En Gaussianos ya hemos visto varias demostraciones de la infinitud de los números primos, en concreto tres:
En la actualidad se conocen algunas más aparte de estas tres. La que os voy a presentar en este artículo es completamente nueva. El autor de la misma es Juán Pablo Pinasco y ha sido tan amable de enviármela (después de su publicación en The American Mathematical Monthly perteneciente a The Mathematical Association of America) para que la publique en este blog. Muchísimas gracias Juán Pablo.
Resultado previo
Sea la secuencia de números primos. Definimos la siguiente sucesión por recurrencia:
El termino generado por esta recurrencia puede expresarse de la siguiente forma:
Dicho termino puede expresarse de la siguiente forma:
Lo cual entre otras cosas implica que , al ser cada factor estrictamente positivo y menor que
.
Con esto ya estamos preparados para demostrar infinitud de los números primos.
Demostración de la infinitud de los números primos
Teorema: Hay infinitos números primos
Demostración:
Supongamos que el resultado es falso, es decir, que el conjunto de números primos es finito. Sean todos los números primos. Queremos llegar a una contradicción.
Para cada y para cada
, sea
el conjunto de los enteros del intervalo
que son divisibles por
. Entonces, el número de enteros positivos del intervalo
se obtiene por aplicación del principio de inclusión-exclusión para encontrar el cardinal de
(siendo
la parte entera de
, como suele ser habitual):
Teniendo en cuenta que llegamos a la contradicción buscada multiplicando la igualdad anterior por
y haciendo límite cuando
:
Hecho con el que termina la demostración.
Bonus: demostración de que la suma de los inversos de los números primos es divergente
En Gaussianos también hemos visto que la serie de los inversos de los números primos es divergente. Vamos a ver otra demostración de este hecho:
A partir de la demostración anterior observamos que la densidad asintótica del conjunto de los enteros que no son divisibles por ninguno de los primos
es exactamente:
O lo que es lo mismo:
Definamos ahora como sigue:
Entonces, tomando logaritmos obtenemos que
converge si y diverge si
. Como
converge si y sólo si
lo hace es suficiente probar que
para demostrar el siguiente teorema:
Teorema: La serie diverge
Demostración:
Vamos a demostrar que y que la serie anterior sea convergente no pueden darse a la vez. Para ello tomamos
y elegimos
suficientemente grande para que
y
.
Ahora, la densidad asintótica de los enteros que no son divisibles por ninguno de los primos está acotada inferiormente por
. Sin embargo, esos enteros deben ser divisibles por algún primo
, por lo que su densidad debe estar acotada por
, que es menor que
. Obtenemos entonces:
lo cual es una contradicción.
En consecuencia y la serie de los inversos de los números primos es divergente.
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Sí señor, muy interesante la prueba. Hay que felicitar a Juan Pablo por la publicación de la misma.
Por otro lado, el trasfondo de la prueba me recuerda bastante a una de esas formas que existe de probar que la probabilidad de escoger dos números coprimos al azar es
. Este hecho ya fue indicado hace tiempo en gaussianos.
Si mal no recuerdo, esta demostración a la que me refiero aparece en el clásico de Hardy y Wright de teoría de números.
¡Vaya! Quise decir probabilidad
.
Cierto M, yo pensé lo mismo cuando la vi.
Hola M, muchas gracias! La idea de usar exclusiones y exclusiones debería dar para más, de hecho en el Hardy Wright hay una cota para el teorema de los números primos basada en estos argumentos, y en el fondo, todos los métodos de cribas lo usan consciente o inconscientemente.
Algún día debería postear sobre cómo llegué a esto, porque lo mío son autovalores de ecuaciones diferenciales, no teoría de números!
[…] 1 en Nueva demostración de la infinitud de los números primos (y un bonus inverso-divergente) […]
Voy a felicitar personalmente a Juan Pablo Pinasco, pues es profesor mio en la facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA, Argentina.
Les anticipo, es un excelente profesor!
[…] mío son autovalores de ecuaciones diferenciales, no teoría de números! … fique por dentro clique aqui. Fonte: […]
[…] Como el conjunto de números primos es infinito (Euclides, con números de Fermat, topológica y por Juan Pablo) podemos así dar acomodo a todos los huéspedes de todos los hoteles. V.: Vaya, pues sí que son […]
Hola, creo que lo único nuevo es la demostración de la divergencia de los recíprocos de los números primos, por que la prueba de la existencia de infinitos números primos que se muestra está implícita en la criba de Eratóstenes-Legendre. Solo es una creencia, no intento desacreditar el trabajo hecho por Juan Pablo. La prueba de los recíprocos es muy bonita a mi parecer. Un saludo y exitos a Juan Pablo y a este blog.
Pd: ¿Que otro resultado está en tu trabajo Juan Pablo?.
Hola,
Visitante, mmmm sí, la prueba que dio Juan Pablo parece estar implícita enla criba de eratostenes legendre, al igual que usted, tengo la sensación, no estoy seguro.
Juan Pablo, Ojo!, NO todos los métodos de cribado usan el principio de inclusión-exclusión! Esas cribas se llaman cribas combinacionales, y van hasta Selberg las mas importantes, hay otros métodos de cribado que NO la usan.
Por otro lado, Me gustó mucho ambas pruebas. Un abrazo.
Demostrar que para todo x > 0 y para todo y > 0, existen a, b tales que
|a/b − x| <y, y que a + b es primo. Demostrar que este resultado es equivalente a la
existencia de infinitos numeros primos.
La primera parte del problema la pude resolver, pero los numeros a y b son racionales positivos. Partiendo de ahi, pude probar la infinitud de los primos pero suponiendo que b es mayor o igual que 1; para b entre cero y uno no lo pude resolver.