Olimpiada Matemática Española 2012 – Problema 5: Sucesión por recurrencia

Publicado por gaussianos | 24 abril, 2012 | Juegos | 7 |

Quinto problema, segundo del segundo día, de la Olimpiada Matemática Española 2012. El enunciado es el siguiente:

Una sucesión $(a_n)_{n \ge 1}$ se define mediante la recurrencia

$a_1=1, \quad a_2=5, \quad a_n=\cfrac{a_{n-1}^2+4}{a_{n-2}}, \mbox{ para } n \ge 3$

Demostrar que todos los términos de la sucesión son números enteros y encontrar una fórmula explícita para $a_n$ .

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

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Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

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Bitacoras.com

24/04/2012 12:27

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Quinto problema, segundo del segundo día, de la Olimpiada Matemática Española 2012. El enunciado es el siguiente: Una sucesión se define mediante la recurrencia Demostrar que todos los términos de la sucesión son númer……

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Ñbrevu

24/04/2012 17:28

Observando los primeros términos de la serie (1, 5, 29, 169…) vemos que cada uno es aproximadamente igual a seis veces el anterior. Concretamente, la fórmula parece ser . La ecuación algebraica asociada es , cuyas soluciones son , de manera que tenemos como solución general . Aplicando a los casos particulares y , obtenemos la solución particular: . Igualando es posible comprobar que la ecuación de recurrencia se cumple (yo he dejado a Matlab que lo haga, pero no debería ser muy complicado), lo que significa que la expresión se corresponde efectivamente con la sucesión dada. Finalmente, el hecho… Lee más »

limonminerva

24/04/2012 17:51

hasta aca llegue con la calc de windows y calculos mentales jajaja
${a_{n+1}= 6*a_n - {a_{n-1}}}$

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Pablo

24/04/2012 20:08

Lo interesante del tema es que corresponde a la secuencia de números $n$ tales que $2n^2 - 1$ es un cuadrado. Al menos eso dice la enciclopedia de secuencias de enteros https://oeis.org/A001653

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hawk31

24/04/2012 21:00

Ecuaciones en diferencia, según veo.

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Cristhian Camacho

24/04/2012 22:25

Sería interesante saber porque esas dos relaciones de recurrencia son equivalentes, en general:

$a_1 = 1, \quad a_2 = a_2, \quad a_n = \cfrac{a_{n-1}^{2} + (a_2-1)}{a_{n-2}}, \mbox { para } n\ge3$

$a_1 = 1, \quad a_2 = a_2, \quad a_n = (a_2+1)a_{n-1} - a_{n-2}, \mbox { para } n\ge3$

$a_n = \left ( \frac{\sqrt{a_2+3} \quad (\sqrt{a_2+3}-\sqrt{a_2-1})}{2(a_2+3)} \right )\left ( \frac{(a_2+1) + \sqrt{(a_2+1)^{2}-4}}{2} \right )^{n}$
$+ \left ( \frac{\sqrt{a_2+3} \quad (\sqrt{a_2+3}+\sqrt{a_2-1})}{2(a_2+3)} \right )\left ( \frac{(a_2+1) - \sqrt{(a_2+1)^{2}-4}}{2} \right )^{n}$

luego

$a_1 = 1, \quad a_2 = 5, \quad a_n = 6a_{n-1} - a_{n-2}, \mbox { para } n\ge3$

$a_n = \left ( \frac{2-{\sqrt{2}}}{4} \right )\left ( 3 + 2\sqrt{2} \right)^{n} + \left ( \frac{2+{\sqrt{2}}}{4} \right )\left ( 3 - 2\sqrt{2} \right)^{n}$

Además $a_n$ cumple con la relacion: $2 a_n ^{2} -1 = x^{2}, \quad x \epsilon \mathbb{N}$ cuando $a_2=5$ (como aparece en el comentario de Pablo)

Por ejemplo: $a_5=985, \quad 2 a_5 ^{2} -1 = 1940449, \quad \sqrt{1940449} = 1393$

Buenisimo el problema!!!

P.D. Creo cosas de este nivel se ven recién desde el segundo semestre en la Universidad

Jones, Francisco

16/05/2012 13:47

En el PDF de este enlace se habla de la resolución de ecuaciones de recurrencia no lineales y el ejemplo que usan es casi el de este problema

http://www.m-hikari.com/imf-password2008/33-36-2008/oskoueiIMF33-36-2008.pdf

Responde

gcat

03/02/2013 20:25

Podemos reescribir la condición del problema como:

$a_n a_{n-2}=a_{n-1}^2 +4$ . Del mismo modo podemos hacer lo mismo para $n+1$ , de modo que queda $a_{n+1} a_{n-1}=a_{n}^2 +4$ . Restando y agrupando, tenemos que $a_n (a_{n-2}+a_n)=a_{n-1}(a_{n-1}+a_{n+1})$ . Y ahora dividiendo encontramos que:

$\frac{a_{n-2}+a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{a_n}$

Vemos que en el numerador tenemos la suma del término anterior y posterior al denominador, con lo cual esta expresión es constante para todo $n$ , y basta con evaluarla en $n=1$ para encontrar su valor, que es 6. Entonces se obtiene la recurrencia $a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}$ y se resuelve como todas las recurrencias lineales, de la misma manera que ha dicho Ñbrevu.