Como se puede leer en el título, el problema de esta semana es:
Demostrar que
es múltiplo de
A por él.
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Demostrar que es múltiplo
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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El cociente se puede escribir así:
(2014^2013-1013^2013-(2014-1013)^2013)/(2014^3-1013^3-(2014-1013)^3), o sea
(a^2013-b^2013-(a-b)^2013)/(a*3-b^3-(a-b)^3)
El denominador vale 3ab*(a-b)
El numerador contiene dos parte que son múltiplos de (a-b) que son (a^2013-b^2013) y (a-b)^2013.
Si restamos el segundo (desarrollado como potencia de un binomio) del primero nos queda u7n polinomio cuyos términos contienen todos el producto ab.
Luego el numerador es múltiplo de ab*(a-b) y basta demostrar que también es múltiplo de 3.
Por congruencias el numerador es congruente con 1-2-2=0 mod 3.
Luego queda demostrada la divisibilidad.
Estupendo, JJGJJG. Comentaré la última parte… la de ser múltiplo de 3. Y generalizaré el resultado. Vamos a ver… 2014 (mod 3) = 1 (mod 3) 1013 (mod 3) = 2 (mod 3) = -1 (mod 3) 1001 (mod 3) = 2 (mod 3) = -1 (mod 3) así que si la potencia fuese par no se cumpliría ya que (-1)^par = +1 En caso de par sería: 1-(+1)-(+1) = -1 (mod 3) y no sería múltiplo de 3. Pero como 2013 es impar… (-1)^impar = -1 y entonces sí: 1 – (-1) – (-1) = 3 = 0 (mod… Lee más »
Que un número sea múltiplo de a y de b no significa necesariamente que sea múltiplo de ab. Para que esa generalización sea correcta hay que exigir también que ninguno de los números sea múltiplo de 3. Si no, no es seguro que se cumpla. Por ejemplo:
15540 no es múltiplo de 252.
Ooooops! Pues metí la pata en una cosa… Lo que dije sólo está asegurado cuando ni a ni b ni a-b sean múltiplos de 3. El problema es que si alguno es múltiplo de 3 aunque el numerador sea múltiplo de 3 puede no ser múltiplo del denominador… Ej: 5^7 – 2^7 -3^7 = 75810 que no es múltiplo de 90 !!! Aunque sí lo sea de 3, y de a, y de b, y de (a-b) ¿cuáles son los posibles valores de a (mod 3) y b (mod (3) ? a (mod 3) = +1 ; b (mod 3)… Lee más »
Ooooops otra vez… No basta con que no sean múltiplos de 3… tampoco vale si ab no es coprimo de (a-b)… En el caso del problema b=1013 es primo a-b = 1001 = 11*7*13 a no es múltiplo de 11 ni de 7 ni de 13… Así que 2014*1013 es coprimo de 1001 (también podía haber tomado b=1001 y a-b=1013 que al ser primo se ve más fácil que es coprimo) Otro ejemplo que NO cumple: a=10, b=2, n=2 a (mod 3) = +1 = -b (mod 3) (esto significa que ni a ni b ni a-b son múltiplos de… Lee más »
Efectivamente, ya había observado que, para ser múltiplo de 3 se requería que los exponentes del numerador debían ser impares si los del denominador son treses.
Curiosamente, si los exponentes del denominador son doses, se cumplirá siempre que los del numerador sean pares. Si son impares se cumplirá siempre que el primer número (a) del numerador sea par y nunca si es impar..
67200 sí que es múltiplo de 480.
Yo creo que esa última condición no es necesaria. Si dos de los números comparten un factor, entonces los tres lo comparten. Es decir, sería como multiplicar cada número por k. Pero entonces el numerador queda multiplicado por k elevado a n, y el denominador por k al cubo. Como k^n es múltiplo de k^3 (para n>=3), si se cumple para los originales, se cumplirá para éstos.
JJGJJG, En el caso de cuadrados en el denominador creo que te equivocas: ¿¿¿¿ a^(2*n) – b^(2*n) – (a-b)^(2*n) será múltiplo de a^2 – b^2 – (a-b)^2 ????? Veamos, a^2 – b^2 – (a-b)^2 (a-b)^2 = a^2 + b^2 – 2ab a^2 – b^2 – (a-b)^2 = -2*b^2 +2ab (a-b)^(2*n) = a^2n + b^2n + ab*P(a,b) luego a^(2*n) – b^(2*n) – (a-b)^(2*n) = -2*b^(2*n) – ab*P(a,b) que no tiene por qué ser múltiplo de -2*b^2 +2ab (a menos que se me escape algo… ) Si te referías a lo de que el numerador sea par… 0^2n = 0 (+1)^2n =… Lee más »
Golvano, Efectivamente tienes razón. No se por qué me salió que 480 no dividía a ese número y busqué una condición extra… que como has explicado no era necesaria. Es cierto que si a y b comparten un factor k (el MCD de a y b), entonces a-b también… a=Da*k b=Db*k a-b= (Da-Db)*k … arriba queda multiplicado por k^(2n+1) y abajo por k^3 (y se mantienen las otras condiciones: si a, b y a-b no son múltiplos de 3 tampoco lo serán al dividirlos por k) Pero esto que he puesto (que a comparta un factor con b) no era… Lee más »
En resumen la regla definitiva será:
a^(2*n+1) – b^(2*n+1) –c^(2*n+1) será múltiplo de a^3 – b^3 – c^3 con a=b+c siempre
que ninguno de los números a, b y c sea múltiplo de 3 o que los tres lo sean.
En efecto , el metodo de expresar la suma de potencias con la generalización del binomio de Newton , utilizar si se quiere el pequeño teorema de fermat funciona para dar la demostración al problema pedido.
Por cierto este problema es el 6 problema de la olimpiada nacional fase local en la que he participado y también en la nacional. Estaría bien que pusieseis los de la nacional
Saludos
Martin, los pondré :-).
Demuestra que para cualquier natural n, n(n2-1) es un múltiplo de 6