La fórmula de Stirling es una buena aproximación del factorial bien conocida por, al menos, los lectores más antiguos de este blog (seguro que por mucha más gente). Dicha fórmula dice que

n! \approx n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2 \pi n}

entendiendo \approx como «equivalente». De hecho, cuando mayor es n más equivalentes son los valores de esas dos expresiones. Esto significa, grosso modo, que el límite del cociente de esas dos expresiones cuando n tiende a infinito es 1. Vamos, que en términos de límites las dos son «iguales» (no es exactamente así, pero nos vale para que quede más o menos clara la relación entre ellas).

Como hemos dicho, esta fórmula de Stirling da aproximaciones buenas del factorial en el sentido descrito anteriormente, pero según qué precisión necesitemos las aproximaciones obtenidas quizás no sean tan buenas. Por ejemplo, para n=4:

\begin{array}{rl} 4!= & 24 \\ 4^4 \cdot e^{-4} \cdot \sqrt{2 \cdot \pi \cdot 4}= & 23.5062 \end{array}

Con esta aproximación estaríamos cometiendo un error relativo del 2%:

E_r=\cfrac{|4!-4^4 \cdot e^{-4} \cdot \sqrt{2 \cdot \pi \cdot 4}|}{4!} \cdot 100 \%= 2.05 \%

que no está mal, pero quizás en ocasiones sea muy grande. Por ejemplo, para que el error relativo baje del 1% debemos irnos hasta n=9, y el primer número entero positivo para el cual la aproximación por la fórmula de Stirling de su factorial nos da un error relativo menor del 0.1% es n=84.

La cuestión es que hay varias expresiones que dan mejores aproximaciones que la de Stirling. Una de estas mejoras, debida a Srinivasa Ramanujan, es la que nos ocupa hoy. Aquí la tenéis:

n! \approx n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{\pi} \cdot \sqrt[6]{8n^3+4n^2+n+\frac{1}{30}}

Srinivasa Ramanujan
Nadie duda ahora que es de Ramanujan, ¿verdad?

Con esta fórmula, para n=4 obtenemos el valor 24.0001, mucho más aproximado al valor real, que es 24. El error relativo en este caso es 0.000282%, muchísimo más pequeño que el que da la fórmula de Stirling. Y por poner otro ejemplo, para el caso n=83 el error relativo de la fórmula de Stirling era un pelín mayor del 0.1%. Con la fórmula de Ramanujan es 0.000000001987%. La diferencia es sustancial, como se puede ver.

La fórmula de Stirling tiene la característica de que el error relativo va disminuyendo conforme aumenta el valor de n. Pues el caso es que la fórmula de Ramanujan también posee esa interesante propiedad: cuanto mayor es n menor es el error relativo de la aproximación de Ramanujan. Al ser éste mucho más bajo que el que da la fórmula de Stirling, es bastante evidente que la de Ramanujan es mucho mejor aproximación.

¿Hay demostración de todo esto? Pues sí, pero no por el propio Ramanujan, que lo dejó sin demostrar, sino por Ekatherina Karatsuba, que lo probó en el año 2000 en su trabajo On the asymptotic representation of the Euler gamma function by Ramanujan. Lo que demostró Karatsuba fue que la función

h(x)=(g(x))^6-(8x^3+4x^2+x)

con g(x)={({e \over x})^x \, \Gamma (x+1) \over \sqrt{x}} es monótona creciente y está acotada «en infinito» por 1 \over 30. Como ya sabemos que \Gamma (x+1)=x! para valores enteros positivos de x (vamos, que la función gamma es una generalización del factorial), este resultado demuestra que la aproximación de Ramanujan comentada anteriormente es correcta.

Y para terminar comentar que ni mucho menos estas dos aproximaciones para el factorial, la de Stirling y la de Ramanujan, son las únicas interesantes. Os dejo por aquí tres más que he encontrado junto la aproximación que dan para 4!, para que podáis comparar con ellas:

  • Fórmula de Burnside:

    n! \approx \sqrt{2 \pi} \left ( \cfrac{n+1/2}{e} \right )^{n+1/2}

    Para n=4 su valor es 24.2226179.

  • Fórmula de Gosper:

    n! \approx n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{2n + {1 \over 3}}

    Para n=4 su valor es 23.9908895.

  • Y una tremenda de Necdet Batir que aparece en el último enlace al final de este post:

    n! \approx n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2\pi \left ( n+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{72n}-\cfrac{31}{6480n^2}-\cfrac{139}{155520 n^3}+\cfrac{9871}{6531840 n^4} \right)}

    Su valor para n=4 es 24.00000001332. Buenísima, ¿verdad? Por ser ésta tan buena vamos a dar un par de valores más. Para n=6 tenemos que 6!=720, y nuestra fórmula da como resultado 719.999999376. Y para n=12 tenemos que 12!=479001600, y nuestra fórmula nos da 479001599.9859. Podéis comparar estos valores con los que dan las otras fórmulas para convenceros de que ésta es realmente impresionante.

Y ahora os toca a vosotros. ¿Conocéis más aproximaciones buenas del factorial tipo las que hemos descrito por aquí? Los comentarios son vuestros.

Fuentes y enlaces relacionados:

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