Problema semanal al canto:
Calcular la siguiente integral:
donde
representa la parte fraccionaria (o decimal) del número real
Por si no queda suficientemente claro os dejo un par de ejemplos:
Suerte.
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El resultado es
hacemos
, la primera integral es inmediata y la segunda divimos en intervalos [n, n+1), y calculmos el sumatorio de las integrales.
Un cordial saludo.
La integral converge pues el integrando es
. Denotemos el valor al que converge con I.
Dado que
y
se sigue que
Saludos.
¡Ouch! Se me han ido todos los diferenciales y el límite inferior de la primera suma en la última línea. ¿Podrías activar un botón de edición, estimado Diamond? 🙂
¿Cómo se calcula al final la serie? Es que me he quedado un poco atascado en ella….
Gracias!
Simplemente añadir que
, para Re s>1, siendo
la función zeta de Riemann. Despejando el valor de la zeta en función de la integral vemos que así se puede extender la zeta al semiplano complejo positivo Re s>0, obteniendo un polo simple en
(con residuo 1). Para prolongar la zeta al resto del plano complejo se usa la función Gamma.
No sé cómo resolver la integral, pero la he escrito en el Wolfram Alpha, y tampoco la ha sabido resolver. Esto es lo que puse: «integrate (x-Int[x])/x^3 dx from x=1 to infinity». Lo interesante de esta integral es que cuando el denominador es x^3 el resultado se relaciona con pi, mientras que cuando es x^2 (WA tampoco lo ha sabido hacer), el resultado es 1-(la constante de Euler-Mascheroni)como se puede ver aquí:http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html. Sería muy interesante ver si se relaciona con otro irracional conocido (como e) si el denominador fuera otro,(como x o x^4).
José,si te refieres a la última linea:

.




Las dos primeras sumatorias se calculan rapidamente (telescópica):
Por último la tercera serie, se sabe:
Entonces:
Sumando:
$latex \displaystyle -\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}\left (\frac{\pi^{2}}{6}-1 \right )=1-\frac{\pi^{2}}{12}
$
Bueno, no se si me he liado, pero es la primera vez que escribo en
Eih! Gracias! Sobre todo era por la última, que no sabía si se podía hacer de una manera más «metódica» (fácil).
Gracias!
M, por favor, me puedes comentar algún libro en el que aparezca dicha propiedad con demostración rigurosa?
Bueno, M o cualquiera que lea esto y tenga idea, se lo pregunto a él por ser el que lo ha puesto.
Muchas gracias de antemano!
Toniii, esta cuestión se puede ver en muchos sitios. Yo en particular la había sacado del libro «The Riemann Hypothesis. A resource for the afficionado and virtuoso alike» de Borwein, Choi, Rooney y Weirathmüller. Sin embargo, acabo de ver
el siguiente pdf que indica lo mismo (incluso lo que comenta Nicolás) en la página 2 (ecuaciones 3 y 4).
Para M|3 ¿De dónde sale esa fórmula? Pregunto porque me ha llamado mucho la atención…
Ricardo, sale como hizo J.H.S. para el caso
:
Lo curioso es que permite redefinir
(aunque sólo para Re s>0,
) como
.