Cualquiera que haya llegado al instituto y tenga algo de memoria de aquella época recuerda que una parte del temario de algunos cursos trataba sobre Trigonometría, cuyo significado es medición de triángulos y cuyo objetivo es estudiar las relaciones entre los lados de un triángulo y los ángulos formados por dichos lados, que son lo que se denominan razones trigonométricas.

Las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo eran esas relaciones entre los lados de dicho triángulo rectángulo que tenían nombres tan curiosos como seno, coseno, tangente… ¿Recordáis más? ¿Sabríais representarlas? Echad un ojo, quizás descubráis cosas que no conocíais.

Comencemos con las más conocidas. Dado un triángulo rectángulo como el de la figura

se define el seno del ángulo \theta como el cateto opuesto a \theta dividido entre la hipotenusa del triángulo. Es decir:

sen(\theta)=\cfrac{b}{c}

En este contexto, se define el coseno del ángulo \theta como el cateto contiguo a \theta dividido entre la hipotenusa del triángulo:

cos(\theta)=\cfrac{a}{c}

Y la tangente de \theta se define como el cociente entre el cateto opuesto a \theta dividido entre el cateto contiguo. O, lo que es lo mismo, el cociente entre el seno y el coseno de dicho ángulo:

tg(\theta)=\cfrac{b}{a}=\cfrac{sen(\theta)}{cos(\theta)}

Bien, ya tenemos tres. Habitualmente todo esto se representa en una circunferencia de radio 1. Al ser este radio la hipotenusa del triángulo en cuestión, las expresiones de seno y coseno se simplifican, quedando de la siguiente forma:

¿Y la tangente cómo se representa? Pues así:

Trazamos la tangente a la circunferencia en el punto B. Cortará al eje X en un punto, que llamamos E. Entonces, la tangente de \theta es la longitud del segmento BE.

Quedaría tal que así:

Éstas son las más conocidas, las que seguro que muchos recordáis. Pero había más, ¿verdad? Además con nombres muy parecidos a éstas. Sí, son sus recíprocas y son las siguientes:

  • Secante: sec(\theta)=\cfrac{1}{cos(\theta)}
  • Cosecante: cosec(\theta)=\cfrac{1}{sen(\theta)}
  • Cotangente: cotg(\theta)=\cfrac{1}{tg(\theta)}=\cfrac{cos(\theta)}{sen(\theta)}

Evidentemente, éstas también tienen su representación. Podemos verlas en la siguiente imagen junto con las tres anteriores:

Y ya no había más razones trigonométricas, ¿verdad? Al menos en el temario no aparecían más, pero eso de «haber» es muy relativo. ¿»Existen» más razones trigonométricas? Sí, «existen» más. Históricamente se han tenido en cuenta otras razones trigonométricas que por ciertas razones fueron importantes en su momento. Vamos a verlas:

  • Verseno: versen(\theta)=1-cos(\theta)

    Fue una de las razones trigonométricas más importantes (aparecía en algunas de las primeras tablas trigonométricas), pero fue perdiendo «nombre» poco a poco y ahora prácticamente no se usa. Existen varias razones trigonométricas relacionadas con el verseno que se enumeran a continuación.

  • Vercoseno: vercos(\theta)=1+cos(\theta)
  • Coverseno: coversen(\theta)=1-sen(\theta)
  • Covercoseno: covercos(\theta)=1+sen(\theta)
  • Semiverseno: semiversen(\theta)=\cfrac{versen(\theta)}{2}

    El semiverseno (haversin en inglés) era muy conocido y muy utilizado en navegación por formar parte de la fórmula del semiverseno para el cálculo de la distancia entre dos puntos de una esfera dada las longitudes y las latitudes de los mismos.

  • Semivercoseno: semivercos(\theta)=\cfrac{vercos(\theta)}{2}
  • Semicoverseno: semicoversen(\theta)=\cfrac{coversen(\theta)}{2}
  • Semicovercoseno: semicovercos(\theta)=\cfrac{covercos(\theta)}{2}

Casi nada, ¿verdad? Seguro que para la gran mayoría de vosotros estas razones trigonométricas son totalmente nuevas, al igual que ocurrirá con las dos últimas que os voy a presentar:

  • Exsecante: exsec(\theta)=sec(\theta)-1

    La exsecante, aunque ya prácticamente no se usa, fue muy importante en agrimensura, astronomía y trigonometría esférica.

  • Excosecante: excosec(\theta)=cosec(\theta)-1

Aquí os dejo una imagen con las seis que más se usan actualmente (las seis primeras que se han visto en esta entrada) junto con el verseno, el coverseno, la exsecante y la excosecante:

Y para terminar una reflexión. Aunque en la actualidad se usan estas seis razones trigonométricas que hemos comentado al principio, y aunque en otras épocas históricas se han usado más (las que hemos presentado después), podríamos decir que en realidad hay solamente una razón trigonométrica «esencial», y que todas las demás se definen a partir de ella. Por ejemplo, podríamos decir que la única razón trigonométrica «esencial» es el seno, ya que todas las demás pueden construirse a partir de ella. Pero posiblemente en muchas situaciones prácticas sea complicado trabajar con esas «variaciones» del seno y en realidad sea conveniente definir de antemano las demás razones trigonométricas para trabajar directamente con ellas. Como en muchas ocasiones, la cuestión dependerá de en qué estemos trabajando y de para qué vayamos a usar estas herramientas. Como es habitual, la versatilidad de las matemáticas está a nuestro servicio.


Fuentes y más información:

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