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En el famosísimo triángulo de Pascal se puede encontrar de todo. Los números que aparecen en el triángulo corresponden a los números combinatorios, las sumas de las filas son las potencias de 2, podemos encontrar los términos de la sucesión de Fibonacci, los números triangulares… Como decía, de todo…

…bueno, de casi todo, tampoco vamos a exagerar. Por ejemplo, no conozco ninguna forma de encontrar el número \pi en el triángulo. Ahora, ¿y el número e? ¿Se os ocurre alguna forma de relacionar el triángulo de Pascal con el número e? Pues la hay, y además es bastante sencilla.

Todas estas cosas que, como hemos comentado, se pueden encontrar fácilmente en el triángulo de Pascal tienen que ver con sumas. Bueno, que los elementos del triángulo son los números combinatorios no

(Imagen tomada de aquí)

pero las demás sí. Si sumamos los elementos de cada fila nos aparecen las potencias de 2:

(Imagen tomada de aquí)

Sumando de la forma que aparece en la siguiente imagen obtenemos los términos de la sucesión de Fibonacci (ya hablamos sobre ello en esta entrada de hace tiempo):

(Imagen tomada de aquí)

Y si miramos las primeras diagonales nos aparecen unos, los números naturales, los números triangulares y los números tetraédricos, respectivamente:

(Imagen tomada de aquí)

Pero parece ser que a nadie se le había ocurrido considerar productos de elementos del triángulo de Pascal. Vamos a multiplicar los elementos de cada una de las filas:

Si ahora dividimos cada resultado obtenido al multiplicar entre el obtenido en la fila anterior obtenemos los siguientes valores:

\{1,2,4.5,10.666 \ldots,26.0417,64.8 \}

Y ahora volvamos a dividir cada uno de los resultados de esa lista entre el anterior. Llegamos a los siguientes datos:

\{2,2.25,2.370370 \ldots,2.44140625,2.48832 \}

Oye, pues parece que después de comenzar en 2 los números van subiendo poco a poco. Si avanzamos un poco, por ejemplo por la zona del n=1000, el dato de la lista sería ya 2.71692, que ya está más cerca del número e=2.71818281 \ldots, ¿verdad? Vamos a ver enseguida que en realidad sí, que todo cuadra a la perfección.

Si llamamos s_n al producto de los elementos de la fila n, con n=0,1, \ldots, si recordamos que los elementos del triángulo de Pascal son los números combinatorios tenemos que:

s_n=\displaystyle{\prod_{k=0}^n {n \choose k}}

Lo que vamos a demostrar, y además de forma bastante sencilla, es que:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{s_{n+1}/s_n}{s_n/s_{n-1}}=e}

Bien, comencemos estudiando cuál es la expresión exacta de s_n. Como hemos dicho, es el producto de todos los números combinatorios {n \choose k}, con k,0,1, \ldots, n. Es decir:

s_n= \displaystyle{{n \choose 0} \cdot {n \choose 1} \cdots {n \choose 2} \cdots \ldots \cdot {n \choose n}}

Recordando que {p \choose q}=\frac{p!}{q! \cdot (p-q)!}, la expresión anterior se convierte en la siguiente:

s_n=\cfrac{n!}{0! \cdot n!} \cdot \cfrac{n!}{1! \cdot (n-1)!} \cdot \cfrac{n!}{2! \cdot (n-2)!} \cdot \ldots \cdot \cfrac{n!}{n! \cdot 0!}

Todos los numeradores son n!, por lo que el denominador conjunto es (n!)^{n+1}. Y en el denominador aparece dos veces cada factorial desde 0! hasta n!, por lo que al multiplicar cada uno de ellos estará elevando al cuadrado. Por tanto, la expresión de s_n es la siguiente:

s_n=\cfrac{(n!)^{n+1}}{\displaystyle{\prod_{k=0}^n (k!)^2}}

Ahora ya podemos calcular de forma sencilla los dos cocientes que aparecen en el límite que hemos mostrado antes. Expresando s_n como (n!)^{n+1} \cdot \displaystyle{\prod_{k=0}^n (k!)^{-2}} (para simplificar la notación siguiente) tenemos que:

\begin{matrix} \cfrac{s_n}{s_{n-1}}=\cfrac{(n!)^{n+1} \cdot \displaystyle{\prod_{k=0}^n (k!)^{-2}}}{((n-1)!)^n \cdot \displaystyle{\prod_{k=0}^{n-1} (k!)^{-2}}}=\cfrac{(n!)^{n+1} \cdot (0!)^{-2} \cdot (1!)^{-2} \cdot \ldots \cdot ((n-1)!)^{-2} \cdot (n!)^{-2}}{((n-1)!)^n \cdot (0!)^{-2} \cdot (1!)^{-2} \cdot \ldots \cdot ((n-1)!)^{-2}}= \\ =\cfrac{(n!)^{n+1} \cdot (n!)^{-2}}{((n-1)!)^n}=\cfrac{(n!)^n \cdot n!}{((n-1)!)^n \cdot (n!)^2}=\left ( \cfrac{n!}{(n-1)!} \right )^n \cdot \cfrac{1}{n!}=\cfrac{n^n}{n!} \end{matrix}

De manera análoga tenemos que

\cfrac{s_{n+1}}{s_n}=\cfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}

Calculemos ahora el límite anterior:

\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{s_{n+1}/s_n}{s_n/s_{n-1}}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{(n+1)^{n+1} \cdot n!}{(n+1)! \cdot n^n}}= \\ \\ =\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{(n+1)^n \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot (n+1) \cdot n^n}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{(n+1)^n}{n^n}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left (\cfrac{n+1}{n} \right )^n}= \\ \\ =\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left (1+\cfrac{1}{n} \right )^n} \end{matrix}

y sabemos que el valor de este último límite es, efectivamente, e. Por tanto, tenemos que:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{s_{n+1}/s_n}{s_n/s_{n-1}}}=e

¿A quién debemos todo esto?

Y el artífice de esto, el descubridor de esta relación, es Harlan J. Brothers (en la imagen de la derecha), inventor, músico, matemático y profesor estadounidense, que publicó su hallazgo el pasado año 2012 en The Mathematical Gazette

  • H. J. Brothers, «Pascal’s triangle: The hidden stor-e.» The Mathematical Gazette, Vol. 96, No. 535, 2012; páginas 145-148

y en Mathematics Magazine

  • H. J. Brothers, «Finding e in Pascal’s triangle.» Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1, 2012; página 51

Además de todo esto, es un tipo muy majo (le pedí que me enviara esos dos trabajos y en menos de media hora ya estaban en mi correo) y se lleva bastante bien con el idioma de Cervantes. Harlan, muchas gracias por tu ayuda y por ser tan amable.


Por cierto, antes de verlo en los papers de Brothers lo vi en Cut-the-knot. La foto de Harlan J. Brothers la he tomado de su página en la Wikipedia en inglés.

Actualización: Me comenta David Orden que este tema apareció hace unos días en este post de Simplemente Números dentro de la edición de mayo del Carnaval de Matemáticas. Creo que, aunque como comenta el autor el post es una traducción del artículo de Cut the knot, es de justicia mencionarla aquí.

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