El teorema de Pitágoras es el teorema por excelencia en lo que se refiere a la cantidad de demostraciones que se conoce de él (por aquí hemos visto unas cuantas). Pero no solamente es interesante por lo que dice o por la gran variedad y diversidad de demostraciones suyas que sabemos, sino porque tanto el propio problema como algunas de las técnicas que se usan en algunas de sus demostraciones son muy útiles a la hora de comprobar que ciertas expresiones sencillas relacionadas, principalmente, con la trigonometría son correctas. Hoy vamos a ver cómo algunas de esas técnicas nos pueden ayudar a demostrar que la famosa fórmula para calcular el seno de la suma de dos ángulos
es cierta.
Partimos de un romboide de lado 1 como éste:
Y ahora lo completamos con triángulos hasta formar un rectángulo como el de la figura siguiente:
Llamamos 
Por trigonometría, en cada uno de los cuatro triángulos que se han añadido para formar el rectángulo se tiene que sus lados miden lo que aparece en la siguiente imagen:
Si dividimos ahora el ángulo de la esquina izquierda del romboide en dos ángulos mediante una paralela al lado inferior del rectángulo, obtenemos (también por semejanza) que el ángulo superior es
Por tanto, ese ángulo del romboide es 
Bueno, ya casi está. Vamos a calcular ahora el área del romboide de dos formas. Primero de la manera habitual, base por altura:
Y segundo, calculando el área del rectángulo y restándole las áreas de los cuatro triángulos que hemos añadido (los doses van ahí porque hay dos parejas de triángulos iguales):
Y operando en esa expresión obtenemos lo siguiente:
Igualando los dos resultados obtenidos para el área del romboide obtenemos la ansiada fórmula del seno de la suma de dos ángulos:
En Gaussianos ya publicamos una demostración de este hecho (una colaboración de Fede) hace un tiempo (¡¡casi seis años!!). Os recomiendo que le echéis un vistazo a los comentarios de aquel post, ya que en ellos podéis encontrar otras demostraciones del mismo resultado que también son muy interesantes.
La demostración la he reconstruido a partir de este pdf.
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s/romboide/rombo/
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Muy bonita la demostración. No obstante, sólo vale para
y 
entre 0 y 90, y cuya suma sea menor que 180, aunque en el resto de casos se puede hacer una reducción a esta situación concreta.
usando la FORMULA DE EULER (el amo 😀 ) se saca mas facilmente y sin probelmas.. tan solo cogiendo la parte imaginaria en ambas relaciones..
Hermosa demostración. Más sencilla de hacerla entender a los alumnos/as pues trabaja más intuitivamente, si cabe esta palabra.
Muy buena demostración, porque es muy intuitiva y fácil de entender. Pero, no entiendo por qué en el título pones «pitagóricamente». Normalmente este término se suele emplea cuando en una demostración se utiliza la famosa igualdad entre el cuadrado de la hipotenusa y la suma de los cuadrados de los catetos de cualquier triángulo rectángulo. En este caso se utilizan triángulos rectángulos, sí, pero no veo que se utilice la «famosa» igualdad, a no ser que se considere que está implícita en la definición de las funciones trigonométricas, pero en mi opinión eso ya es otra historia.
Charlie, lo de «pitagóricamente» va porque hay una buena cantidad de demostraciones del teorema de Pitágoras que van en la misma línea que ésta.
Gracias, por la aclaración. Ahora me he dado cuenta que «pitagóricamente» estaba entrecomillado. Claro que ésto normalmente solía significar que es literal, pero se me olvidó que hoy día practicamente se utiliza para indicar el significado alternativo o incluso el opuesto. Me gustó tanto la demostración que no me dí cuenta de estos matices del lenguaje.
hola!!!! desde hace casi dos años estoy recibiendo correos de gaussianos. estoy a punto de graduarme de Licenciado en Matematicas. yo hice dos demostraciones geometricas de la suma de dos angulos. me gustaria compartirlas…
El Santi chacho