El teorema de Pitágoras es el teorema por excelencia en lo que se refiere a la cantidad de demostraciones que se conoce de él (por aquí hemos visto unas cuantas). Pero no solamente es interesante por lo que dice o por la gran variedad y diversidad de demostraciones suyas que sabemos, sino porque tanto el propio problema como algunas de las técnicas que se usan en algunas de sus demostraciones son muy útiles a la hora de comprobar que ciertas expresiones sencillas relacionadas, principalmente, con la trigonometría son correctas. Hoy vamos a ver cómo algunas de esas técnicas nos pueden ayudar a demostrar que la famosa fórmula para calcular el seno de la suma de dos ángulos

sen(\alpha+\beta)=sen(\alpha) \, cos(\beta) + cos(\alpha) \, sen(\beta)

es cierta.

Partimos de un romboide de lado 1 como éste:

Y ahora lo completamos con triángulos hasta formar un rectángulo como el de la figura siguiente:

Llamamos \alpha (en rojo) y \beta (en verde) a los ángulos que forman los lados del romboide con el lado superior del rectángulo (que, por semejanza, debajo quedan al revés):

Por trigonometría, en cada uno de los cuatro triángulos que se han añadido para formar el rectángulo se tiene que sus lados miden lo que aparece en la siguiente imagen:

Si dividimos ahora el ángulo de la esquina izquierda del romboide en dos ángulos mediante una paralela al lado inferior del rectángulo, obtenemos (también por semejanza) que el ángulo superior es \alpha y el ángulo inferior es \beta:

Por tanto, ese ángulo del romboide es \alpha+\beta. Trazando ahora el segmento que determina la altura del romboide, tenemos que la longitud de dicho segmento es sen(\alpha+\beta) (es el cateto opuesto al ángulo \alpha+\beta de un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 1):

Bueno, ya casi está. Vamos a calcular ahora el área del romboide de dos formas. Primero de la manera habitual, base por altura:

1 \cdot sen(\alpha+\beta)=sen(\alpha+\beta)

Y segundo, calculando el área del rectángulo y restándole las áreas de los cuatro triángulos que hemos añadido (los doses van ahí porque hay dos parejas de triángulos iguales):

(cos(\alpha)+cos(\beta)) \cdot (sen(\alpha)+sen(\beta))-2 \, \cfrac{sen(\alpha) \, cos(\alpha)}{2}-2 \, \cfrac{sen(\beta) \, cos(\beta)}{2}

Y operando en esa expresión obtenemos lo siguiente:

\begin{matrix}cos(\alpha) \, sen(\alpha)+cos(\alpha) \, sen(\beta)+cos(\beta) \, sen(\alpha)+cos(\beta) \, sen(\beta)- \\ -sen(\alpha) \, cos(\alpha)-sen(\beta) \, cos(\beta)=cos(\alpha) \, sen(\beta)+cos(\beta) \, sen(\alpha) \end{matrix}

Igualando los dos resultados obtenidos para el área del romboide obtenemos la ansiada fórmula del seno de la suma de dos ángulos:

sen(\alpha+\beta)=sen(\alpha) \, cos(\beta) + cos(\alpha) \, sen(\beta)


En Gaussianos ya publicamos una demostración de este hecho (una colaboración de Fede) hace un tiempo (¡¡casi seis años!!). Os recomiendo que le echéis un vistazo a los comentarios de aquel post, ya que en ellos podéis encontrar otras demostraciones del mismo resultado que también son muy interesantes.


La demostración la he reconstruido a partir de este pdf.

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