Siguiendo con la temática de los números algebraicos y trascendentes de la semana pasada os dejo el siguiente problema:
Demostrar que
es algebraico si
es un múltiplo racional de
.
Ánimo. A por él.
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Si a es un número algebraico distinto de cero, entonces e^a, sen(a), cos(a) y tan(a) son trascendentes
Si
, entonces
es algebraico.
El recíproco es consecuencia del teorema de Lindemann. Si
es algebraico sobre
entonces también lo es
, con
. Entonces existe un polinomio
, con
y
, tal que
. Pero esta expresión es de la forma
Perdón, la primera línea del comentario anterior es un disparate! Vaya racha que llevo!
No obstante lo anterior, si
, podemos ver que
es algebraico notando que para 
e inductivamente vemos que
En definitiva hemos encontrado un polinomio de grado
tal que
, y
es algebraico. En particular, también lo es 
no veo como haces esa induccion al polinomio Pk
Otra forma (en esencia equivalente a la de M, pero sin usar complejos) de ver que
es algebraico para
es tener en cuenta que
. Por otro lado, usando esto conjuntamente con las formulas de de Moivre tenemos que
de donde obtenemos un polinomio con coeficientes enteros que se anula en
.
Mucho me temo que la implicación «solo si» del enunciado es falsa.
Tras el comentario de a, veo que el argumento que dí en la segunda parte de mi primer comentario es incorrecto. La aplicación del teorema de Lindemann hace uso implícito de que
es algebraico, y entonces la única conclusión que debí sacar es que si
es algebraico (no nulo) entonces
es trascendente.
¿No se puede adaptar el teorema de Lindemann con un poco de cuidado? Jugando un poco tenemos que
algebraico implica
algebraico, por tanto
algebraico, de ahí
algebraico, y por ser
algebraico Lindemann nos asegura que
debe ser trascencente (si fuera algebraico su exponencial no podría serlo también). Si vemos que la extensión $latex \mathbb{Q}(x,\pi)\colon \mathbb{Q}\$ tiene grado de trascendencia igual a 1, habremos terminado.
Efectivamente, a, tiene usted toda la razón una vez más. Intentando ver que
es un contraejemplo a esa implicación, he recordado que en el libro de las demostraciones de Aigner y Ziegler (por ejemplo, en la edición de Nivola 2005, pág. 32) se demuestra que
es irracional si
impar. Este hecho fue usado por Max Dehn para resolver el tercer problema de Hilbert.
Lamentablemente, vengoroso, el contraejemplo anterior es rotundo. A primera vista, ayer pensé que la implicación era consecuencia directa de Lindemann, pero ya ves el patinazo que he vuelto a dar por no hacer las cosas con detenimiento 🙂
Ups, metí la pata en el enunciado, me confié :(. Lo cambio ahora mismo. Gracias a y compañía :).
Otra forma algo más elemental de ver que la implicación es falsa: sea a de manera que cos(a)=3/5. Entonces sin(a)=4/5 y exp(ia)=(3+4i)/5. Si a fuera un múltiplo racional de Pi, exp(ia) sería una raíz enesima de la unidad (para un cierto n) y para este n (y unos cuantos más) tendriamos que ((3+4i)/5)^n=1. Vamos a ver que esto no es posible: (3+4i)^n=a[n]+i*b[n] donde a[n]=3a[n-1]-4b[n-1], b[n]=4a[n-1]+3b[n-1], a[1]=3, b[1]=4. De aquí se puede ver que: a[n]=6a[n-1]-25a[n-2] y b[n]=6b[n-1]-25b[n-2]. Fijémonos en que módulo 5 tenemos que a[n]=a[n-1] y b[n]=b[n-1], por lo que módulo 5 todos los b[n] son iguales a 4. En consecuencia… Lee más »