Introducción

Comenzamos la semana con un tema bastante curioso que vamos a introducir mediante un juego. Supongamos que tenemos a nuestra disposición los siguientes dados:

El juego en cuestión consiste en lo siguiente:

Vosotros tomáis uno de los tres dados y después yo tomo uno de los dos que quedan. A continuación tiráis vuestro dado y yo el mío. Gana la tirada quien saque mayor puntuación.

Juego sencillo y además elegís primero. La pregunta es:

¿Qué dado escogeríais para tener mayor probabilidad de ganar el juego a la larga, es decir, después de un número grande de tiradas?

Dados no transitivos

La respuesta es bien sencilla: no existe una elección óptima. Esto es, no hay forma de elegir un dado que supere a la larga a los otros dos. La razón es que estos dados no son transitivos.

Veamos qué es la propiedad transitiva:

Dada una relación binaria R definida en un conjunto (donde ARB significa A está relacionado con B), se dice que R cumple la propiedad transitiva si a partir de que ARB y de BRC entonces se tiene que ARC.

Un ejemplo sencillo de esto se da en el conjunto de las personas con la relación binaria altura, ya que si una persona A es más alta que otra persona B y a su vez esta persona B es más alta que una tercera persona C entonces tenemos que A es más alto que C. Y un ejemplo que no la cumple es el típico Piedra, Papel, Tijera, donde tijera gana a papel, papel gana a piedra pero tijera no gana a piedra, sino al contrario.

Vamos a ver que estos dados no cumplen dicha propiedad. Comparemos el dado 1 (ganadas en rojo) con el dado 2 (ganadas en verde) analizando el siguiente cuadro, que nos dice qué dado gana según los resultados de cada una de las tiradas:

Como podemos ver a la larga la probabilidad de ganar con el dado 1 es de \textstyle{\frac{20}{36}=\frac{5}{9}}. Veamos qué ocurre ahora comparando el dado 2 (ganadas en verde) con el dado 3 (ganadas en azul):

Vemos que a la larga el dado 2 ganará al dado 3 en 24 de cada 36 partidas, es decir, que entre ellos el dado 2 tiene una probabilidad de \textstyle{\frac{24}{36}=\frac{2}{3}} de ganar.

Teniendo en cuenta que el dado 1 gana al dado 2 y que el dado 2 gana al dado 3, si estos dados cumplieran la propiedad transitiva tendríamos que el dado 1 gana al dado 3. Pero:

Esto es, el dado 1 no gana al dado 3. De hecho el dado 3 tiene una probabilidad de \textstyle{\frac{24}{36}=\frac{2}{3}} de ganar al dado 1.

Por ello el juego que os planteé al principio no es justo, ya que si vosotros elegís primero yo siempre tendré la posibilidad de elegir un dado que tenga mayor probabilidad de ganar que el vuestro.

Este conjunto de dados no transitivos no es ni mucho menos el único con esta característica. El precusor de esta idea parece ser Bradley Efron, matemático estadounidense nacido en 1938, que los ideó para resaltar una clase de paradojas probabilísticas que no cumplen la transitividad (en realidad lo que ocurre con estos dados no es una paradoja matemática, pero sí una paradoja de la intuición). Los conjuntos ideados por Efron para este propósito estaban formados por cuatro dados cada uno. El primero de ellos era el siguiente:

Los otros dos eran:

\lbrace 2,3,3,9,10,11 \rbrace
\lbrace 0,1,7,8,8,8 \rbrace
\lbrace 5,5,6,6,6,6 \rbrace
\lbrace 4,4,4,4,12,12 \rbrace

y

\lbrace 1,2,3,9,10,11 \rbrace
\lbrace 0,1,7,8,9,9 \rbrace
\lbrace 5,5,6,6,7,7 \rbrace
\lbrace 3,4,4,5,11,12 \rbrace

En cada uno de ellos puede comprobarse que no se cumple la propiedad transitiva, al igual que ocurría con los tres anteriores.

Pero entre todos los conjuntos con cuatro dados no transitivos que he podido ver la propuesta de Shirley Quimby es la más original:

Como se puede ver en las caras de los dados están utilizados todos los números del 1 al 24 sin ninguna repetición. En este caso el segundo jugador tiene también una probabilidad de \textstyle{\frac{2}{3}} de ganar al que escoge primero.

Bonus

Una última curiosidad sobre este tipo de dados. Particularizando en el primer conjunto comentado, el de los dados 1,2 y 3, hemos visto que el 1 gana al 2, que el 2 gana al 3 y que el 3 gana al 1. Supongamos ahora que el juego consiste en lanzar una dado no una vez sino dos y sumar después las dos puntuaciones obtenidas. En este caso el segundo jugador sigue teniendo ventaja, ya que en este juego el conjunto de dados tampoco cumple la propiedad transitiva, pero aquí las ventajas de cada dado se invierten. Es decir, en este juego el dado 2 gana al 1, el dado 3 gana al 2 y el 1 al 3. Curioso, ¿verdad?


Si estáis interesados en poseer un juego de dados no transitivos podéis fabricarlos vosotros o comprarlos a través de internet. Sí, evidentemente se venden juegos de dados no transitivos en la web. Concretamente Carlos, de El Hombre de los Dados, encontró en Grand Illusions un juego de tres dados y otro de cuatro.


¿Conocéis más conjuntos de dados no transitivos? ¿Y más datos sobre este tipo de dados? ¿Sabéis si el hecho de que las ventajas se inviertan al sumar la puntuación de dos tiradas ocurre siempre? ¿Y si son más las tiradas que se suman? Los comentarios, como siempre, son vuestros.


Fuentes:

  • Mail de nuestro admirado comentarista y colaborador fede.
  • Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas, de Martin Gardner.
  • Nontransitive Dice en la Wikipedia (en inglés).
  • El Hombre de los Dados: Carlos nos habla sobre dados transitivos.
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