La relación entre el número Pi y la circunferencia y el círculo es de sobra conocida por todos (mucho hemos hablado sobre ello en este blog). Lo que posiblemente no sea tan conocido es la relación entre una figura construida con circunferencias como el símbolo del yin-yang y el famosísimo número áureo. En esta entrada vamos a ver esta curiosa propiedad.

Sin más preámbulos, vamos a presentar esta relación entre el símbolo del yin-yang y el número áureo:

Representado el símbolo del yin-yang en un círculo de radio 1, dibujamos un radio horizontal de la circunferencia mayor, que corta a dicha circunferencia en el punto A. Desde ese punto A trazamos dos segmentos que pasen por los centros de las circunferencias pequeñas y marcamos los puntos de corte de dichos segmentos con las circunferencias medianas. Si, de ellos, el punto B es el más lejano de A y el punto C es el mas cercano a A, entonces el segmento AB mide \phi y el AC mide 1 \over \phi.

Un poco lío, ¿verdad? Para aclarar el asunto, os dejo una imagen de la situación:

Chulísimo, ¿a que sí? Al menos a mí me encanta.

Como todos podéis imaginar, tenemos demostración de este resultado, y además es bien sencilla. Os la dejo a continuación:

Como el segmento OA mide 1 el OE mide 1 \over 2, por el teorema de Pitágoras tenemos que el segmento AE mide \sqrt{5} \over 2 (por la misma razón, AD mide lo mismo que AE). Por otro lado, tenemos también que tanto CD como EB miden 1 \over 2 (son radios de las circunferencias medianas).

Con todo esto ya lo tenemos:

  • AB = AE + EB = \cfrac{\sqrt{5}}{2} + \cfrac{1}{2} = \cfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi
  • AC = AD - CD = \cfrac{\sqrt{5}}{2} - \cfrac{1}{2} = \cfrac{\sqrt{5}-1}{2} = \cfrac{1}{\phi}

Un precioso resultado que, además, tiene una demostración clara, concisa y bien sencilla. ¿Se puede pedir más?


Vi por primera ver esta curiosa propiedad en Golden Ratio in Yin-Yang, en la maravillosa Cut-the-Knot del malogrado Alexander Bogomolny.

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