Calcula el valor de la suma

Publicado por ^DiAmOnD^ | 15 noviembre, 2011 | Juegos | 11 |

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Sean $a,b,c$ números naturales verificando $1 \leq a \leq b \leq c$ . Hallar el valor de la suma

$\displaystyle{\sum_{i=0}^c} \cfrac{(-1)^i}{a+c+i} \cdot \cfrac{(b+c+i)!}{i!(c-i)!(b+i)!}$

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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11 Comments

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mandanga

15/11/2011 12:58

Feliz día de San Alberto Magno, patrón de las ciencias!!

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Bitacoras.com

15/11/2011 13:26

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana. Ahí va: Sean números naturales verificando . Hallar el valor de la suma A por él. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anterior……

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Ignacio Larrosa Cañestro

15/11/2011 15:15

¡Curiosa forma de escribir un número tan sencillo!

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Rama Nujan

15/11/2011 22:58

Todos los terminos del sumatorio se cancelan entre si, asi que el resultado es cero patatero ( 0 ) … XD

Saludos.

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Pedro T.

16/11/2011 05:25

Un problema con un resultado interesante pero que no puedo demostrar es que
$\displaystyle \sum\limits_{k = 0}^m {{{\left( { - 1} \right)}^k} {m\choose k}\frac{1}{{n + k + 1}}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k} {n\choose k}\frac{1}{{m + k + 1}}}$

En realidad, el hecho de que S(m,n) = S(n,m) ya da una pista sobre hacia donde apuntar.

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Cristhian Camacho

16/11/2011 09:23

Muy buena pista Pedro T. es cierto sale 0 hasta cierto punto usando un programa, luego la maquina se raya con los decimales.

$\displaystyle \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \cdot \frac{(b+c+i)!}{i! (c-i)! (b+i)!} = \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i}\binom{b+c+i}{c}$

Nota: Que bueno el comando \displaystyle de latex para que la formula no salga asi $\sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i}\binom{b+c+i}{c}$ Saludos desde Bolivia hasta nuestra amada Madre Patria España

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Pedro T.

16/11/2011 18:45

Ah, y una ayuda

$\displaystyle \frac{1}{m+k+1} = \int \limits_0^1 t^{m+k}dt$

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17/11/2011 11:07

Saludos después de tanto tiempo. Otra forma: dado que $1\leq a\leq b\leq c$ , entonces $p(x):=\dfrac{(x+b+c)\cdot (x+b+c-1)\cdot \ldots\cdot (x+b+1)}{x+a+c}$ es un polinomio de grado $c-1$ .

Luego, su diferencia (progresiva) de orden $c$ es nula:

$0\equiv \Delta^c p(x)=\displaystyle{\sum_{i=0}^c}(-1)^{c-i}{c \choose i}p(x+i)$ .

Evaluando en $x=0$ se deduce que la suma es efectivamente 0.

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Jose N

17/11/2011 20:34

como si no tubiera mas nada que hacer!! ademas, aun no me enseñan sumatorias en la uni 🙁

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Cristhian Camacho

18/11/2011 00:38

Me parece que es el resultado de multiplicar dos sumatorias una cuyo resultado sea 0
algo así.

$\displaystyle 0 = \left ( 1-1 \right )^{c} = \sum_{i=0}^{c} \binom{c}{i} (-1)^{i} \; ; \; c\geqslant 1$

$\displaystyle \left [ \sum_{i=0}^{c} \binom{c}{i} (-1)^{i} \right ]\cdot \left [ \sum \texttt{algo } \right ] = \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i} \binom{b+c+i}{c}$

Es posible que este yendo por mal camino, muy bueno el problema, jejeje yo tampoco se mucho de sumatorias aunque si me las enseñaron en la U

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Maelstrom

18/11/2011 06:33

Fan desde ya del señor o señora M. Desde que leo gaussianos y veo tus aportaciones, tus métodos se me antojan siempre, aparte de sublimes, originales. Siempre tienes un arsenal de algoritmos que, aunque a veces parecen alejados de lo propuesto, llegan a meta y de manera casi maravillosa. Si fede es el geómetra de gaussianos, tú eres una especie de algorista a lo Euler.

Perdón por el panegírico.

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