Que el conjunto de los números racionales (esto es, las fracciones) es un conjunto numerable (es decir, que tiene la misma cantidad de elementos que los números naturales) es un hecho bastante conocido. Pero a pesar de ello hay gente que todavía no llega a asimilarlo, que no es capaz de comprenderlo, que (por decirlo de alguna forma) no se cree que haya tantos números naturales como fracciones. Para todos vosotros: pues es cierto, hay tantos números naturales como fracciones. Y lo vamos a demostrar de una manera muy elegante.

Dados dos números racionales, p \over q y r \over s, definimos su mediana como la fracción p+r \over q+s. Es sencillo demostrar que la mediana de dos números racionales es siempre un número racional que está entre ellos. Por poner un ejemplo, la mediana de 2 \over 5 y 6 \over 7 es {8 \over 12}={2 \over 3}, que es un número racional que está entre 2 \over 5 y 6 \over 7.

Un detalle: En este post trabajamos en todo momento con fracciones irreducibles. Es decir, fracciones en las que numerador y denominador no tienen factores comunes.

Partiendo de dos fracciones concretas, y con la ayuda de la mediana, vamos a construir más fracciones. Y vamos a partir de las fracciones 0 \over 1 y 1 \over 0…

Vale, sí, 1 \over 0 no es una fracción, no es un número racional. Seguro que más de uno ha dicho cuando la ha visto:

– ¡Pero si eso es infinito!

Bueno, nos vamos a permitir la licencia de tomar esta expresión como fracción, y además esa idea de que esa expresión es infinito no nos vendrá mal.

…para construir las demás. Si calculamos la mediana de estas dos fracciones obtenemos el número 1 \over 1, que por lo que hemos dicho antes está entre las dos fracciones iniciales:

Calculemos ahora las medianas de cada pareja de números consecutivos que llevamos. La mediana de 0 \over 1 y 1 \over 1 es 1 \over 2 y la de 1 \over 1 y 1 \over 0 es 2 \over 1, quedando todos estos números colocados de la siguiente forma:

Volvamos a hacer lo mismo con cada pareja de números consecutivos de la lista, obteniendo ahora los siguientes números colocados de esta forma:

Coloquemos ahora todo en forma de árbol. Comencemos por 1 \over 1. De ella salen dos hijos, que son sus medianas con 0 \over 1 y 1 \over 0. Ahora, de cada una de estas medianas salen otros dos hijos, que son a su vez las medianas de ellas con los dos elementos que tiene a izquierda y derecha en el paso anterior, y así sucesivamente. Obtenemos así el siguiente árbol, denominado árbol de Stern-Brocot:

Y se llama de Stern-Brocot porque lo descubrieron de forma independiente Moritz Stern (en 1858), alemán especialista en teoría de números, y Achille Brocot (en 1861), fabricante de relojes.

Bien, vamos a demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en el árbol de Stern-Brocot y además lo hace como fracción irreducible. Para ello es necesario saber que dadas dos fracciones consecutivas (en el sentido de que una es descendiente de la otra) del árbol, p_1/q_1 y p_2/q_2, se tiene que

p_2 \cdot q_1 - q_2 \cdot p_1=1 (tomándolas en el orden adecuado)

No es difícil de demostrar este hecho, podéis intentarlo en los comentarios (sin mirar las fuentes del final del artículo, no seáis tramposos).

Como hemos comentado antes, la mediana de dos fracciones es un número racional que aparece estrictamente entre esas dos fracciones, por lo que una fracción no puede aparecer dos veces en el árbol.

Veamos ahora que toda fracción irreducible de la forma a/b está en el árbol:

En la raíz del árbol, el mínimo valor de la suma de numerador y denominador de una fracción (a partir de ahora nd-suma) es dos (tenemos la fracción 1 \over 1). En el primer nivel (el siguiente a la raíz), el mínimo valor de la nd-suma es 3. Y, en general, se puede probar por inducción que el mínimo valor de la nd-suma en el nivel n es n+2.

Si a/b es una fracción irreducible que no está en el árbol, entonces la podemos localizar entre dos fracciones consecutivas del mismo (recordad, dos fracciones que cumplen que una es la descendiente de la otra) con la condición de que una de ellas pertenezca al nivel a+b-1. Pongamos que son p_1/q_1 y p_2/q_2. Sabemos entonces que p_2 \cdot q_1 - q_2 \cdot p_1=1.

Bien, tendríamos por tanto que p_1/q_1 < a/b < p_2/q_2. De aquí, operando, obtenemos que q_1 \cdot a - p_1 \cdot b > 0 y que p_2 \cdot b - q_2 \cdot a > 0. Como todos esos números son naturales, tenemos que q_1 \cdot a - p_1 \cdot b \ge 1 y que p_2 \cdot b - q_2 \cdot a \ge 1.

Multiplicando ahora la primera expresión por p_2+q_2 y la segunda por p_1+q_1 y sumándolas obtenemos, después de algunas operaciones y simplificaciones, lo siguiente:

a+b \ge p_1+q_1+p_2+q_2

Pero habíamos dicho que una de las dos fracciones pertenecía al nivel ´a+b-1, nivel en el que como mínimo la nd-suma es a+b-1+2=a+b+1. Tendríamos entonces que:

a+b \ge a+b+1+ \mbox{algo positivo}

lo cual es a todas luces imposible. Por tanto toda fracción irreducible aparece en el árbol de Stern-Brocot.

En particular, esto nos demuestra que el conjunto de los números racionales positivos es numerable, ya que el árbol se ha creado en una cantidad numerable de pasos y todos los racionales positivos están en él. Como hay tantos racionales negativos como racionales positivos, tenemos que el conjunto de los números racionales es numerable.

El árbol de Stern-Brocot también tiene una interesante relación con las fracciones continuas. Para quien esté interesado dejo unos cuantos enlaces con información sobre el tema justo debajo de este párrafo.

Fuentes y enlaces relacionados:

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