¡¡Nuevo Desafío Matemático RSME-El País!! Tal y como pasó en 2012, la Real Sociedad Matemática Española y El País nos traen un nuevo Desafío Matemático Extraordinario de Navidad. En esta ocasión lo propone Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) que, por cierto, ha colaborado un par de veces en Gaussianos (hablándonos sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon y sobre Endre Szemerédi).
Como podéis ver en el título de este post, el problema se titula Un número curioso, y podéis ver el vídeo con el planteamiento del mismo haciendo click en este enlace. Dejo aquí de todas formas el planteamiento del problema por escrito:
El equipo que preparamos los desafíos matemáticos hemos decidido abonarnos durante todo el año a un número de la Lotería. Para elegir ese número, que debe estar comprendido entre el 0 y el 99999, pusimos como condición que tuviese las cinco cifras distintas y que, además, cumpliese alguna otra propiedad interesante. Finalmente hemos conseguido un número que tiene la siguiente propiedad: si numeramos los meses del año del 1 al 12, en cualquier mes del año ocurre que al restar a nuestro número de lotería el número del mes anterior, el resultado es divisible por el número del mes en el que estemos. Y esto sucede para cada uno de los meses del año.
Es decir, si llamamos L a nuestro número, tenemos por ejemplo que en marzo L-2 es divisible entre 3 y en diciembre L-11 es divisible entre 12.
El reto que os planteamos es que nos digáis a qué número de Lotería estamos abonados y que nos expliquéis cómo lo habéis encontrado.
Entre los que resuelvan correctamente el desafío se sorteará la colección de libros “Las matemáticas nos rodean”. Además, el ganador recibirá el libro Desafíos Matemáticos, recopilación de los 40 desafíos de esta iniciativa publicados en 2011 del que os hablé esta mañana. Si encontráis la solución y queréis participar sólo tenéis que enviarla a problemamatematicas@gmail.com antes de que termine el sábado 21 de diciembre.
Y respecto al tema de los comentarios, al igual que hice en aquellos desafíos y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.
Ah, y que no se os olvide la siguiente observación que hacen en la propia web de El País:
OBSERVACIONES IMPORTANTES. Insistimos en que es importante que hagáis llegar junto con el número el razonamiento de cómo lo habéis hallado. No se considerarán válidas las respuestas que den sólo el número o que lo hayan encontrado probando todos uno a uno (a mano o con un ordenador).
Matemáticas, señoras y señores, hagan matemáticas. Mucha suerte a todos.
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N = {27719, 55439, 83159}
Si F = 2*3*5*7*11 (=2310), entonces buscar N en (F-1)+k*F, con k=0,1,2, …
…Por lo que la solución es 83159, que no tiene cifras duplicadas.
Información Bitacoras.com
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Pero 83159-11 no es divisible entre 10
Hola Ignacio.
Es (L-9) /10 y no (L-11)/10, es decir:
(83159-9)/10 = 8315
Cierto, gracias
CHALLENGE ACCEPTED!!!!
Enviado. Jaz, un poco más y das la solución… 😀
Bueno, ya que le he quitado emoción, voy a tratar de compensar y, como la cosa de va de números primos, la pregunta es:
¿Se podría afirmar que pi(kx) se puede estimar como k*pi(x) cuando x tiende a infinito? (Siendo pi(x) la cantidad de números primos menores o iguales que x).
Dejo mi demostración en: http://ensn.net/primes/jaz6.pdf para que la pueda valorar quien quiera. Agradeceré cualquier comentario y/o corrección de errores.
NOTA PARA EL ADMINISTRADOR DEL SITIO: Si mi publicación es improcedente bórrela, no ha sido mi intención incumplir ninguna norma.
Muchas gracias, un saludo,
jaz
Jaz, el error está en (7), f(kx)=kx/ln(kx) y eso no es igual a kf(x)=kx/ln(x).
Hola Mmonchi.
¿Quieres decir que al aplicar límites no se cumple la ecuación (7)?.
Yo he aplicado lo siguiente:
lim [ x/ln(x) ] / [ kx/ln(kx) ] = lim 1/k * ln(kx)/ln(x).
Que al ser indeterminado inf/inf, aplicando L’Hôpital:
= lim 1/k * ( k/kx ) / ( 1/x ) = 1/k
Perdona, jaz, no hay ningún error. Me sorprendió el resultado porque es antiintuitivo, son las cosas que pasan cuando te metes con el infinito. f(x)/f(kx)>1/k, pero su límite es 1/k. Por eso el número de primos en [0,kx] es menos de k veces el número de primos en [0,x], pero si x tiende a infinito, Pi(kx) tiende a kPi(x), aunque sea siempre menor.
jaz, se puede poner más fácil:
P(kx)/p(x)=kxln(kx)/ (xln(x))=kx(ln(x)+ln(k))/(xln(x)=k(1+ln(k)/ln(x))
Como ln(k)/ln(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito el cociente entre P(kx) y p(x) tiende a 1, c.q.d.
Es idéntica a tu demostración con algo menos de texto.
Jope, menudo spoiler. Bueno es igual, estoy orgulloso de haberlo hecho bien a la primera! Vale que no era muy difícil, pero uno acaba desistiendo (y lleno de admiración) al ver problemas que aparentan facilidad pero que luego se complican hasta límites insospechados…
EDITADO POR EL ADMINISTRADOR. NO SE ACEPTAN SOLUCIONES HASTA LA FINALIZACIÓN DEL PLAZO.
pregunta: ¿hay solución única o no? porque he sacado el número….
Edito: olvidad la pregunta…. no había actualizado desde que me puse con el problema de marras…
EDITADO POR EL ADMINISTRADOR. NO SE ACEPTAN SOLUCIONES HASTA LA FINALIZACIÓN DEL PLAZO.
Si queremos un número de 6 dígitos, 471239.
Si queremos un número de 7 dígitos, 1025639, 1358279, 1635479, 1746359, 1857239, 3021479, 4130279, 5460839, 6015239, 6320159, 6708239, 7124039, 7401239.
Si queremos un número de 8 dígitos, no hay
Si queremos un número de 9 dígitos, 15634079, 20318759, 20873159, 24365879, 24587639, 25807319, 26084519, 26583479, 27803159, 28634759, 28745639, 31406759, 31850279, 36285479, 40637519, 48260519, 51476039, 53610479, 56243879, 56382479, 56742839, 58267439, 60374159, 60457319, 60734519, 63284759, 63451079, 67304159, 67415039, 68274359, 70436519, 70852319, 71046359, 71850239, 73208519, 76285439, 81053279, 81275039, 81302759, 85017239, 85710239, 87512039.
Nota: Espero con ansia la belleza matemática de la respuesta
EDITADO POR EL ADMINISTRADOR. NO SE ACEPTAN SOLUCIONES HASTA LA FINALIZACIÓN DEL PLAZO.
No entiendo que hayáis publicado la solución. Es verdad que se requiere una explicación, pero no me parece bien que destripéis el trabajo de otros cuando han dado un plazo de tiempo para que cada uno se lo curre por sus medios. Con decir que la suma de sus cifras da el doble de cierto número era suficiente.
Otra opcion es usar un año de 10 meses 2519 – 1 = 2518 2518 / 2 = 1259 (bien, sin decimales) … 2519 – 9 = 2510 2510 / 10 = 251 (bien, sin decimales) Con un año de 9 o 10 meses y queremos números entre 0-9999 tenemos: 2519, 5039. Con un año de 8 meses y números entre 0-9999 tenemos: 839, 1679, 2519, 5039, 5879, 6719. Con un año de 7 meses y números entre 0-9999 tenemos: 419, 839, 1259, 1679, 2519, 4619, 5039, 5879, 6719, 7139. (10 números distintos) Con un año de 5 o 6… Lee más »
Vergonzoso.
Creo que el concurso no se merece lo que ha ocurrido aquí.
Buenas noches JJGJJG y Mmonchi En primer JJGJJG perfecto con tu demostración de una línea, elegante a más no poder. Aunque tengo mis dudas de si matemáticamente se puede usar x/ln(x) para aproximar a pi(x) por lo que indico más abajo. Aunque es largo de contar y me costó horas (¿) entenderlo (?), hay un aspecto que a mi me resultó curioso del teorema de los números primos y es que (en ambos casos cuando x -> infinito): lim pi(x) / (x/ln(x) ) = 1 Pero lim pi(x) – x/ln(x) = +infinito Y en conclusión, el error absoluto entre ambas… Lee más »
Buenas a todos.
He decidido editar los comentarios que contenían, bajo mi punto de vista, demasiadas «pistas». Creo que en el post queda bastante claro que no se puede publicar soluciones del problema, no se pueden publicar soluciones. Y, evidentemente, no se puede dejar el problema casi hecho en un comentario, porque como bien dice julio creo que el concurso no se merece algo así.
Si la cosa continúa así me pensaré qué hacer con los comentarios si se vuelven a publicar problemas de este tipo.
perdón! fue un lapsus que te aseguro que no volverá a ocurrir. Cuando pase la fecha del concurso ¿puedes rehabilitar los coments que has editado? ¿o es imposible? es que había una aclaración importante sobre mi método.
Una vez más pedir disculpas. Nos puede el ansia de decir «¡¡me ha salido!!». Espero no haber causado demasiadas molestias al admin y a los lectores, por supuesto.
erosfer, tranquilo, no hay problema, con que intentemos no volver a hacerlo en próximas ocasiones es suficiente.
Sobre los comentarios editados, los tengo guardados, pero quizás sería mejor que los escribáis de nuevo cuando pase el plazo para enviar soluciones.
Pido disculpas por mi comentario que dejaba resuelto el problema. No se repetirá.
Mmonchi, aceptadas, no hay problema. Si quieres cuando acabe el plazo escribe de nuevo el comentario y seguimos hablando del problema.
ya he pulido el método que había propuesto yo. Insisto en que es muy feote (ocupa de hecho un par de hojas) pero me había enganchado. Sólo diré que empleo conocimientos de mates sencillos, muy sencillos. De hecho me baso en algo que los chavales de la ESO dominan (o deberían). Los criterios de divisibilidad. Por ahí tirando se puede establecer fácilmente la última cifra del número. La cifra de la decena se puede acotar entre tres posibles. Las otra…. ya hay que currárselo un poco más, insisto, usando criterios de divisibilidad. Ahi queda la pista, y esta vez sin… Lee más »
Este problema me lleva a una pregunta (combinatoria?, Relaciones de recurrencia?, Principio de inclusión y exclusión?)
existen entre 
?
Cuantos números con dígitos distintos
\begin{array}{|l|l|}
\hline
n & Y \\
\hline
10 & 11 \\
100 & 91 \\
1000 & 739 \\
10000 & 5275 \\
100000 & 32491 \\
1000000 & 168571 \\
10000000 & 712891 \\
100000000 & 2345851 \\
1000000000 & 5611771 \\
\hline
\end{array}
Es fácil deducir que hay 9*(9¡/(9-k+1)¡) números de k dígitos distintos. Esto nos daría la sucesión: Contamos el 0 1 De 1 dígito 9 De dos dígitos 81 De tres dígitos 648 De cuatro dígitos 4536 De cinco dígitos 27216 De 6 dígitos 136080 De 7 dígitos 544320 De ocho dígitos 1632960 De nueve dígitos 3265920 Acumulemos estas cifras: 10 91 739 5275 … 5611771 Que prácticamente coincide con la de Cristhian Camacho. La explicación del primer valor (11) está en que ha establecido los límites en las potencias exactas de 10. Precisamente el 10 es la única de sus… Lee más »
Completamente de acuerdo JJGJJG, muchas Gracias por la ayuda
Una fórmula general podria ser:
Cuantos números con dígitos distintos
existen entre 
? ( 
)
R.-
Mañana tengo que presentar un programa java resolviendo el ejercicio e imprimiendo por pantalla el numero de la loteria. Alguna ayuda ? Me estoy volviendo loco con el algoritmo xD
Borja, Aqui esta el programa que use
http://www.filedropper.com/test1_2
Muchas gracias, ya se en que fallaba 🙂
Os habeis fijado que
m.c.m (1,2,…,12) es 27720
y multiplicado por los primos -1 da la lista de soluciones?
1 27720 -> 27719
2 55440 -> 55439
3 83160 -> 83159
5 138600 -> 138599
7 194040 -> 194039
11 304920 -> 304919
13 360360 -> 360359
17 471240 -> 471239
19 526680 -> 526679
23 637560 -> 637559
…
De nada 🙂 Mil disculpas, corrigiendo mi comentario del ’17 de diciembre de 2013 | 21:41′ Si queremos un número de 8 dígitos, SI hay (son los que puse para 9 digitos, error mio) 15634079, 20318759, 20873159, 24365879, 24587639, 25807319, 26084519, 26583479, 27803159, 28634759, 28745639, 31406759, 31850279, 36285479, 40637519, 48260519, 51476039, 53610479, 56243879, 56382479, 56742839, 58267439, 60374159, 60457319, 60734519, 63284759, 63451079, 67304159, 67415039, 68274359, 70436519, 70852319, 71046359, 71850239, 73208519, 76285439, 81053279, 81275039, 81302759, 85017239, 85710239, 87512039. Si queremos un número de 9 dígitos: Aun se esta ejecutando el programa en Java que hice, para estos casos creo que Ruby o… Lee más »
Puntualizando multiplicando el m.c.m(1,2….,12)= 27720 por cualquier numero y restandole 1 da la lista soluciones(excluyendo los nº con cifras repetidas) 1 27720 -> 27719 2 55440 -> 55439 3 83160 -> 83159 4 110880 -> 110879 5 138600 -> 138599 6 166320 -> 166319 7 194040 -> 194039 8 221760 -> 221759 9 249480 -> 249479 10 277200 -> 277199 11 304920 -> 304919 12 332640 -> 332639 13 360360 -> 360359 14 388080 -> 388079 15 415800 -> 415799 16 443520 -> 443519 17 471240 -> 471239 18 498960 -> 498959 19 526680 -> 526679 20 554400 -> 554399… Lee más »
Christian, hay 82 soluciones de 9 dígitos, entre 205876439 y 874205639.
Sospecho que tu programa puede ir 27720 veces más rápido ;-).
Lo he comprobado para «años» de distintos meses y sigue funcionando…también si la seríe empieza en otro número y no del de 1 al 12
Sería algo así
Dada una serie de numeros naturales consecutivos n1,..nn siendo Z= m.c.m (n2..nn), Z-n1, Z-n2,… son divisibles respectivamente por n2, n3 …, nn
supongo que habrá algun teorema que lo demuestra y del cual no tengo ni la más remota idea
Mmonchi: jajaja muy buena, cierto usando el mcm es mucho mas rapido 🙂 rigel: concuerdo, es mas aca esta un programa en el cual se evaluan los numeros usando ambos criterios (http://www.filedropper.com/test1_4) Opcion 1 –> Verificando numero por numero si cumple con las reglas del enunciado Opcion 2 –> Usando el mcm la salida es esta: ———————————– NUMERO_DE_DIGITOS = 7 ( numeros menores a 10000000) MESES_INICIO = 3 MESES_FIN = 12 tamanio Opcion 1, fuerza bruta 15 , 83159, 471239, 1025639, 1358279, 1635479, 1746359, 1857239, 3021479, 4130279, 5460839, 6015239, 6320159, 6708239, 7124039, 7401239 tamanio Opcion 2, usando el mcm 15… Lee más »
@Cristhian Camacho:¿Estás seguro que para un número de 6 cifras, la única solución es 471239?… Creo que hay otra solución. ¿No consideras solución a los números que empiezan por cero?
Hola! Simplemente quiero mostrar un posible análisis / simplificación del problema desde mi ignorancia. Si me dicen que el numero -2 será divisible entre 3 no es lo mismo que decir que el número + 1 será divisible entre 3? Si me dicen que el numero -7 será divisible entre 8 no es lo mismo que el numero + 1 será divisible entre 8? si aplico este razonamiento al enunciado, nos quieren decir que el número + 1 será divisible entre 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12? Por lo que la solución ya es casi evidente: el MCM de 1 a 12 restándole… Lee más »
mcm(1….12)=27720; 27720/2=13860; 13860-1= 13859/1=13859; 13868/2= 6929=k; 6929*12=83148; 83149/11=7559; 83150/10=8315; 83151/9= 9239; 83152/8=10394;83153/7=11879; 83154/6=13859; 83155/5=16631; 83156/4=29789; 83157/3=27719; 83158/2=41579, 83158/1= 83159; nº buscado 83159
mcm(1….12)=27720; 27720/2=13860; 13860-1= 13859/1=13859; 13868/2= 6929=k; 6929*12=83148; 83149/11=7559; 83150/10=8315; 83151/9= 9239; 83152/8=10394;83153/7=11879; 83154/6=13859; 83155/5=16631; 83156/4=29789; 83157/3=27719; 83158/2=41579, 83158/1= 83159; nº buscado 83159; mcm(1….12)*[(3!/2!)-1)=nº buscado
Aquí les comparto mi solución… https://docs.google.com/file/d/0B0aVaPjfCtc3dl94RVdhYXZISmM/edit
El conjunto N definido por F-1+k*F tiene 36 elementos de 5 cifras, las tres listadas son las únicas que cumplen los criterios de divisibilidad. Por lo tanto hay que hacer una operación adicional a la simple generación de números con dicha fórmula (someterlos a un filtrado aplicando los criterios de divisibilidad).
Interpreto que el reto es buscar dicho número de una forma directa, sin filtrados.
Saludos
Llegué tarde, pero me he divertido solucionandolo.
La solucion es: mcm(1,..,12) = 27720 L = 27720 * n – 1 como simuladamente indica Mmonchi para años de 12 meses obviamente
No soy matemático (disculpad mi manera de exponer el trabajo) , pero me gusta jugar con los números. Métodos de resolución 1.- mcm (1,…12)= x Kx siendo K=1,2,3…Hallando el numero de 5 cifras distintas= 83159 2.-Aplicando criterios de divisibilidad también se puede resolver pero es más laborioso. 2.1.-Elegimos como última cifra el 9 . El número será =abcd9 -cumplimos L-0/1 -cumplimos L-1/2 -cumplimos L-4/5 -cumplimos L-9/10 2.2.- Divisibilidad por 11 Cifras impares-cifras pares=0,11,22. (recordando quitar una unidad a la cifra d.) 2.3.-Añadimos al último criterio la divisibilidad po 9 -cifras impares +cifras pares+1(de la anterior)-8 de la actual. *Resumen suma… Lee más »
Nice results, guys. ¿ But could you show -not experimentaly, though- there are not, for any number n of months, any L numbers with distinct digits ? ¿ Or could you show- in a simple way; in a simple demonstration- the contrary ?