El yin-yang y el número áureo

La relación entre el número Pi y la circunferencia y el círculo es de sobra conocida por todos (mucho hemos hablado sobre ello en este blog). Lo que posiblemente no sea tan conocido es la relación entre una figura construida con circunferencias como el símbolo del yin-yang y el famosísimo número áureo. En esta entrada vamos a ver esta curiosa propiedad.

Sin más preámbulos, vamos a presentar esta relación entre el símbolo del yin-yang y el número áureo:

Representado el símbolo del yin-yang en un círculo de radio 1, dibujamos un radio horizontal de la circunferencia mayor, que corta a dicha circunferencia en el punto A. Desde ese punto A trazamos dos segmentos que pasen por los centros de las circunferencias pequeñas y marcamos los puntos de corte de dichos segmentos con las circunferencias medianas. Si, de ellos, el punto B es el más lejano de A y el punto C es el mas cercano a A, entonces el segmento AB mide \phi y el AC mide 1 \over \phi.

Un poco lío, ¿verdad? Para aclarar el asunto, os dejo una imagen de la situación:

Chulísimo, ¿a que sí? Al menos a mí me encanta.

Como todos podéis imaginar, tenemos demostración de este resultado, y además es bien sencilla. Os la dejo a continuación:

Como el segmento OA mide 1 el OE mide 1 \over 2, por el teorema de Pitágoras tenemos que el segmento AE mide \sqrt{5} \over 2 (por la misma razón, AD mide lo mismo que AE). Por otro lado, tenemos también que tanto CD como EB miden 1 \over 2 (son radios de las circunferencias medianas).

Con todo esto ya lo tenemos:

  • AB = AE + EB = \cfrac{\sqrt{5}}{2} + \cfrac{1}{2} = \cfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi
  • AC = AD - CD = \cfrac{\sqrt{5}}{2} - \cfrac{1}{2} = \cfrac{\sqrt{5}-1}{2} = \cfrac{1}{\phi}

Un precioso resultado que, además, tiene una demostración clara, concisa y bien sencilla. ¿Se puede pedir más?


Vi por primera ver esta curiosa propiedad en Golden Ratio in Yin-Yang, en la maravillosa Cut-the-Knot del malogrado Alexander Bogomolny.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. \varphi tiene la buena costumbre de aparecer por casi cualquier sitio … Otro sitio que me resulto sorprendente es en las gráficas de los polinomios de 4º grado con dos puntos de inflexión: http://bit.ly/2wOCpsv, o en las gráficas de las funciones coseno y tangente: http://bit.ly/2z8Rnhu (visto en twitter)
    Y otra cosa, ¿los pequeños círculos del Yin-Yang tienen un tamaño determinado?

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    • Aunque ya te contesté por Twitter, lo dejo por aquí también para que lo vean todos. Sobre el radio de los círculos pequeños busqué información, pero al no encontré nada concluyente les puse el que yo consideré oportuno, concretamente 0.15 (lo acabo de mirar). Si alguien tiene información fiable sobre ello se agradecerá que lo comente.

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  2. Me voy a salir del tema.
    No tengo claro si ésta es una pregunta meritoria de una entrada en el blog de dudas de Gaussianos… así que me disculpo de antemano si aquí no es el lugar adecuado para plantearla:

    Una espiral (logarítmica o no) es una curva que se “aproxima” hacia algún punto, de tal forma que -explicado mal y pronto- las coordenadas de sus puntos en “distintas” vueltas se encuentran cada vez más próximas. Esto haría de una espiral (como la espiral áurea, ya que estamos) el análogo de una serie convergente pero en el plano de los complejos (no sé si todas las series convergentes complejas son espirales). Ahora bien, no sé cómo hallar el centro al que una espiral se aproxima infinitamente. Entiendo que el valor exacto de las coordenadas del centro dependerá del sistema de referencia.

    Es una duda que tengo en mente desde hace tiempo, gracias.

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  3. Discúlpenme que me salga del tema, pero: he demostrado la Hipótesis de Riemann, tengo el documento en español (hecho con el editor de textos LaTeX), me falta traducirlo al inglés, si alguien me ayudar a endosar mi demostración en http://www.arxiv.com, u otra forma de hacerlo conocido se los agradecería mucho.

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  4. Una demostración muy hermosa y bien explicada, gracias a las imágenes es muy fácil de entender.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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