Desigualdad con suma

El problema de la semana me lo propuso moisés mediante un correo electrónico:

Supongamos que tenemos n números reales x_1, \ldots ,x_n \in (0,1) tales que \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i=1}. Demostrar que:

\displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i} \ge n^2}

A por él.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comments

  1. Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky

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  2. Se deduce inmediatamente del hecho que la media aritmética es mayor o igual que la media armónica.
    Saludos

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  3. Donde dice “números reales” debería decir “números reales positivos”, ¿no?

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  4. Hernan no es necesario dado que los numeros Xi estan en el intervalo abierto (0,1)

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  5. Usando multiplicadores de Lagrange sale

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  6. Por lo visto es una desigualdad muy laborioza, quiza aplicando la desigualdad de cauchy-swchuarz puede salir.

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  7. Miguel,

    u=\left(\dfrac{\sqrt{x_1}}{n},\ldots,\dfrac{\sqrt{x_n}}{n}\right)^T

    v=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}},\ldots,\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}\right)^T

    y Cauchy-Schwarz para el producto y norma euclídea estándar.

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  8. Bueno, ahora mismo no tengo mucho tiempo, pero todo se reduce a ver qué lo que minimiza la \displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i}} cumpliendo con \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i=1} son n números de forma \cfrac{1}{n} ya que entonces tenemos:
    \displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i}=n \cdot \cfrac{1}{\frac{1}{n}}=n \cdot n=n^2 \ge n^2}
    Para n=2 es fácil verlo ya que basta con derivar la función t + \cfrac{t}{t+1}, pero para un n mayor habría que ver como se demuestra, pero yo ahora me voy a estudiar otra cosa que mañana toca examen 🙂

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  9. xmedio=[suma(xi)]/n=1/n; media aritmética
    H=n/[suma(1/xi)]; media armónica
    como xmedio>oigualque H:
    1/n>oigual n/[suma(1/xi)]; suma(1/xi)>oigual n^2

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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