alguna vez oí (quizá incorrectamente) que se refieren al plano y al espacio euclídeo, respectivamente. Sé que R es el conjunto de los números reales, pero desconozco los símbolos anteriormente empleados. Tampoco sé qué es Q^4. Os agradecería si pudiérais aclararme tal cuestión.
    También tengo otra pregunta, quizá un tanto extraña. ¿Existe algún criterio o algoritmo para determinar si un enunciado matemático es demostrable o no? Es decir, ¿existe algún método que permita saber si (por ej.) la Conjetura de Goldbach pueda ser demostrada o no (que no sea por supuesto demostrarla)? Desde ya muchas gracias.

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  16. M: ok, comprendido, y buena! ;).
    Nicolás: Dado un conjunto A y otro B se define su producto cartesiano como el conjunto A \times B=\{(a,b) : \quad a \in A, \, \, b \in B\} de pares ordenados formados por un elemento de A y otro de B. Así pues el conjunto \mathbb{R}^2=\mathbb{R} \times \mathbb{R} es el conjunto de pares ordenados de números reales, como el (1,2) , \, (0, \pi), o el (-234, 234.3). Como podemos identificar cada punto del plano con un par ordenado de números mediante un sistema de coordenadas identificamos todo el plano con \mathbb{R}^2. Para el espacio es lo mismo pero con ternas ordenadas de números reales. El producto cartesiano se puede extender todo lo que quieras (para el infinito se necesita el Axioma de Elección, pero ese es otro asunto). Así pues \mathbb{Q}^4 es el conjunto de 4-uplas de números racionales, es decir el conjunto de elementos de la forma (a,b,c,d) donde a,b,c,d son todos racionales.
    Por otra parte estás hablando del problema de la parada, asunto muy turbio en el que indagó mucho Turing. No se puede 😉

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  17. No quiero incordiar, pero acabo de acordarme de que hay problemas con la demostración del teorema de Cantor, si el proceso diagonal se define tal como se ha hecho. ¿Si el proceso diagonal se aplicase a las series siguientes (que en realidad son la misma) obtenemos un número de (0,1)?

    0’9
    0’99
    0’999
    0’9999
    0’99999

    0’899999…
    0’989999…
    0’998999…
    0’999899…
    0’999989…

    La sucesión siguiente tampoco define un número de (0,1):

    0’8
    0’88
    0’888
    0’8888

    Lo que es peor aún, la ley que asigna a cada serie un nuevo número “en (0,1)” no está bien definida: las siguientes sucesiones son iguales y no tienen asignados el mismo número.

    0’1
    0’01
    0’001
    0’0001
    0’00001

    0’09999999…
    0’00999999…
    0’00099999…
    0’00009999…
    0’00000999…

    ¿Cómo arreglamos esto? Aunque en el post se ha dicho que se descarta la repetición infinita de 9’s, vemos que las sucesiones 1) y 3) definen por el método diagonal al 0 y al 1, respectivamente. El problema de fondo es que la representación decimal de los números decimales finitos no es única, y para evitar estos problemas es mejor considerar únicamente expresiones decimales infinitas (con 9’s repetidos). Luego para evitar los problemas es mejor definir b_i como un número distinto de a_i^i, 0 y 9 (en lugar de tomar b_i=a_i^i+1, o b_i=0, si a_i^i=9) para evitar obtener un decimal diagonal finito.

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  18. Sí. Efectivamente, yo también me di cuenta de eso pero decidí obviarlo porque es fácil de arreglar. Mi demostración original consideraba una aplicación f:\mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}^{\mathbb{N}}, es decir, una numeración de las sucesiónes de ceros y unos, que se pueden identificar con los reales del [0,1] mediante el sistema binario. Demostrando que no puede ser sobreyectiva obtenemos el resultado deseado. Con ceros y unos es más fácil de arreglar esa cuestión, y aun se podría refinar más dándose cuenta de que el conjuno de números reales que tiene más de una representación en binario es numerable (si A_n es el conjuno de números que tiene un uno en la posición n-1 y todo “ceros” a partir de la n-ésima posición -igual al que tiene un 0 en la n-1 y todo unos a partir de la n-ésima) vemos que el conjunto de números que tienen más de una representación es A=\cup_{n \in \mathbb{N}}A_n, unión numerable de finitos, con lo que podemos ignorar estos casos 🙂 )

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  19. Muchísimas gracias por el artículo, el autor se expresó con suma claridad y hasta una profana como yo en el universo matemático lo pilló 😉

    Tengo una duda y me gustaría que alguien me echara un cable. Es sobre le teorema de la diagonal de Cantor, ¿alguien podría explicarme la demostracion de la diagonal y la contradiagonal construyendo una matriz con ceros y unos?

    Muchísimas gracias, es una pregunta de la asignatura de Lógica, Teoría de conjuntos que tengo en la carrera.

    Muchas gracias, espero impaciente que algún gentil matemático pueda darme una explicación “clara y distinta”, como diría el colega Descartes.

    ¡Un saludo!

    y enhorabuena por la página, es muy interesante ;D

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  20. necesito demostrar que dada una sucesión de 0 y1 es numerable o no . justificando
    Gracias Silvia

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  21. Silvia, ¿Te refieres a si el conjunto de sucesiones cuyos elementos son todos iguales a 0 o a 1 es o no numerable?

    Si es así, la respuesta es no, e inmediata de justificar:

    Una sucesión de ceros y unos es la representación en base 2 de un número en el intervalo [0, 1]. No es una biyección por lo que ya se ha comentado, que una sucesión cuyos términos sean todos unos de uno en adelante, se corresponde con el mismo número que otra sucesión finita. Pero esta claro que el cardinal de las sucesiones de ceros y unos es mayor o igual que el de los números reales en [0, 1], y por tanto, ese conjunto no es numerable.

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  22. Yo no entiendo cómo se demostró el lema de que la cardinalidad del conjunto de los números reales es igual al cardinal del conjunto de los números reales en (0,1). La imagen de f(x)=tg(x) evaluada en -pi/2 y pi/2 no está definida! ¿O estoy entendiendo mal?

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    • Es fácil si usas un método más intuitivo:

      Todos los números en {0,1} comienzan por “0,…” ok?. Obviemos el 0 y el 1… pero el 0 puede ser 0,00000 y el 1 puede ser 0,999999…

      Coge las posiciones decimales pares, y las impares:

      En las posiciones pares, escribiremos la parte entera del real, y en las impares, la parte decimal del real.

      EJ:

      349,67895 -> 0,6374899050

      Rellenas con ceros si hay mas dígitos enteros que decimales o viceversa. En ese ejemplo el último cero sobra, pero para que fuese distinto de cero, la parte entera debería tener 5 dígitos, y obtendríamos un decimal entre [0,1] diferente.

      Es una forma muy sencilla de ver como emparejar números en [0,1] con todos los R que se te ocurran, y que no se repitan.

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  23. Según creo entender: no es el diferencial de densidad definido entre los elementos de la recta de números reales y los elementos de la recta de números naturales, lo que impide que el número real (x de Cantor) construido por (f(x) de Cantor – construido en base a la modificación de los dígitos de la diagonal) sea contenido en la lista de Cantor. Su razón, se limita tan solo a su construcción (f(x)). Misma que le excluye de cualquier lista (finita o infinita).

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  24. Personalmente, esta demostración no me gusta demasiado. La no numerabilidad de \mathbb{R}, no depende de que cada número real puede expresarse como decimial infinito (hecho que no se deduce inmediatamente de los axiomas) ni si quiera de sus propiedades algebraicas, tan sólo depende de las propiedades de orden.

    Esta demostración me parece adecuada para probar que \{0,1\}\times\{0,1\}\times\cdots no es numerable, pero no para probar la no numerabilidad de los reales.

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    • Pondría en duda eso, puedo demostrarte con un argumento parecido a la diagonalización, que ese conjunto {0,1} elevado a w (el infinito de primer orden) es numerable. Incluso conjuntos aparentemente más “complejos/grandes”.

      Lo malo de la conclusión es que sólo sirve para demostrar que la enumeración es posible, ya que estás obligado a escoger un “tipo” en concreto de construcción, dejando una cantidad brutal de naturales fuera.

      Es como decir, SE que es una de ellas, pq DEBE estar dentro de esas opciones… pero no se decirte cual, pero una vez escojas una, las demás se quedan por fuera. Si no escoges ninguna, también convierte al conjunto en enumerable.

      El conjunto de todas las posibles construcciones, la “unión de todas las posibles enumeraciones” es enumerable. La intersección entre todas las construcciones es vacía. Y encima, una vez obtienes la conclusión, ni siquiera has alcanzado todo el potencial “semántico” de N.

      Hay “conjuntos” más “grandes” que N elevado a k, o la unión de todos los N elevados a todos los k posibles, siendo k perteneciente a N. Hay conjuntos “más grandes que ese” que son enumerables.

      Por eso hablo de semántica… pq todos tienen el mismo cardinal, pero al cambiar su configuración y distribución… les podemos deducir “nuevos significados” que antes permanecían ocultos.

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  25. Esta demostración es linda para la divulgación.
    Hay otra demostración que también me gusto mucho y, personalmente la prefiero aunque tiene sus similitudes con esta.
    Se supone que IR es numerable y se tiene alguna numeración del intervalo [0,1]
    f:IN –> [0,1]
    Se parte el intervalo [0,1] en tres intervalos iguales, y en alguno de estos tres se ha de no tener a f(1).
    Se elije ese intervalo y se lo llama I1.
    Luego, se parte I1 en tres intervalos y alguno de esos tres ha de no tener a f(2), se llama a este intervalo I2.
    Inductivamente se parte In en tres intervalos y alguno de estos ha de no tener a f(n+1)
    Así formamos una sucesión de intervalos cerrados encajados tal que .. In+1 ⊂ In ⊂ In-1 ⊂ … ⊂ I1, y por el principio de intervalos encajados ha de existir un elemento de IR en la intersección de estos (en particular, un subconjunto de [0,1] por ser intersecciones).
    Lo cual lleva a una contradicción porque construimos tales intervalos de forma tal que ningún f(n) pertenezca a su intersección.

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  26. ds: Una biyección de R en (0,1) es la que ha dado M; f(x)= 1/2+1/Pi arctag(x); otra puede ser g(x)= 1/2(1+th(x))=e^(2x)/(1+e^(2x)).
    La función h(x)=0, si x=1/2; 1/n-2 , si x=1/n, n natural mayor estrictamente que 2; x si x es distinto de 1/n , n natural mayor estrictamente que 1. Es una biyección de (0,1) en [0,1] .
    Las compuestas hof ó hog, son biyecciones de R en [0,1].
    Una biyección de (0,1) en [0,1), es F(x)= 0 si x=1/2; 1/n-1 si x=1/n n natural mayor estrictamente que 2; x, si x es distinto de 1/n n natural mayor estrictamente mayor que 1.
    Una biyección de (0,1) en (0,1], es G(x)= 1/n-1, si x=1/n n natural estrictamente mayor que 1; x, si x es distinto de 1/n n natural mayor estrictamente mayor que 1.

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    • Es válida esta aplicación entre los N y el intervalo {0,1] de los números R?

      N —-R N—-R N——R ……..

      0 0 10 0.9 100 0.99
      1 1 11 0.01 101 0.001
      2 0. 1 12 0.11 . .
      .
      9 0.8 99 0.98 .

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      • Disculpa pero al enviar mi comentario no han quedado bien los números y no sé corregir una vez publicado.
        Me gustan las matemáticas y la ciencia en general y esta es una curiosidad que tengo sobre este tema
        Lo que quería decir es que si se puede establecer una aplicación biyectiva entre los naturales y el intervalo cerrado [0,1] de tal forma que se le resta una unidad al número natural y se invierte el numero resultante, definiendo la imagen del 0 en el 0 y la imagen del 1 en el 1 y el resto de los números como he dicho,por ejemplo:
        2—0.1,…9–0.8,…,191—-0.091,..,1890—-0.9881

        Gracias por anticipado y disculpa si es poco riguroso

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        • Fucking bitch!! Yo tenia otra.. a mi me da que o falta algo en la definicion.. o ni tu ni yo vemos “algo”.

          De hecho todo inifinito tiene el mismo cardinal que otro infinito. Pues todo conjunto imaginable por el hombre esta formado por una serie de dimensiones o particiones numerables de forma recursiva.

          Pero tu solución es jodidamente simple :D.

          Lo que despista aqui es que dos infinitos se pueden realcionar de muchas formas con el truco de “dejar cosas fuera para luego”. pero no son la unica forma… cantor solo define una posible relacion con los naturales, y el ha escogido que le sobren elementos. Pero puedes escoger que no te sobren, o que te falten en el otro.

          Es lo que le pasa al infioonito, es un mindfuck en toda regla.

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  27. Gracias por la explicacion, hacia rato que queria entender como se demostraba.

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    • Pero esa demostración se puede rebatir creo:

      Cambia los naturales, por los pares solo…. ahora te quedan libres todos los impares. Luego fijate qeu hay muchas opciones no solo sumarle uno, pero en definitiva son solo 9 por digito… de forma qeu se pueden definir dos conjuntos.
      1 La lista de numeros reales.
      2 Los numeros que “podriamos crear con la diagonilazion”, cuya estructura de creacion no es mas que la de los numeros naturales (10 posibilidades por digito).

      como los pares tienen el mismo cardinal que los naturales, y los impares tambien, acabo de cubrir los dos conjuntos solo con los naturales.

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  28. ¿Será posible, verificar la correspondencia biunívoca, existente entre los números reales y (0, 1) de (R), empleando el método del Argumento de la diagonal de Cantor? {Siendo, aún más significativo, poder verificarla entre: (0, 1) de (R) y (0, 1) de (R)}

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  29. ¿Será posible, verificar la correspondencia biunívoca, existente entre los números reales y (0, 1) de (R), empleando el método del Argumento de la diagonal de Cantor? {Siendo, aún más significativo, poder verificarla entre: (0, 1) de (R) y (0, 1) de (R)}
    Del mismo modo, en que Cantor no detalla (FC(x)) – que en principio definiría como una función biyectiva entre los conjuntos de Lista(C) {f: (N→R)}, misma que, posteriormente declarara inexistente –; no detallare (FG(x)) – que en principio, definiría una función biyectiva entre los conjuntos de Lista(R) {f: (R→(0, 1) de R)}–. Y, si os pones muy quisquillosos, podemos recurrir a {f: ((0, 1) de R→(0, 1) de R)}

    Siendo (A: el conjunto de los números reales) y (B: el conjunto de los números reales entre (0, 1)) equipotentes, necesariamente deberá existir una correspondencia biunívoca entre sus elementos.
    Bien. Confirmémoslo, empleando exclusivamente el método del argumento de la diagonal de Cantor (ADC). Para ello, construimos una Lista(R), mediante (FG(x)), igualando (1 a 1) los números reales a los números reales entre (0, 1). Seguidamente, empleemos la (PDC()) – usada por Cantor para construir su número real x(C) entre (0, 1) del Codominio –, para construir el nuestro. Mismo que, obviamente, no estará contenido en Lista(R).

    Conclusión: entonces. Con un grado de rigurosidad similar, al empleado por Cantor en su método, demostramos que: empleando ADC, no es posible verificar una relación sobreyectiva – y por consiguiente biyectiva -, en Lista(R). En consecuencia, según ADC: los conjuntos de Lista(R), no deberían considerarse equipotentes – o sea: ((R)≈(0, 1) de (R)) –. Demostrando así, lo contingente de este método, y consecuentemente, una fuente de inconsistencias de la teoría de conjuntos.
    Nota: ¿acaso demostré la absurdidad del método del argumento diagonal de Cantor? Salvo que: ¿propongáis revisar el teorema de Cantor-Schroder-Bernstein – o sea, los criterios para reconocer una biyección entre conjuntos –, y/o las demostraciones de equipotencia entre (0, 1) de (R) y (R)? No, mejor será, no seguir perdiendo el tiempo leyendo este compendio de tonterías, ¿verdad?
    Entonces, ¿el argumento de la diagonal de Cantor, es fuente de inconsistencias para la teoría de conjuntos?
    PD: dado que, al parecer, no he planteado esta obviedad de forma suficientemente inteligible, la repetiré de forma sutilmente más burda: a excepción de alguna inconducente convención matemática, ¿qué lista de números – construida en forma de un arreglo bidimensional cuadrado de dígitos –, puede contener, al número construido a partir de los dígitos alterados de su diagonal?
    Obviamente, la anterior pseudo-refutación, podrá ser constituida entre cualesquiera conjuntos numéricos infinitos – equipotentes o cuya potencia del dominio sea superior a la del codominio (para evitar suspicacias de devotos Cantorianos, emplear el intervalo unidad en ambos conjuntos de la función, apelando, a la equipotencia de un conjunto con un subconjunto propio) –, siempre y cuando, las propiedades del conjunto numérico del codominio, permitan expresiones decimales infinitas – distinta de cero – no periódicas.

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