Demostración sobre números armónicos

Publicado por ^DiAmOnD^ | 29 noviembre, 2010 | Juegos | 11 |

El problema de la semana nos lo envía Abraham usando nuestro formulario de contacto. Ahí va:

Los números armónicos $H_j$ se definen, para $j=1,2,3 \ldots$ , de la siguiente forma:

$H_j=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+ \dots + \cfrac{1}{j}$

A partir de esto, demostrar la siguiente desigualdad:

$H_{2^n} \ge 1+ \cfrac{n}{2}$

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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11 Comments

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Gulliver

29/11/2010 09:40

Cada vez son más difíciles 😉

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Tweets that mention Demostración sobre números armónicos | Gaussianos -- Topsy.com

29/11/2010 09:45

[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, Ciencia Tecnología. Ciencia Tecnología said: Demostración sobre números armónicos http://bit.ly/gEIujP […]

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luis

29/11/2010 09:47

No tengo latex. Os hago un esbozo:

Se demuestra por inducción. El truco es que 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 (=1/2).
Luego 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 (=1/2).
Los dos primeros sumados > (2**1) /2.

La inducción es igual para el término enésimo

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josejuan

29/11/2010 10:11

Si partimos de la acotación (Wiki)

$H_{n}\geq \gamma +\ln n$

y comparamos ésta expresión con la indicada

$\gamma +\ln 2^{n}\geq 1+\frac{n}{2}$

llegamos directamente a que debe ser

$n\geq \frac{1-\gamma }{\ln 2-\frac{1}{2}}=2.1889231$ …

y para los valores no demostrados, tenemos que

$H_{2^{0}}=1\geq 1+\frac{0}{2}$
$H_{2^{1}}=1+\frac{1}{2}\geq 1+\frac{1}{2}$
$H_{2^{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\geq 1+\frac{2}{2}$

por lo que queda demostrado para todo n>=0.

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Vayapordios

29/11/2010 10:46

Lo que dice Luis vale por una demostración. La demostración de que la serie armónica es no acotada suele pasar por establecer la desigualdad propuesta, al menos, ha sido así las veces que la he visto.

Si quieres un programa que te escriba en Latex yo he pillado MathType. Es básicamente el editor de ecuaciones del Word pero con añadidos como el que digo. Al final de los comentarios publicados te explican cómo meter lo que te da el programilla este.

Responde

reto

29/11/2010 11:10

Una idea: ¿cuál es el error que se comete al aproximar por 1+n/2 cada Hsub2^n?

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29/11/2010 13:22

La demostración que ha indicado Luis es la célebre prueba de Nicolás de Oresme (parece ser la primera prueba de divergencia de la serie armónica). En cuanto a la cuestión que indica reto:

$H_n=log(n)+\gamma-\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \dfrac{B_k}{n^k}}$

(donde los $B_k$ ’s son los números de Bernoulli), y de ahí se ve que el error $H_{2^n}-1-\frac{n}{2}=n(log(2)-\frac{1}{2})+\gamma-1+\frac{1}{2^n}\mathcal{O}(1)$ , que tiende a infinito con n.

Responde

Bitacoras.com

29/11/2010 13:28

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: El problema de la semana nos lo envía Abraham usando nuestro formulario de contacto. Ahí va: Los números armónicos se definen, para , de la siguiente forma: A partir de esto, demostrar la siguiente desigualdad: A por él…….

Responde

Gulliver

29/11/2010 13:49

$\displaystyle H_n = log(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2 k \ n^{2k}}$ según MathWorld

Responde

29/11/2010 17:42

Por inducción como indicaban anteriormente:

Podemos escribir
$\displaystyle H_j=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+ \dots + \cfrac{1}{j}=\sum_{i=1}^j \cfrac{1}{i}$

Suponemos que se cumple:
$\displaystyle H_{2^n} \ge 1+ \cfrac{n}{2}$

Comprobamos si se cumple:
$\displaystyle H_{2^{n+1}} \ge 1+ \cfrac{n+1}{2} = 1+ \cfrac{n}{2} + \cfrac{1}{2}$

Por otro lado sabemos que:
$\displaystyle H_{2^{n+1}} = H_{2^n} + \sum_{i=2^n +1}^{2^{n+1}} \cfrac{1}{i}$

Con lo cual sólo hay que demostrar que:
$\displaystyle \sum_{i=2^n +1}^{2^{n+1}} \cfrac{1}{i} \ge \cfrac{1}{2}$

Que es evidente ya que:
$\displaystyle \sum_{i=2^n +1}^{2^{n+1}} \cfrac{1}{i} \ge \sum_{i=2^n +1}^{2^{n+1}} \cfrac{1}{2^{n+1}} = \cfrac{2^n}{2^{n+1}} = \cfrac{1}{2}$

Responde

alejandra

Reply to AM

02/11/2015 15:23

me puedes ayudar a resolver ese punto pero mas explicito para saber de donde salio todo

Responde

Nando

29/11/2010 21:46

Sé que mi comentario está fuera de lugar pero necesito ayuda. Podrían darme un consejo para encontrar las soluciones de esta ecuación
$x^{3/2}=\int x^{x}dx$
en el intervalo [0,2]

Responde

Mikhe

30/11/2010 01:05

Se demuestra por induccion:

-Caso $n=0$ :

$H_{2^{0} } \ge 1 + \frac{0}{2} \Rightarrow H_{1} = 1 \ge 1$

Tomamos cierta para un cierto $n$ :

$H_{2^{n} } \ge 1 + \frac{n}{2}$

Entonces hay que demostrar que la siguiente desigualdad tambien se cumple:

$H_{2^{n + 1} } \ge 1 + \frac{{n + 1}}{2}$

Empezamos:

$H_2 = 1 + \frac{1}{2} \Rightarrow H_2 - 1 = \frac{1}{2}$ (Esto lo sustituyo en la siguiente ecuación)

$1 + \frac{{n + 1}}{2} = 1 + \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \le H_{2^n } + \frac{1}{2} = H_{2^n } + H_2 - 1 \le H_{2^n } + H_2$

En este punto es donde me estanco… ya que necesito demostrar que:

$H_{2^n } + H_2 = H_{2^n \cdot 2} = H_{2^{n + 1} }$

Y yo veo que:

$H_{2^n \cdot 2} = \sum\limits_{i = 1}^{2^n \cdot 2} {\frac{1}{i} = \sum\limits_{i = 1}^{2^n } {\frac{1}{i} + \sum\limits_{i = 2^n + 1}^{2^{n + 1} } {\frac{1}{i}} } }$
Pero no se si voy por buen camino….

Alguien me ayuda..¿?

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