Beal y la conjetura de los 100000 dólares (Actualizado el 7-6-2013)

Actualización (7-6-2013): El premio que se ofrece por dar respuesta a la conjetura de Beal ha aumentado a un millón de dólares. Más información al final de esta entrada.

El último teorema de Fermat (UTF) dice lo siguiente:

Para un número entero mayor que 2, no existen números enteros positivos , con sin factores comunes que sean solución de la ecuación

Es bien conocido el resultado, la frase del «margen demasiado estrecho» que Fermat dejó escrita en el Arithmetica de Diofanto y la historia de los intentos de resolución, hasta que en 1995 Andrew Wiles (con la ayuda de Richard Taylor) consiguió tan ansiada demostración.

Lo que quizás no es tan conocida es la historia de algunas conjeturas relacionadas con el UTF. Hoy vamos a hablar de una de ellas, denominada conjetura de Beal.

Imaginemos que en la expresión del UTF eliminamos la restricción de la igualdad del exponente en los tres términos. Es decir, dejamos libertad para los exponentes, pudiendo ser iguales o distintos, y en principio mayores que 1. Tendríamos una expresión así:

, con

¿Habría soluciones? Evidentemente sí, de hecho habría infinitas. Por ejemplo, cualquier terna pitagórica, por ejemplo (3,4,5) para n=2. Pero bueno, esas eran esperables. ¿Hay más? Pues sí, por ejemplo

y

o

y

Las dos primeras tienen la característica de que las bases de las tres potencias tienen algún factor común, mientras que las otras dos no cumplen esa propiedad. Eliminemos las que tienen bases con factor común y quedémonos con las demás. Aparte de las dos que aparecen aquí, ¿hay alguna más? Pues sí, se conocen algunas más, pero parece que no muchas.

Todas estas soluciones del segundo tipo que se conocen tienen una característica común: alguno de los exponentes es 2. No se conocen soluciones en las que todos los exponentes sean enteros mayores que 2. Y de aquí sale la conjetura, de la creencia de que no hay soluciones sin ningún 2 en algún exponente. Más concretamente, éste es el enunciado de la misma:

Conjetura de Beal

Dados enteros positivos con , si la expresión

es cierta, entonces tienen algún factor primo común.

Esto es, la ecuación anterior no tiene soluciones enteras si las bases no tienen factores comunes y los exponentes son todos mayores que 2.

Este enunciado recibe el nombre de conjetura de Beal porque fue Andrew Beal quien la formuló en 1997. Andrew Beal es un banquero de Dallas de unos 60 años al que le gustaban las matemáticas, y que era un apasionado del trabajo de Fermat, en particular del UTF. El caso es que parece ser que el bueno de Andrew se entretenía pensando en este problema (de hecho cree que Fermat tenía esa solución maravillosa, además de un método de resolución de la ecuación de Pell que sigue siendo desconocido en la actualidad), y en generalizaciones del mismo, hecho que hizo que esta conjetura apareciera por su cabeza.

El primer lugar donde esta conjetura apareció publicada fue en Notices of the American Mathematical Society en diciembre de 1997. Tan interesado estaba el señor Beal por saber si esta conjetura era cierta o falsa que ofreció una recompensa económica a quien pudiera demostrar este enunciado o a quien encontrara un contraejemplo del mismo. Dicha recompensa es actualmente de 100000$, y todavía está esperando a alguien merecedor de la misma. Para cobrar el premio, se debe enviar la posible demostración o el supuesto contraejemplo al comité de la conjetura, formado por Charles Fefferman, Ron Graham y R. Daniel Mauldin. Además, la posible demostración debe haber aparecido en alguna publicación matemática de prestigio y debe ser aceptada por la comunidad matemática, y el posible contraejemplo debe hacer sido verificado.

Así que ya sabéis, si os queréis sacar un sobresueldo bastante interesante no tenéis más que demostrar esta conjetura de Beal o encontrar un contraejemplo de la misma, pedir una revisión de vuestro trabajo y conseguir que aparezca en alguna publicación de prestigio. Con todo ello es posible que consiguierais el reconocimiento de la comunidad matemática y, como consecuencia, el suculento premio en metálico. Pero intentad que vuestro intento de demostración o propuesta de contraejemplo sea algo serio, no como algunas de las «demostraciones» que pueden verse en ciertos sitios de internet…

Fuentes y enlaces relacionados:

• Beal’s Conjecture: A Search for Counterexamples.
• The Beal Conjecture.
• Más allá del último teorema de Fermat.
• The Beal Conjecture and Prize.
• Beal’s conjecture en la Wikipedia en inglés.

Actualización (7-6-2013): Aumenta el premio que ofrece Andrew Beal por resolver la conjetura que lleva su nombre: de los 100000$ que se ofrecían hasta ahora se pasa a 1000000$, una subida más que considerable que coloca a la conjetura de Beal a la altura de los problemas del milenio en lo que a premio se refiere. Tenéis toda la información sobre este premio en Beal Prize en la web de la American Mathematical Society (AMS) y de la subida del premio en esta nota de prensa en la misma web de la AMS.