Segundo desafío de verano que nos traen la Real Sociedad Matemática Española y El País, del estilo a los que se propusieron celebrando el Centenario de la RSME y en las dos últimas navidades. En esta ocasión lo propone Mari Luz García Escamilla, gestora del Posgrado en Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM).
Como podéis ver en el título de este post, el problema se titula El desafío de Dido de Tiro, y podéis ver el vídeo con el planteamiento del mismo haciendo click en este enlace. Dejo aquí de todas formas el planteamiento del problema por escrito:
El poeta latino Virgilio cuenta en la Eneida como la princesa Dido de Tiro llegó a la costa del norte de África huyendo de su hermano el rey Pigmalión. Al llegar le pidió a Jarbas, rey de los gétulos, un terreno donde asentarse. Jarbas le contestó dándole una piel de buey y comprometiéndose a regalarle toda la tierra que pudiera abarcar con ella.
Lo primero que hizo Dido fue mandar cortar la piel en una tira muy fina. Después pensó que abarcaría más terreno si utilizaba, además de la cuerda fabricada con la piel de buey, la costa. Así, colocando los extremos de la cuerda en la playa abarcó el terreno donde fundó después la ciudad de Cartago.
Nosotros vamos a presentar este mismo problema pero algo simplificado, ya que vamos a considerar que la costa que utilizó Dido era una línea recta. Con esta condición, la forma en la que hay que colocar la cuerda para abarcar la mayor superficie posible es una semicircunferencia con los extremos en la costa. Esta solución, que se muestra en la figura de abajo a modo de ejemplo, la vamos a suponer conocida:
Y ahora, nuestro reto. El desafío que proponemos esta semana consiste en calcular el área de la superficie más grande que Dido puede abarcar con las siguientes condiciones:
1. La costa donde se va a establecer es un cabo formado por un ángulo de 45 grados y dos lados rectos, como en esta figura:
2. Dido ha conseguido sacar una cuerda de 1 kilómetro de longitud de la piel del buey.
Lo que pedimos es el valor del área de la superficie máxima que se puede formar con estas condiciones y una explicación de por qué no se puede hacer mejor.
ADVERTENCIA: No se considerarán válidas las respuestas en las que se utilicen derivadas, cálculo de variaciones, ni herramientas similares. Sí se puede usar, sin necesidad de justificar, la respuesta al problema simplificado comentada anteriormente como ejemplo.
Entre los que resuelvan correctamente el desafío se sorteará la colección de libros “Grandes Ideas de la Ciencia”. Si encontráis la solución y queréis participar sólo tenéis que enviarla a desafiodeagosto2@gmail.com antes de que termine el lunes 11 de agosto.
Y respecto al tema de los comentarios, al igual que hemos hecho en todos los desafíos de El País y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.
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636,619.77 m2?
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Este todavía es más fácil que el primero. Lo interesante en este caso es afinar el razonamiento. Yo he utilizado la reducción al absurdo para demostrar lo que parece -a primera vista- el área mayor posible.
Al parecer no hay límites en cuanto la costa, a ver como manejo esto, creo que tengo una idea…
Mas sencillo que el primero y sin juego añadido para debate
¿Se puede extrapolar la solución a cualquier ángulo? Estoy pensando en números irracionales.
Puede ser difícil debatir sin destripar la solución.
La solución del problema está descrita en el planteamiento. Aparte de eso, quisiera decir que, ni Virgilio, ni Dido, ni Jarbas analizaron correctamente el problema. Dido pudo ahorrar trabajo con mejor rendimiento: Se trataba de conseguir LA MAYOR SUPERFICIE. Cortaría la piel para formar una tira de cualquier grosor y longitud. ColocarÍA los extremos de la tira en dos puntos de la costa sin necesidad, siquiera, de estirarla. ElegirÍA para Cartago la superficie limitada por la cuerda y TODA LA COSTA DE ÁFRICA MENOS UN PEDACITO. Indudablemente cumplía las condiciones pactadas. Es más, al no existir el canal de Suez,… Lee más »
Muy bueno, JJGJJG.
JJGJJG ¿Y en aquella época conocían la forma del continente africano? ¿Cómo se considerarían los lagos y los ríos?
Sobre el desafío: definición de radian.
A mí me salen algo menos de 80000 metros cuadrados (no pongo el valor exacto para no dar pistas), pero como soy muy torpe con estas cosas seguro que he metido la pata en algo, como casi siempre 🙂
Si alguien lo ha resuelto que me diga si el valor está por ahí o si no lo está para ver si tengo que volver a juntar mis dos neuronas estropeadas y pensar en otra forma de solucionar el problema.
Hola
me sale un valor parecido a josem
Cierto, a mí también. No sé por qué, pero he dividido dos veces entre 8 y por eso me salía un valor cercano a 80000 en vez de a 640000. Eso me lleva a pensar que muy equivocado no debo estar. O lo estamos todos 🙂
Qué cosas, éste tiene una solución mucho más sencilla que el anterior pero me ha costado mucho más verla. Me ha hecho gracia la advertencia del final: «No se considerarán válidas las respuestas en las que se utilicen derivadas, cálculo de variaciones, ni herramientas similares».
A mi me sale una superficie de 636619.8 m² pero creo que el verdadero desafío es dar una demostración en la que se utilice el lema del enunciado.
Queridos amigos gaussianos. Es un auténtico placer ver el interés con el que os tomáis los desafíos. Compensa con creces el esfuerzo de prepararlos. Efectivamente, lo importante del desafío que ha planteado Mariluz García Escamilla es, más que la cuenta, el argumento que justifica la solución. Y, modestamente, creo que sí que da juego para más preguntas: ¿se puede extender el argumento a otros «trozos» (racionales o irracionales) de semicircunferencia? ¿Puede deducirse de la solución del problema de Dido simplificado una solución del problema isoperimétrico: original: máxima área acotada por una curva cerrada de longitud dada (quizás imponiendo alguna condición… Lee más »
Mmonchi, Adolfo, sobre lo de generalizar a cualquier ángulo x (en lugar de 45), no lo veo fácil.
Sí que lo veo fácil si el ángulo x es por ejemplo 10 ó 20 ó 30 ó 60 ó 90 (pongo sólo los múltiplos de 10).
Si es fácil para cualquier x, decidnoslo para que le peguemos vueltas.
Hola jesusc.
De las preguntas que he planteado hay una que no sé responder con métodos elementales: generalizar a ángulos que no sean múltiplos racionales de pi. Supongo que podría hacerlo pasando al límite, pero quizás habría que tener cuidado con los detalles (quizás conocéis la aproximación de un segmento por una sierra cada vez con más dientes de manera que parece demostrar que la raíz de 2).
Jesusc, me has picado y creo que ya sé demostrarlo para el caso general con un argumento razonablemente sencillo. Necesito una condición técnica: si tengo el área acotada por un ángulo y una curva y me quedo con lo acotado por un «subángulo» que tienda a 0, ese área también tiende a 0. Eso seguro que es cierto si supongo que la curva es diferenciable, pero basta con menos (variación acotada o algo así). En cualquier caso una condición técnica que seguro que cumple la cuerda que Dido y Mariluz sacan de la piel de tiro 🙂
El caso general para números racionales creo que se puede solucionar con el mismo razonamiento del problema (que no voy a comentar). Primero para los recíprocos de los enteros y después ampliándolo para el resto de racionales. Respecto a los irracionales estoy pensando que al convertirlos en fracciones continuas se puede llegar a lo mismo, jugando astutamente con el infinito.
Impresionante el tiempo que se dedica a cosas como esta. Es como el fútbol pero en mates.
Prefiero hacer el amor.
Consiste en pasión con alguien que amas. Me sentiría mal dedicando tiempo a esto pudiendo estar con mi pareja, entre otras cosas.
Conste que me encantan las mates, y su utilidad es innegable. Pero dedicar tiempo a esto, es como dedicar tiempo a seguir escribiendo. Pero quería dar mi opinión, dejando claro que sé que esto es un pasatiempo respetable.
Pero debería hacerse más el amor, en serio, y es sano.
Disculpad, espero que no se tome como spam, sino como una contribución matemática, pues esto que comento no es más que sumar 2+2:
http://ar.selecciones.com/contenido/a762_diez-beneficios-de-hacer-el-amor
http://tusbuenosmomentos.com/2013/08/disfrutar-vida-hoy/
Si pudiera volver atrás y recuperar el tiempo que perdí en resolver problemas como estos -gané unas olimpiadas nacionales, por cierto, y me quedé igual- y dedicarlos a disfrutar de la vida en cosas que no solía hacer, lo haría. qué más da resolver un problema más o menos? Vas a pasar a la historia? Aprovechemos la vida mejor.
Atreyu, vaya tontería.
Has perdido al menos 19 minutos de hacer el amor para darnos ese consejo? Genial!
Atreyu, quizá no lo sepas, pero Jarbas, que tenia unos gustos peculiares, hizo el amor con el buey antes de sacrificarlo.
Será menos laborioso que el anterior, pero no lo veo fácil. O más bien que el razonamiento requiere cierta técnica que, al menos a mi, en su día me costó bastante esfuerzo intelectual adquirir. Digamos que la solución se da en dos pasos, pero son bastante técnicos, el uno respecto de simetrías y el otro respecto a la lógica empleada.
Pues yo veo fácil hallar el área máxima para cualquier angulo racional, no se vosotros pero en mi demostración se deduce inmediatamente que se puede extender a cualquier angulo racional y creo que hasta irracional
El triángulo de mayor área, para un perímetro determinado, es el equilátero. El cuadrilátero de mayor área, para un perímetro determinado, es el cuadrado. El polígono de n lados de mayor área, para un perímetro determinado, es el n-ágono regular. La figura plana de mayor área, para un perímetro determinado, es el círculo. También el sólido con mayor volumen, para una superficie determinada, es la esfera. (Se deduce fácilmente de la Ley de Boyle-Mariotte para los gases). Por eso las gotas de agua y las pompas de jabón en caída libre son esféricas ya que la menor presión interior se… Lee más »
Yo creo que simplemente haciendo una regla de tres y luego calculando el area del circulo es suficiente.
de todos mosos la tg de 45 es igual a 1 por lo que la solucion es 1/4 del total de la cuerda. Creo que es asi todo me conduce a lo mismo.
Sobre el caso general para cualquier angulo x, me conformaria de momento con verlo para los racionales. Lo veo para los reciprocos de los enteros, pero no veo como se extiende a todos los racionales. No sé como se razona por ejemplo que si se cumple para un angulo x también se cumple para el doble 2x. La pregunta de si se puede deducir a partir de la solucion del problema simplificado de Dido el problema general. Esto sí lo veo claro, y es fácil (no «razonablemente facil», facil a secas). Dada una curva cerrada de longitud P que abarque… Lee más »
Es curioso que en el anterior desafio del que no conseguí solucionar la cuarta situación pensé. Que era torpe por que todos deciais lo facil que era. En este que pienso que podría resolverlo un niño de primaria para cualquier ángulo. Parece que le veis problemas. La conclusión que saco es aquel título de un libro, creo que de gardner,!! Aja.inspiración!!!
Un saludo a todos un año mas.
El problema simplificado en realidad despista para la solución del desafío. El desafío simplificado da el área máxima sobre una línea coincidente con el diámetro, pero en la configuración en ángulo perdemos más por la reducción de la base del triángulo que lo que se gana con el área del semicírculo. Y ojo con el ángulo, que a efectos de cálculo es en realidad de 45/2°.
@jesusc
No creo que tu generalización sea correcta, porque nada te garantiza que las dos curvas vayan a coincidir en sus extremos.
jesusc, yo también estoy atascado con la solución para cualquier ángulo. El primer paso, «descendente», consiste en encontrar la solución para los ángulos X/N conociendo la solución óptima para un caso X. El problema propuesto es un caso particular, con X=180º o X=1/2 (si consideramos X el número de circunferencias) y N=4. Este lo he resuelto por reducción al absurdo, supongo que con una solución similar a Manuel. El segundo paso,»ascendente», consiste es hallar la solución óptima para todos los racionales. Dada la solución de 1/N, encontrar la de M/N. Esto, que me parecía fácil, es lo que se me… Lee más »
Teniendo un ángulo de 45°, el área máxima se consigue con un triángulo isósceles. Entonces debemos ver si se obtiene un área mayor «cerrando» ese triángulo con un semicírculo o con una línea recta. En el primer caso el área del triángulo será menor, pues la base será el diámetro del semicírculo, y obtendremos el área total sumando las áreas de dicho triángulo y del semicírculo. En el segundo caso tendremos solo un triángulo, pero la base será la longitud de la cuerda, con lo que su área será mayor que en el primer caso. Cuando ese área extra sea… Lee más »
Jordi tienes razón pero solo te dejan un ángulo de 45° en Dido simplificado te dan 180° y una cueda con 1Km que es la circunferencia /2; tg x = cateto opuesto/ cateto contiguo la cueda maxima es 1/4 tenemos asi el cateto opuesto; la cueda nos mide el Dido simplificado el total de la semicircunferencia que es lo que conseguimos con la piel de vaca, una de las pistas que nos da es que la comparemos con Dido simplificado ( La regla de tres) y de hay el cuarto com area del sector de circun ferencia 1,57 m^2 otro… Lee más »
Gaceo, el cateto opuesto lo obtienes a partir del radio de la circunferencia. Si el perímetro es 2 km, el radio es 1/Pi, no, 0,25.
Vale gracias
Hola . No me quedó claro si la cuerda de 1 Km corresponde a el perímetro del cabo (debe abarcar los tres lados del triángulo?), o solo es la base . Po favor me pueden aclarar esto, para avanzar.
Solo la base. Si te fijas en el dibujo no hay confusión posible.
Conlas pistas que dejamos es facil resolver el desafío. Un saludo
golvano, no entiendo lo de «No creo que tu generalización sea correcta, porque nada te garantiza que las dos curvas vayan a coincidir en sus extremos». Dada una curva cerrada de longitud P que abarque una superficie máxima. Supongamos que no es una circunferencia. Se eligen 2 puntos de la curva A y B que estén a una distancia P/2 (midiendo la distancia por la curva). La recta AB divide la curva en 2 partes en las que se puede aplicar Dido… La superficie de cada una de las 2 partes, si no es una semicircunferencia, será menor que la… Lee más »
JJGJJG
El mejor comentario con diferencia, jajaja
A mi me sale 0.36 Klm2
1: Averiguamos Radio circunferencia cuyo perimetro es 2Kml r = 0.3184713375 klm
2:Averiguamos area de media circunferencia de radio 0.3184713375 klm a = 0.1593117367 klm cuadrados
3: Averiguames la mitad de area de un cuadrado cuyo lado es 2 veces el radio a = 0.20284798572 klm cuadrados
4: Suma areas A = 0.1593117367 + 0.20284798572 = 0.36215972242 Klm cuadrados
362 metros cuadrados
GUMU, diria que has calculado mal el área del triángulo. No es trata de un cuadrado, porque la altura es bastante mayor que la base. Creo que te confunde el ángulo de 45°. Para usar la trigonometria necesitas un ángulo recto, por lo que el triángulo original te quedará dividido en dos triángulos iguales con un ángulo en la punta del cabo de 45/2°. Con el ángulo de 22,5° y el cateto opuesto (1/pi) puedes obtener la altura, y el área de esos dos triángulos simétricos será mayor que la que te sale. Después verás que si hubieras trazado una… Lee más »
Cierto he supuesto lo del cuadrado y es erroneo.
jordi, gaceo,..
Creo que estáis resolviendo otro problema distinto, estáis suponiendo que con la cuerda sólo podemos hacer o una linea recta o un semicírculo.
Yo me bloquee, entiendo que lo mas basico seria poner la cuerda de 1 klm uniendo los 2 extremos y asi saldrian 500 m2. Logicamente la solucion tiene que se un numero algo mayor a 500m2 pero estoy bloquedo haciendolo como media circunferencia me sale aun peor 362m2 .Logicamente las 2 soluciones mias van mal encaminadas.Suerte a todos
Jesusc. La cuerda se puede usar en cualquier disposición posible, siempre que sus extremos estén en la costa. Lo que ocurre es que las dos disposiciones óptimas son la semicircunferencia y la línea recta, según sea el valor del ángulo del cabo. En este caso, con un ángulo de 45°, la opción de mayor rendimiento es la línea recta (perpendicular a la línea bisectriz del ángulo) . No se trataba de una suposición previa sino de saber que en un triángulo el área máxima se consigue con un triángulo equilàtero, o en su defecto isósceles. Y que ningún polígono da… Lee más »