En Gaussianos ya hemos visto varias demostraciones de la infinitud de los números primos, en concreto tres:

En la actualidad se conocen algunas más aparte de estas tres. La que os voy a presentar en este artículo es completamente nueva. El autor de la misma es Juán Pablo Pinasco y ha sido tan amable de enviármela (después de su publicación en The American Mathematical Monthly perteneciente a The Mathematical Association of America) para que la publique en este blog. Muchísimas gracias Juán Pablo.

Resultado previo

Sea \{p_i \}_i la secuencia de números primos. Definimos la siguiente sucesión por recurrencia:

a_0=0, \qquad a_{k+1}=a_k+\cfrac{1-a_k}{p_{k+1}}

El termino a_N generado por esta recurrencia puede expresarse de la siguiente forma:

\displaystyle{a_N=\sum_i \frac{1}{p_i}-\sum_{i < j} \frac{1}{p_i p_j}+\sum_{i < j < k} \frac{1}{p_i p_j p_k} - \ldots +(-1)^{N+1} \frac{1}{p_1 \cdots p_N}}

Dicho termino puede expresarse de la siguiente forma:

a_N=1-\prod_{i=1}^n \left (1-\frac{1}{p_i} \right )

Lo cual entre otras cosas implica que 0 < a_N < 1, al ser cada factor estrictamente positivo y menor que 1.

Con esto ya estamos preparados para demostrar infinitud de los números primos.

Demostración de la infinitud de los números primos

Teorema: Hay infinitos números primos

Demostración:

Supongamos que el resultado es falso, es decir, que el conjunto de números primos es finito. Sean p_1 < p_2 < \ldots < p_N todos los números primos. Queremos llegar a una contradicción.

Para cada x \ge 1 y para cada i=1, \ldots N, sea A_i el conjunto de los enteros del intervalo \left [1,x \right ] que son divisibles por p_i. Entonces, el número de enteros positivos del intervalo \left [1,x \right ] se obtiene por aplicación del principio de inclusión-exclusión para encontrar el cardinal de \displaystyle{\bigcup_{i=1}^N A_i} (siendo \left [ s \right ] la parte entera de s, como suele ser habitual):

\left [ x \right ]=\displaystyle{1+\sum_i \left[ \frac{1}{p_i} \right ]-\sum_{i < j} \left [ \frac{1}{p_i p_j} \right ]+\sum_{i < j < k} \left [ \frac{1}{p_i p_j p_k} \right ] - \ldots +(-1)^{N+1} \left [ \frac{1}{p_1 \cdots p_N} \right ]}

Teniendo en cuenta que \displaystyle{\lim_{x \to \infty} x^{-1} \left [ \frac{x}{t} \right ]=\frac{1}{t}} llegamos a la contradicción buscada multiplicando la igualdad anterior por x^{-1} y haciendo límite cuando x \to \infty:

1 > \displaystyle{a_N=\sum_i \frac{1}{p_i}-\sum_{i < j} \frac{1}{p_i p_j}+\sum_{i < j < k} \frac{1}{p_i p_j p_k}-\ldots +(-1)^{N+1} \frac{1}{p_1 \cdots p_N}}=1

Hecho con el que termina la demostración.

Bonus: demostración de que la suma de los inversos de los números primos es divergente

En Gaussianos también hemos visto que la serie de los inversos de los números primos es divergente. Vamos a ver otra demostración de este hecho:

A partir de la demostración anterior observamos que la densidad asintótica D(p_1,\ldots,p_N) del conjunto de los enteros que no son divisibles por ninguno de los primos p_1,\ldots,p_N es exactamente:

D(p_1,\ldots,p_N)=\displaystyle{a_N=\sum_i \frac{1}{p_i}-\sum_{i < j} \frac{1}{p_i p_j}+\sum_{i < j < k} \frac{1}{p_i p_j p_k} - \ldots +(-1)^{N+1} \frac{1}{p_1 \cdots p_N}}

O lo que es lo mismo:

1-a_N=D(p_1,\ldots,p_N)=\prod_{j=1}^N \left (1-\frac{1}{p_i} \right)

Definamos ahora D como sigue:

D=\lim_{x \to \infty} D(p_1,\ldots,p_N)

Entonces, tomando logaritmos obtenemos que

\displaystyle{\sum_p Ln \left (1-\frac{1}{p} \right)}

converge si D >0 y diverge si D=0. Como \displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}} converge si y sólo si \displaystyle{\sum_p Ln \left ( \frac{1}{p} \right )} lo hace es suficiente probar que D=0 para demostrar el siguiente teorema:

Teorema: La serie \displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}} diverge

Demostración:

Vamos a demostrar que D > 0 y que la serie anterior sea convergente no pueden darse a la vez. Para ello tomamos 0 < \epsilon < D y elegimos N suficientemente grande para que \epsilon < D(p_1, \ldots ,p_N) y \displaystyle{\sum_{p>p_N} \frac{1}{p} < \epsilon}.

Ahora, la densidad asintótica de los enteros que no son divisibles por ninguno de los primos p_1, \ldots, p_N está acotada inferiormente por \epsilon. Sin embargo, esos enteros deben ser divisibles por algún primo p > p_N, por lo que su densidad debe estar acotada por \displaystyle{\sum_{p > p_N} \frac{1}{p}}, que es menor que \epsilon. Obtenemos entonces:

\epsilon < D(p_1, \ldots ,p_N) < \epsilon

lo cual es una contradicción.

En consecuencia D=0 y la serie de los inversos de los números primos es divergente.

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