Introducción
Hace ya algún tiempo vimos una sencilla regla para calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes del primer cuadrante. Tanto debió gustar ese artículo que es el más visitado de la historia del blog y uno de los más comentados.
Pero en ciertas ocasiones esta tabla puede quedar algo corta, ya que muchas veces necesitamos saber el valor de alguna de las razones trigonométricas en cierto ángulo de otro cuadrante. En Secundaria nos enseñan a realizar este cálculo, pero generalmente se incide más en las fórmulas que me dan los valores buscados y se profundiza menos en el cálculo geométrico. En este artículo vamos a ver que aprendiendo a reproducir la tabla mencionada antes (con la regla descrita en dicho artículo es muy fácil) y unos cuantos detalles geométricos podremos calcular de manera muy sencilla las razones trigonométricas de diversos ángulos del resto de cuadrantes.
Razones trigonométricas en los cuadrantes segundo, tercero y cuarto
Vamos a partir de la circunferencia de centro
y radio
. Trazamos ahora un ángulo
. El segmento que parte del
y determina dicho ángulo corta a la circunferencia en el punto
. Trazamos ahora las dos perpendiculares a los ejes desde este punto
, que cortan en los puntos
y
en los ejes
respectivamente. En esta situación, el coseno de este ángulo
es la longitud del segmento del eje
que va del
hasta
(en la imagen, el segmento azul) y el seno de
es la longitud del segmento del eje
que va del
hasta
(en la imagen, el segmento rojo). Esto es, el coseno se mide en el eje
y el seno se mide en el eje
.
La idea para calcular las razones trigonométricas de un ángulo de un cuadrante que no sea el primer es asociar ese ángulo con el ángulo simétrico a él del primer cuadrante, teniendo cuidado con los signos.
Comencemos con los signos. Hay una regla muy sencilla para aprenderse los signos de seno, coseno y tangente en cada uno de los cuadrantes. Se basa en la frase:
Y se desglosa de la siguiente forma:
– En el primer cuadrante todas son positivas.
– En el segundo cuadrante sólo es positivo el seno (sin en inglés).
– En el tercer cuadrante sólo es positiva la tangente.
– En el cuarto cuadrante sólo es positivo el coseno.
Y ahora vamos con el tema de los ángulos simétricos:
- Segundo cuadrante
El ángulo del primer cuadrante simétrico a uno del segundo cuadrante es el que queda en el primer cuadrante al doblar el dibujo por el eje
. Por ejemplo, el simétrico de
en el primer cuadrante es
. Entonces las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante tienen el mismo valor que las correspondientes a su ángulo simétrico del primero (que podemos calcular con la tabla) pero añadiendo un signo menos a los valores del coseno y la tangente. La situación descrita podéis verla en esta imagen:
Veamos ahora un ejemplo numérico con el ángulo
. El simétrico de
en el primer cuadrante es
(esto es fácil de ver con el truco de doblar el dibujo por el eje
). Entonces:
- Tercer cuadrante
Para este caso la base es la misma que en el anterior. El simétrico de un ángulo del tercer cuadrante en el primero es el ángulo que queda en este primer cuadrante al doblar el dibujo por el eje
y luego por el eje
. En este caso la razones trigonométricas de este ángulo tienen el mismo valor que las de su simétrico en el primer cuadrante (tabla) pero añadiendo un signo menos a los valores del seno y del coseno. Lo podéis ver en la siguiente imagen:
Por ejemplo, para
, cuyo simétrico es
, tenemos lo siguiente:
- Cuarto cuadrante
En este caso la situación vuelve a ser muy similar. El simétrico de un ángulo de este cuadrante en el primero se obtiene doblando el dibujo por el eje
. Por ello la razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante tienen el mismo valor que las de su simétrico en el primer cuadrante (tabla) pero añadiendo un signo menos a los valores del seno y de la tangente. En esta imagen puede observarse dicha situación:
Y ahora un ejemplo numérico, esta vez con
, cuyo simétrico en el primer cuadrante es
:
Espero haber echado una mano con este artículo (y con el anterior de la tabla) a la gran cantidad de personas que se atrancan con la trigonometría. Cualquier duda que tengáis dejadla en los comentarios.
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A mis alumnos les doy esta regla para los signos: En el primer cuadrante, todos positivos; en el segundo, el positivo es el seno; en el tercero, la tangente; en el cuarto, el coseno.
¿PORQUÉ? CON ESAS MISMAS LETRAS «IGNORANTE» SE ESCRIBE: «ARGENTINO», Y NO TE SOBRA NI TE FALTA NINGUNA LETRA, COSAS DE LA VIDA, PERO AMO A TODOS ESOS «BOLUDOS», BUENA PARTE DE MI FAMILIA VIVE EN BUENOS AIRES, COMO MENCIONE, COSAS DE LA VIDA …
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yo tambien utilizo el truco de ignorante, añadiendo que para 90º +-angulo y para 270º+- angulo sigue la regla del signo pero cambia el nombre sen a coseno, coseno a seno y tangente a cotangente.
saludos
ap2
Vi esta tabla hace muchos años en el American Mathematical Monthly:





ángulo sen cos
0º
30º
45º
60º
90º
Se agradece que dediqueis un tiempo a matemáticas menos avanzadas =)
El patrón subyacente de las razones trigonométricas de los ángulos más importantes es muy bonito. A continuación se muestra dicho patrón utilizando dos tablas, es decir en dos etapas. La primera de ellas es 100% mnemotécnica y bella (Obsérve los valores de las columnas), pero resulta impresentable debido a que aparece la división por cero.
A/F……..sen………………cos……………tan…………..cot……………sec…………..csc
0…..sqrt(0/4)….sqrt(4/4)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(4/4)….sqrt(4/0).
30…sqrt(1/4)….sqrt(3/4)….sqrt(1/3)….sqrt(3/1)….sqrt(4/3)….sqrt(4/1).
45…sqrt(2/4)….sqrt(2/4)….sqrt(2/2)….sqrt(2/2)….sqrt(4/2)….sqrt(4/2).
60…sqrt(3/4)….sqrt(1/4)….sqrt(3/1)….sqrt(1/3)….sqrt(4/1)….sqrt(4/3).
90…sqrt(4/4)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(4/4).
La segunda tabla (corregida) es la definitiva.
A/F……..sen………………cos……………tan…………..cot……………sec…………..csc
0…..sqrt(0/4)….sqrt(4/4)….sqrt(0/4)……Infinito……sqrt(4/4)……Infinito.
30…sqrt(1/4)….sqrt(3/4)….sqrt(1/3)….sqrt(3/1)….sqrt(4/3)….sqrt(4/1).
45…sqrt(2/4)….sqrt(2/4)….sqrt(2/2)….sqrt(2/2)….sqrt(4/2)….sqrt(4/2).
60…sqrt(3/4)….sqrt(1/4)….sqrt(3/1)….sqrt(1/3)….sqrt(4/1)….sqrt(4/3).
90…sqrt(4/4)….sqrt(0/4).…..Infinito.…..sqrt(0/4)……Infinito……sqrt(4/4).
Hice esto en 1991, pero no busqué referencias. Si alguien puede ubicar alguna se lo agredecería.
DiAmOnD, hay un error de tipeo en las dos tablas: cos de 45 es sqrt(2/4). Por favor ¿Podrías repararlo? Gracias.
Me sumo a Hat, y no se si es muy atrevido sugerir una sección de matemáticas básicas o algo así, se que es muy complicado atinar a gustos tan diversos, pero con estos dos post ¡lo habéis «bordao»!. También enhorabuena a Omar-P, es realmente curiosa la tabla y, aunque la utilidad (hoy día) pueda cuestionarse, creo que son del tipo de cosas que, lamentablemente, se han dejado de lado «gracias» a las calculadoras. Por mí, no dejaría usar calculadoras ni en los postgrados (quizás sólo en asignaturas muy concretas que por su naturaleza lo precise [no se si habrá… Lee más »
Gracias josejuan. Ahora, hablando en general, es sabido que cuando queremos calcular algo recurrimos a fórmulas, cálculos mentales o calculadoras y si por el contrario notamos que los patrones o modelos no nos ayudan a calcular, es debido a que su misión es otra: La de ayudarnos a comprender.
Omar, lo rectifico ahora mismo :).
Dios mio, el primer post sobre algo que he estudiado en todo lo que llevo leyendo a gaussianos! ^^’
[…] de . Una maravilla matemática, la fórmula de Euler, fue otra de nuestras protagonistas, así como el cálculo de las razones trigonométricas. También hablamos de la demostración de la conjetura de Hirsch por parte de Francisco Santos (con […]
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ Me acabas de salvar el pescuezo en Robótica !!!!!!!!!!!!!!
Aunque no lo creas, no recordaba esta «simple» regla y no tenía ninguna alusión en el libro a ella.
Se que es de primero, pero no me acordaba y no sabía de donde salía sqrt(2)/2 para sen(45).
Gracias a tí lo he vuelto a recordar.
Algunas veces se supone que tanto sabemos que olvidamos lo primordial y no siempre es fácil recordarlo, ni siquiera recordar dónde lo vimos.
Mi mas agradecido saludo, por el primero y segundo post sobre ello, y por cierto blog al canto.
¡¡ Gracias !!
Me alegro de que te haya servido de algo este artículo Emilio :). Saludos.
GAUSSIANOS, ^DiAmOnD^, matemáticos, les agradezco por mantener vivo este blog, aquí aprendí como nunca las razones trigonométricas!!! Una rama de la cual me aburría, ahora gracias a ustedes me entusiasman más las matemáticas!!!
Sin miedo ni duda ahora ingresaré y estudiaré matemáticas pura en la UNA de mi país: Paraguay!!!
Cómo podría calcular el ángulo en el tercer cuadrante si me dan una ecuación de una recta??
Estoy refrescando algunos temas que vi en el cole, realmente me ayudaste mucho! excelente explicación, no se me fue necesario visitar a otras paginas relacionadas, gracias!
hay valores de tan A que sean iguales?
en cuales cuadrante tanA en positivo y por que argumenta con idea matematica?
en cuales cuadrante tanA en negativo y por que argumenta con idea matematica?
ayudaaaaa por favor gracias::::
Halla el valor de las demás funciones trigonométricas sabiendo que tan θ = 3√3/2 con valores en el primer cuadrant