En toda la historia se han descubierto/creado muchas maneras para calcular aproximaciones del número Pi. En el post del día de Pi ya vimos algunas aproximaciones numéricas. Hoy os traigo dos algoritmos para el cálculo de aproximaciones de Pi. Vamos con ellos:

  • Algoritmo de Gauss-Legendre:

    Partimos de los siguientes datos iniciales:

    [latez size=1]a_0=1 \quad b_0=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \quad t_0=\cfrac{1}{4} \quad p_0=1[/latex]

    A partir de ellos, realizamos la siguientes operaciones:

    \begin{matrix} a_{n+1}=\cfrac{a_n+b_n}{2} \\ \\ b_{n+1}=\sqrt{a_n \, b_n} \\ \\ t_{n+1}=t_n-p_n(a_n-a_{n+1})^2 \\ \\ p_{n+1}=2p_n \end{matrix}

    Entonces, Pi se aproxima de la siguiente forma:

    \pi \approx \cfrac{(a_n+b_n)^2}{4t_n}

    El método tiene convergencia de segundo orden. Es decir, en cada iteración duplicamos el número de dígitos exactos obtenidos en la iteración anterior.

  • Algoritmo de Borwein:

    Partimos de los siguientes datos iniciales:

    \begin{matrix} a_0=6-4\sqrt{2} \\ y_0=\sqrt{2}-1 \end{matrix}

    Con ellos, operamos de la siguiente forma:

    y_{k+1}=\cfrac{1-(1-y_k^4)^{1/4}}{1+(1-y_k^4)^{1/4}}

    Entonces, se tiene lo siguiente:

    \displaystyle{\lim_{k \to \infty} a_k=\cfrac{1}{\pi}}

    La convergencia de este método es cuártica. Es decir, en cada iteración se consiguen el cuádruple de dígitos exactos que en la iteración anterior. Existen variaciones de este método que consiguen en cada iteración muchos más dígitos exactos. En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver algunas de ellas.

Evidentemente existen muchísimos más. Y también muchas fórmulas que involucran a Pi mediante las cuales podemos calcular aproximaciones de este número. Más adelante irán apareciendo en este blog muchas más. Se aceptan sugerencias en los comentarios.

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