Desafíos Matemáticos en El País Verano 2014 – Desafío 1: «Números a la parilla»

La Real Sociedad Matemática Española y El País nos traen nuevos Desafíos Matemáticos, del estilo a los que se propusieron celebrando el Centenario de la RSME y en las dos últimas navidades. En esta ocasión lo propone Adolfo Quirós, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y vicepresidente de la RSME que, aparte de ser uno de los principales responsables de estos desafíos, también colaboró con los Desafíos GaussianosyGuijarro planteando el sexto de ellos.

Como podéis ver en el título de este post, el problema se titula Números a la parrilla, y podéis ver el vídeo con el planteamiento del mismo haciendo click en este enlace. Dejo aquí de todas formas el planteamiento del problema por escrito:

Empezamos con una parrilla 4×4 que en cada casilla tiene un 1 o un -1. El juego consiste en cambiar los valores de algunas casillas, siguiendo las reglas que se darán, y se gana si se consigue que haya un 1 en todas las casillas.

Se puede jugar con dos reglamentos distintos:

– Reglamento ACB (el más estricto): se pueden cambiar simultáneamente los valores de todas las casillas de una fila, de una columna, o de una de las dos diagonales.

– Reglamento NBA (más laxo): además de los movimientos autorizados por las reglas ACB, son también válidos los movimientos que consisten en cambiar simultáneamente los valores de todas las casillas de una recta paralela a una de las dos diagonales, incluido cambiar sólo el valor de una esquina.

Consideramos dos situaciones iniciales que pueden verse en esta figura

Para cada una de ellas nos preguntamos si se puede ganar, y cómo, con cada una de los reglamentos. Así que el desafío es cuádruple: para cada una de las dos posiciones iniciales, y con cada uno de los dos reglamentos, dar la cadena de movimientos que permite ganar la partida o demostrar por qué no se puede.

Para considerar como válida una respuesta no basta con que la solución sea la correcta, hay que explicar cómo se ha llegado a ella.

Entre los que resuelvan correctamente el desafío se sorteará la colección de libros “Grandes ideas de la Ciencia”. Si encontráis la solución y queréis participar sólo tenéis que enviarla a desafiodeagosto1@gmail.com antes de que termine el lunes 4 de agosto.

Y respecto al tema de los comentarios, al igual que hemos hecho en todos los desafíos de El País y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.