Introducción
Comenzamos la semana con un tema bastante curioso que vamos a introducir mediante un juego. Supongamos que tenemos a nuestra disposición los siguientes dados:
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El juego en cuestión consiste en lo siguiente:
Vosotros tomáis uno de los tres dados y después yo tomo uno de los dos que quedan. A continuación tiráis vuestro dado y yo el mío. Gana la tirada quien saque mayor puntuación.
Juego sencillo y además elegís primero. La pregunta es:
Dados no transitivos
La respuesta es bien sencilla: no existe una elección óptima. Esto es, no hay forma de elegir un dado que supere a la larga a los otros dos. La razón es que estos dados no son transitivos.
Veamos qué es la propiedad transitiva:
Un ejemplo sencillo de esto se da en el conjunto de las personas con la relación binaria altura, ya que si una persona es más alta que otra persona
y a su vez esta persona
es más alta que una tercera persona
entonces tenemos que
es más alto que
. Y un ejemplo que no la cumple es el típico Piedra, Papel, Tijera, donde tijera gana a papel, papel gana a piedra pero tijera no gana a piedra, sino al contrario.
Vamos a ver que estos dados no cumplen dicha propiedad. Comparemos el dado (ganadas en rojo) con el dado
(ganadas en verde) analizando el siguiente cuadro, que nos dice qué dado gana según los resultados de cada una de las tiradas:
Como podemos ver a la larga la probabilidad de ganar con el dado es de
. Veamos qué ocurre ahora comparando el dado
(ganadas en verde) con el dado
(ganadas en azul):
Vemos que a la larga el dado ganará al dado
en 24 de cada 36 partidas, es decir, que entre ellos el dado
tiene una probabilidad de
de ganar.
Teniendo en cuenta que el dado gana al dado
y que el dado
gana al dado
, si estos dados cumplieran la propiedad transitiva tendríamos que el dado
gana al dado
. Pero:
Esto es, el dado no gana al dado
. De hecho el dado
tiene una probabilidad de
de ganar al dado
.
Por ello el juego que os planteé al principio no es justo, ya que si vosotros elegís primero yo siempre tendré la posibilidad de elegir un dado que tenga mayor probabilidad de ganar que el vuestro.
Este conjunto de dados no transitivos no es ni mucho menos el único con esta característica. El precusor de esta idea parece ser Bradley Efron, matemático estadounidense nacido en 1938, que los ideó para resaltar una clase de paradojas probabilísticas que no cumplen la transitividad (en realidad lo que ocurre con estos dados no es una paradoja matemática, pero sí una
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Los otros dos eran:
y
En cada uno de ellos puede comprobarse que no se cumple la propiedad transitiva, al igual que ocurría con los tres anteriores.
Pero entre todos los conjuntos con cuatro dados no transitivos que he podido ver la propuesta de Shirley Quimby es la más original:
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Como se puede ver en las caras de los dados están utilizados todos los números del 1 al 24 sin ninguna repetición. En este caso el segundo jugador tiene también una probabilidad de de ganar al que escoge primero.
Bonus
Una última curiosidad sobre este tipo de dados. Particularizando en el primer conjunto comentado, el de los dados y
, hemos visto que el
gana al
, que el
gana al
y que el
gana al
. Supongamos ahora que el juego consiste en lanzar una dado no una vez sino dos y sumar después las dos puntuaciones obtenidas. En este caso el segundo jugador sigue teniendo ventaja, ya que en este juego el conjunto de dados tampoco cumple la propiedad transitiva, pero aquí las ventajas de cada dado se invierten. Es decir, en este juego el dado
gana al
, el dado
gana al
y el
al
. Curioso, ¿verdad?
Si estáis interesados en poseer un juego de dados no transitivos podéis fabricarlos vosotros o comprarlos a través de internet. Sí, evidentemente se venden juegos de dados no transitivos en la web. Concretamente Carlos, de El Hombre de los Dados, encontró en Grand Illusions un juego de tres dados y otro de cuatro.
¿Conocéis más conjuntos de dados no transitivos? ¿Y más datos sobre este tipo de dados? ¿Sabéis si el hecho de que las ventajas se inviertan al sumar la puntuación de dos tiradas ocurre siempre? ¿Y si son más las tiradas que se suman? Los comentarios, como siempre, son vuestros.
Fuentes:
- Mail de nuestro admirado comentarista y colaborador fede.
- Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas, de Martin Gardner.
- Nontransitive Dice en la Wikipedia (en inglés).
- El Hombre de los Dados: Carlos nos habla sobre dados transitivos.
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Información Bitacoras.com…
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Hola, genial el artículo.
Yo ya publiqué un problema al respecto en mi blog. Se llamaba Los dados del Tahur y en él, un tahur te ofrecía jugar con 4 dados.
[…] Esos curiosos dados | Gaussianos gaussianos.com/dados-no-transitivos – view page – cached Comenzamos la semana con un tema bastante curioso que vamos a introducir mediante un juego. Supongamos que tenemos a nuestra disposición los siguientes dados: […]
[…] Esos curiosos dados: dados no transitivos gaussianos.com/dados-no-transitivos/ por eliatron el 11:56 UTC […]
Sobre probabilidades no transitivas tuve un libro que detallaba eso mismo pero con cartas, tres montones y tres cartas para cada uno. Y daba como resultado ganador en un porcentaje de hasta cinco a uno el escoger siempre el montón siguiente al elegido por el contrario. Si escogía el 1, nosotros el 2, y si era el 3, nosotros el 1. Parece ser que esa teoría se aplica mucho en las listas de candidatos en política.
Gracias por este interesante Post. Tan acostumbrados estamos a que en los números se cumpla la propiedad transitiva que, al menos en mi caso, no prestamos atención a estos caso. Muy didactico para los niños el ejemplo de piedra, tijera y papel.
Tengo una consulta. ¿Por qué cuando realizo una simulación sobre el resultado de estos dados, siempre el dado 1 obtiene un resultado ligeramente superior a los otros dos dados?
¿Acaso es un error del software al generar números pseudo aleatorios?
Buscando con un programa se encuentra que los dados con caras A= {3,7,8} B={4,11,11} C={5,5,7} forman un conjunto cíclico tanto tirando 1 vez como sumando los resultados de tirar 2 veces cada dado y la relación no se invierte al tirar 2 veces cada dado. ( Un dado de 3 caras {a,b,c} es equivalente a un dado de 6 caras { a,a,b,b,c,c}. ) Por otro lado los 3 dados A= {1, 6, 14} B={ 2, 7, 12} C={ 3, 5, 13} forman un conjunto cíclico tanto tirando 1 dado como tirando 2 dados, la relación se invierte al tirar 2… Lee más »
Errata. El primer conjunto de dados que menciono en el comentario anterior debe ser:
A= {3,7,18} B={4,11,11} C={5,5,17}
Muy interesante!
Alonso, seguramente en la simulación consideraste los resultados numéricos que dan los dados… (y luego sumando o calculando la media) Y eso te sale mayor en el dado 1 porque la media del dado 1 ([4+4+4+4+11+11]/6 =19/3 = 6,333… ) es ligeramente superior a la de los otros (36/6 = 6) Pero que la media sea superior no significa que gane más veces. En este caso, el último dado gana 4 de cada 6 veces a ese dado que tiene media superior. No es extraño: si tienes un dado que tiene 6000 en una cara y 0 en las cinco… Lee más »
Acid, Muchas gracias por tu respuesta. Efectivamente, estaba sumando los resultados obtenidos en los tres dados. Al final, la sumatoria del dado 1 superaba a las sumatorias de los otros dos. He realizado la simulación nuevamente, evaluando solo si gana o pierde, en las tres combinatorias de dados y efectivamente he obtenido el mismo resultado que se indica en el post: el dado 1 tiene más probabilidades de ganarle al dado 2, el dado 2 tiene más probabilidades de ganarle a dado 3, y el dado 3 tiene más probabilidades de ganarle al 1, por lo cual no existe una… Lee más »
Hola, está muy interesante este artículo.
Yo creo que (en los tres primeros dados), está claro que si tu oponente escoge después de ti, a la larga vas a perder más veces que él, pero la solución óptima (para perder lo menos posible) sería escoger el dado 2, ya que, a la hora de perder, el porcentaje de partidas perdidas será menor que escogiendo el dado 1 ó el 3.
Creo entender q pones el juego de piedra papel tijeras como ejemplo de cumplir la propiedad transitiva cuando no lo es ¿no?
Norby, no, no era así, aunque es cierto que la forma en la que estaba escrito podía llevar a error. Ya lo he cambiado. Gracias por el aviso 🙂
[…] de Cultura Científica de la UPV/EHU. Fuentes y referencias: – Non transitive dice, Wikipedia. – Artículo sobre dados no transitivos en […]
У арабов есть хорошая поговорка: то, что случилось один раз, может больше никогда не случиться, а то, что случилось дважды — непременно случится и в третий раз. Выбор всегда, конечно, за тобой: уйти, оставаться с изменщиком, смириться или устраивать сцены. Но главное не вини себя в том, что ты в чем-то не такая, что не удовлетворяешь его.
http://www.chudomart.ru/ http://fast-people.ru/
Nuevo intruso Anumaitaka
Me perdí algo o el dado número 2 gana a los otros dos?
Hola amig@s,
Con el permiso de todos quisiera compartir una web que es verdaderamente útil para cuando no tenemos unos dados en casa. Se trata de un sitio para tirar dados de forma online. Espero les sirva algo mi aporte.
Saludos