Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:
Hallar todos los números reales
que cumplen
Que se os dé bien.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Valora en Bitacoras.com: Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente: Hallar todos los números reales que cumplen Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consult……
Si existe solución, todos los valores deben ser distintos entre sí y de 0
Si x = y, la 1ª ecuación queda x^2 = -1, y en las otras siguiendo el mismo método deducimos que x y,z e y z.
Ningún valor puede ser cero pues genera 0 = -1/3
Con paciencia y una caña he encontrado cuatro ternas válidas: 0.121422…, 0.379250.. y 1.905341 0.246478…, 0.885923… y -1.448750… 0.524840…, 8.235741… y 2.636783… 0.640250…, -4.057159… y -1.128777… Cada una de ellas puede aplicarse cíclicamente a (x,y,z) o a (y,z,x) o a (z,x,y) Además se pueden cambiar los signos de cada terna simultáneamente y sigue siendo válida. Hay, pues, 4 x 3 x 2 =24 soluciones reales válidas. Mi método pedestre ha consistido en tabular la función u=(v^3-3v)/(3v^2-1), equivalente a las del enunciado, obtener y en función de x y z en función de y y comprobar si la x obtenida de… Lee más »
No hay ningún valor.
Cada una de las igualdades se refieren a sólo un par de variables, esto es, define una curva en el plano que hace la variable complementaria igual a cero.
El único punto en el que interseccionan los tres planos que continenen cada una de las curvas es el (0,0,0) pero esto es imposible porque cada una de las tres igualdades no están definidas en dicho punto.
Smart
¿Por qué dices que hace la variable complementaria = 0?
Yo creo que sondos familias de superficies (por la separación entre las singularidades) como tu dices, pero con la variable complementaria cualquiera.
Mi planteamiento ha sido despejar y, z y x en las tres funciones. Después he sustituido y en la segunda para hallar z en función de x, y a partir de esta, z en la tercera, quedando una función de x. Esta función tiene 24 soluciones: -8,235740955 -4,057159486 -2,636783296 -1,905340819 -1,448750113 -1,128766661 -0,885922694 -0,690250162 -0,524840488 -0,379249976 -0,246477864 -0,121421984 0,121421984 0,246477864 0,379249976 0,524840488 0,690250162 0,885922694 1,128766661 1,448750113 1,905340819 2,636783296 4,057159486 8,235740955 A partir de cada una de ellas se calculan los valores correspondientes de y y z. -8,235740955 -2,636783296 -0,524840487 -4,057159486 -1,12876666 0,690250162 -2,636783296 -0,524840488 -8,235740987 -1,905340819 -0,121421988 -0,379249993 -1,448750113 0,246477863… Lee más »
undefined soy yo.
Quería decir que en la forma de JJGJJG cada ecuación tiene 2 singularidades y por tanto 3 superficies diferentes. Sus intersecciones son 9 curvas y 27 puntos, pero el punto (0,0,0) no es válido (y creo que es triple) y pasaríamos a 24 soluciones como indica JJGJJG.
Y ahora Mmonchi
No aporto nada nuevo. Sólo cuento que con Mathematica son dos líneas (y ningún mérito claro): f[a_]=(a (a^2 – 3))/(3 a^2 – 1) que es la expresión que nos da la segunda variable en función de la primera en los pares (x,y), (y,z), (z,x), y como tenemos que «volver al mismo sitio», ha de resolverse: Solve[Composition[f, f, f][x] == x, x] Salen las 24 que algunos ya habéis comentado (y tres que se cuelan al considerar f[a_], 0, i y -i). {{x -> 0.}, {x -> 0.- 1. I}, {x -> 0.+ 1. I}, {x -> -0.246478}, {x -> 0.246478},… Lee más »
Aunque ya se han dado las 24 soluciones posibles, solamente indicar que éstas se pueden expresar de forma compacta como
Juanjo Escribano
Ups! qué metida de pata. Ahora sigo
M, ¿puedes explicar cómo has deducido la forma compacta?
Albert, vamos a dejar un tiempo, para ver si alguien se anima a deducir el resultado una vez sabido el mismo. Este problema, de partida, es de idea feliz, o al menos así me lo parece.
La fórmula para la tangente del ángulo triple es del todo idéntica a la que ha manejado JJGJJG Por tanto y dado que las equaciones son idénticas y «telescopicas» si es parte de una terna solución , los otros dos miembros de la misma terna son y Luego se tiene que podemos despejar x en función de y, y en función de z y, cerrando una especie de ciclo, z en función de x. De este modo se debe cumplir que x es igual a sí misma, o sea . Esto es posible si los valores del ángulo difieren radianes… Lee más »
Muy buena, Maestrillo.
En general la expresión
se expresa como función racional de 
, en términos de coeficientes binomiales con signos alternos como
Maestrillo, me la has pisado. Ya me había dado cuenta de que mis fórmulas eran las de la tangente del ángulo triple. Debo reconocer que la bombilla se ha encendido cuando he visto las soluciones de M
He releído mi comentario y hay fallos de redacción. Las incógnitas se despejan justo a la inversa de lo que digo (si no no hay «cierre de ciclo» que valga o bien se cerraría de otra manera) Tenemos y en función de x, z en función de y y x en función de z. El valor de x como entrada de la primera ecuación debe coincidir con el que sale de la última, claro. Otro fallo es que afirmo que la solución con k = 14 es la misma que con k = -11 cuando en realidad es con -12.… Lee más »