El problema que os traigo hoy es sencillo a la par que interesante. Es un juego tipo el problema de las cuatro cuatros o el problema de los tres nueves, pero más sencillo. Está indicado para que todo el mundo pueda participar, por lo que merece la pena dedicarle rato a pensarlo.
El objetivo es conseguir todos los números del 1 al 366 (número de días que tendrá este año bisiesto 2012) utilizando 17 unos (o menos) y las operaciones suma, resta, multiplicación, división y potencia (que indicaréis con el símbolo ^). Hay algunos muy fáciles y otros no tanto, pero en general no creo que sea muy complicado conseguirlo para todos esos números. Por ello quizás sería una idea interesante intentar encontrar las soluciones que utilicen el menor número de unos posible. A ver qué tal se nos da.
El problema corresponde al enigma del mes de enero que Fernando Blasco ha propuesto en la web de la SER.
Os dejo una tabla donde iremos poniendo las soluciones que vayáis escribiendo en los comentarios. Yo voy a rellenar unos cuantos, los 20 primeros y el 243, para romper el hielo. Creo que las soluciones que os aporto son las que requieren un menor número de unos, pero si no es así me gustaría que lo comentarais.
Espero que participéis en este entretenido juego y que permitáis que todo el mundo pueda realizar sus aportaciones. Gracias.
Actualización (29-1-2012): Después de 12 días podemos decir que la objetivo se ha conseguido. La lista está completa, y con el mejor número de unos para todos los casos. En este comentario podéis ver algunos datos más sobre esta curiosa forma de expresar los números naturales.
Os dejo con la lista completa.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
[…] Del 1 al 366 con 17 unos gaussianos.com/del-1-al-366-con-17-unos/ por adrianmugnoz hace nada […]
¡Muy interesante! Se lo voy a proponer a mis alumnos del taller de matemáticas
Un saludo
Muy interesante la idea,
Por aportar algo, he empezado con el 359 que es el primo más grande del conjnunto. Supongo que hay formas de hacerlo con menos números:
359=360-1 =3*120 -1 = 3*(4*30) -1 = 3*4*(3^3 +3) -1 =3^2 *2^2 * (3^2 +1) – 1 =
(3*2)^2*(3^2+1)-1 = (((1+1+1)*(1+1))^(1+1))*((1+1+1)^(1+1)+1) – 1.
Esto son 14 1’s, sospecho que se puede hacer con menos.. pero bueno son menos de 17.
El mnes que viene voy a «cifras y letras», y me servira como gimnasia mental
Saludos.
256 = (1+1)^(1+1+1+1+1+1+1+1)
@javiol
creo que el 359 puede hacerse con un uno menos (seguro que alguien consigue bajarlo más):
Tanto el 8 como el 256 pueden escribirse con menos unos:
8 = (1+1)^(1+1+1)
256 = (1+1)^((1+1)^(1+1+1))
Uno facilito:
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: El problema que os traigo hoy es sencillo a la par que interesante. Es un juego tipo el problema de las cuatro cuatros o el problema de los tres nueves, pero más sencillo. Está indicado para que todo el mundo pueda particip……
100 = ((1+1+1+1+1)*(1+1))^(1+1)
(5*2)^2
Bueno añadido a lo que he puesto antes como solo usas para 100 9 unos puedes tener sumando a 100 los numeros de [101,108]
Recomiendo que useis una hoja de calculo compartida, por ejemplo de google docs, para hacerlo más sencillo
@Anilm3
El 89 con menos unos (doce):
ó
Hola, me parece un luego interesante y quisiera aportar con el número 182 : (11+1+1)x(11+1+1+1)
espero que nadie encuentre un desarrollo con menos de 9 unos 🙂
Por cierto, el 9, 10 y 11 mostrados en la lista también se pueden escribir con menos unos:
con lo que:
@Luis Felipe: Jeje, está muy bien, pero el 11 no vale como dos unos 😉
Tengo un intento de 182 con quince unos. Luego lo pongo si nadie lo baja
121 = 11 ^(1+1)
@Jose Ayala: me da a mi que no vale poner 11 directamente… (mira un ejemplo de 121 un poco más arriba)
jaja entonces subire el mío de 182, que tiene solo 12 unos
El 21, 22 y 23 son triviales usando el 11, omito detalles obvios.
El 366 = (111 + 11)*(1 + 1 + 1) y restando 1 el 365, aunque también 365 = 11^(1 + 1)*(1 + 1 + 1) + 1 + 1, que nos permite obtener restando 1 los números 364 y 363.
No abuso más…
Veo que algunos estáis utilizando la propiedad de concatenación (hacer un 11 con dos unos) pero esa operación no está permitida en este problema (todavía) 😉
@Luis Felipe, estupendo!! Me encantaría ver el 182 con 12 unos!
Pongo mi desarrollo con quince unos ya que no parece ser la mejor solución:
Creo que estoy monopolizando los comentarios. El último y lo dejo por unas horas.
Me hacía ilusión poner uno con divisiones y con once unos ha salido el que otras veces es el último del año:
¿Hay algún número (1-366) para el que haya que utilizar los 17 unos sí o sí?
Qué divertido, no tengo otra cosa que hacer que combinar unos…
Mi vida puede esperar.
100=(11-1)(11-1)
150=[(11-1)(11-1)(1+1+1)]/(1+1)
200=(11-1)(11-1)(1+1)
250=[(11-1)(11-1)(1+1+1+1+1)]/(1+1)
300=(11-1)(11-1)(1+1+1)
350=[(11-1)(11-1)(1+1+1+1+1+1+1)]/(1+1)
Por abreviar, y dado que los números del 1 al 5 se tienen que representar con 1, 2, 3, 4 y 5 unos respectivamente como mínimo, podemos cambiar las reglas, de modo que se puedan usar los números del 1 al 5 y que la suma de los números usados no supere 17 (o sea lo menor posible).
A menos que sea válido concatenar, el problema es el mismo.
Necesitaríamos, de una vez por todas, que se establezca una regla sobre la validez de la concatenación.
Una sugerencia: podrías editar de vez en cuando el post añadiendo los mejores resultados propuestos para cada número. Así podríamos entretenernos en crear nuevos números o en mejorar los ya propuestos por otros reduciendo unos.
21=[1+1+1][(1+1)(1+1+1)+1]
22={[(1+1+1)^(1+1)]+1+1}(1+1)
23={(1+1+1)[(1+1)^(1+1+1)]}-1
24={(1+1+1)[(1+1)^(1+1+1)]}
25=(1+1+1+1+1)^(1+1)
26=[(1+1+1)^(1+1+1)]-1
27=[(1+1+1)^(1+1+1)]
28=[(1+1+1)^(1+1+1)]+1
29=[(1+1+1)^(1+1+1)]+1+1
30=[(1+1+1)^(1+1+1)]+1+1+1
Por ser el último, no menos importante:
366=2*3*61=2*3*(8^2-3)=(1+1)*(1+1+1)*{(1+1)^[(1+1+1)*(1+1)]-(1+1+1)}
Es muy burda. Ya sabéis, a mejorarla 😉
¿Porqué con 17? ¿Hay alguno de ellos que no se pueda construir con menos de 17? Si es así, a ver quién es el primero que lo encuentra y demuestra porqué 😉
@AM Hasta ahora he intentado hacer el 182 con 12 unos pero no puedo lo mas cerca que he quedado en 13 unos, queda así,
182=![\frac{3^{6}-1}{4}=\frac{[(1+1+1)^{(1+1)(1+1+1)}]-1}{1+1+1+1} \frac{3^{6}-1}{4}=\frac{[(1+1+1)^{(1+1)(1+1+1)}]-1}{1+1+1+1}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=+%5Cfrac%7B3%5E%7B6%7D-1%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B%5B%281%2B1%2B1%29%5E%7B%281%2B1%29%281%2B1%2B1%29%7D%5D-1%7D%7B1%2B1%2B1%2B1%7D++&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Me gustaría ver el de 12 unos que comenta Luis Felipe.
@DrCooper3_14 el 366 sale con 12 unos partiendo del 365 que nos muestra @AM
Buenas noches a todos. Antes de nada, gracias por el recibimiento que le habéis dado al problema :). Sí, iré actualizando la lista poco a poco. Así podremos saber cuáles faltan y podremos intentar mejorar los que llevemos. Hoy no lo he hecho antes porque el trabajo no me ha dejado. Intentaré que las actualizaciones se produzcan a menudo. Ah, y aclaro: no se puede usar la concatenación (por ahora). En el único caso en el que dejaría usarla es en el caso en el que se encuentre algún número que no sepamos expresar con 17 unos o menos (no… Lee más »
AM salvo error en mi programa (sí, he hecho trampas, por eso no participo xD) todos se pueden conseguir con 15 unos o menos.
Edito: Se cruzó mi mensaje con el de Diamond. Haciendo la misma salvedad que antes, no va a ser necesario concatenar.
sive, vaya tela, haciendo trampas xD.
He añadido una mejora para el 19 y una manera de hacer 361. Las dos me las ha enviado por mail Miguel. A partir de ahora os pido a todos que no enviéis las aportaciones por mail, ya que no puedo estar a todo. Lo que tengáis que aportar hacedlo en comentarios en este post. Gracias :).
31 = (1+1+1+1+1)^(1+1) + (1+1+1)(1+1)
32 = [(1+1)^(1+1)^(1+1)](1+1)
33 = [(1+1)^(1+1)^(1+1)](1+1) + 1
34 = ((1+1)^(1+1)^(1+1) + 1)(1+1)
35 = ((1+1)^(1+1)^(1+1) + 1)(1+1) + 1
36 = ((1+1+1)^(1+1))(1+1)^(1+1)
@Jcre1125 me encanta tu 182, sigue la línea del 365 que puse. Parece mentira que dividir te pueda ahorrar unos, verdad?
@AM en efecto parece mentira que se ahorren unos con una division pero eso es lo fabuloso del reto y en general de las matematicas, que siempre hay algo sorprendente en ellas
91 = 3^(3^2) / 2^3 que son 13 unos
49 = (2^3 -1)^2 que son 8 unos
125 = (3+2) ^3 que son 8 unos
16 = 2^4 que son 6 unos mejor que 4*4
Usando el 81 que ya esta optimizado podemos conseguir :
41 = ( 3^4 + 1 ) / 2 con 10 unos, que mejora en 2 unos varias que tenia todas con 12 unos.
Siguiendo a AM , con 17 = 2^4+1 y 17^2 = 289, obtenemos con nueve unos, y los que distan una unidad con 10 , de momento trato de no pasar de 10 unos.
288 = (1+ (1+1)^(1+1+1+1) )^(1+1) – 1
289 = (1+ (1+1)^(1+1+1+1) )^(1+1)
290 = (1+ (1+1)^(1+1+1+1) )^(1+1) +1
359 = (((((1+1)*((1+1+1)^(1+1)))+1)^(1+1))-1)-1
Actualizados todos los que han aparecido desde mi anterior comentario.
PaveL algunos de los que has propuesto no llevan tu nombre porque he encontrado una opción mejor que la que tú proponías.
Por cierto, los números en los que no aparece autor son míos.
Bueno, hoy me he entretenido con este problema, tengo todos los numero que buscamos El 331 es el que mas me ha costado:
331 = 4*3^4+ (2*3) +1
331 = (1+1+1+1)* (1+1+1)^(1+1+1+1) + ((1+1)*(1+1+1)) +1
y el numero mas bajo para el que he utilizado 17 unos ha sido:
178 = (3^3+2)*(3*2)+4
178=(6^2)*5-2
178=(((1+1)*(1+1+1))^(1+1))*(1+1+1+1+1)-(1+1)
Esto hacen 14 unos siguiendo el mismo proceso
179=(((1+1)*(1+1+1))^(1+1))*(1+1+1+1+1)-1
180=(((1+1)*(1+1+1))^(1+1))*(1+1+1+1+1)
181=(((1+1)*(1+1+1))^(1+1))*(1+1+1+1+1)+1
182=(((1+1)*(1+1+1))^(1+1))*(1+1+1+1+1)+(1+1)
EDITADO POR ^DiAmOnD^
Nuestro lector pro ha publicado un listado con una expresión para todos los números que ha obtenido sin utilizar software para ello (sólo algo de Excel para algunas operaciones). Sin restar ni un ápice de mérito a pro, prefiero seguir dejando que la gente interactúe con el problema. Si más adelante es necesario publicaré el listado de pro. Muchas gracias.