Desigualdad con suma

Publicado por ^DiAmOnD^ | 10 febrero, 2009 | Juegos | 10 |

El problema de la semana me lo propuso moisés mediante un correo electrónico:

Supongamos que tenemos $n$ números reales $x_1, \ldots ,x_n \in (0,1)$ tales que $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i=1}$ . Demostrar que:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i} \ge n^2}$

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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Bitacoras.com

10/02/2009 09:02

Información Bitacoras.com…

Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias….

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e-pi

10/02/2009 10:10

Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky

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Tanhäuser

10/02/2009 10:37

Se deduce inmediatamente del hecho que la media aritmética es mayor o igual que la media armónica.
Saludos

Responde

José A. Rama

Reply to Tanhäuser

08/01/2020 17:56

Efectivamente, dado que la media aritmética es $\frac{1}{n}$

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hernan

11/02/2009 00:08

Donde dice «números reales» debería decir «números reales positivos», ¿no?

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Esteban

11/02/2009 01:35

Hernan no es necesario dado que los numeros Xi estan en el intervalo abierto (0,1)

Responde

Cerumen

11/02/2009 18:42

Usando multiplicadores de Lagrange sale

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Miguel

14/02/2009 02:34

Por lo visto es una desigualdad muy laborioza, quiza aplicando la desigualdad de cauchy-swchuarz puede salir.

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epi

14/02/2009 14:19

Miguel,

$u=\left(\dfrac{\sqrt{x_1}}{n},\ldots,\dfrac{\sqrt{x_n}}{n}\right)^T$

$v=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}},\ldots,\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}\right)^T$

y Cauchy-Schwarz para el producto y norma euclídea estándar.

Responde

Oleg

15/02/2009 20:35

Bueno, ahora mismo no tengo mucho tiempo, pero todo se reduce a ver qué lo que minimiza la $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i}}$ cumpliendo con $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i=1}$ son $n$ números de forma $\cfrac{1}{n}$ ya que entonces tenemos:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i}=n \cdot \cfrac{1}{\frac{1}{n}}=n \cdot n=n^2 \ge n^2}$
Para $n=2$ es fácil verlo ya que basta con derivar la función $t + \cfrac{t}{t+1}$ , pero para un n mayor habría que ver como se demuestra, pero yo ahora me voy a estudiar otra cosa que mañana toca examen 🙂