Quinto problema, segundo del segundo día, de la Olimpiada Matemática Española 2012. El enunciado es el siguiente:
Una sucesión
se define mediante la recurrencia
Demostrar que todos los términos de la sucesión son números enteros y encontrar una fórmula explícita para
.
Que se os dé bien.
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Observando los primeros términos de la serie (1, 5, 29, 169…) vemos que cada uno es aproximadamente igual a seis veces el anterior. Concretamente, la fórmula parece ser . La ecuación algebraica asociada es , cuyas soluciones son , de manera que tenemos como solución general . Aplicando a los casos particulares y , obtenemos la solución particular: . Igualando es posible comprobar que la ecuación de recurrencia se cumple (yo he dejado a Matlab que lo haga, pero no debería ser muy complicado), lo que significa que la expresión se corresponde efectivamente con la sucesión dada. Finalmente, el hecho… Lee más »
hasta aca llegue con la calc de windows y calculos mentales jajaja

Lo interesante del tema es que corresponde a la secuencia de números
tales que
es un cuadrado. Al menos eso dice la enciclopedia de secuencias de enteros https://oeis.org/A001653
Ecuaciones en diferencia, según veo.
Sería interesante saber porque esas dos relaciones de recurrencia son equivalentes, en general:
luego
Además
cumple con la relacion:
cuando
(como aparece en el comentario de Pablo)
Por ejemplo:
Buenisimo el problema!!!
P.D. Creo cosas de este nivel se ven recién desde el segundo semestre en la Universidad
En el PDF de este enlace se habla de la resolución de ecuaciones de recurrencia no lineales y el ejemplo que usan es casi el de este problema
http://www.m-hikari.com/imf-password2008/33-36-2008/oskoueiIMF33-36-2008.pdf
Podemos reescribir la condición del problema como:
Vemos que en el numerador tenemos la suma del término anterior y posterior al denominador, con lo cual esta expresión es constante para todo
, y basta con evaluarla en
para encontrar su valor, que es 6. Entonces se obtiene la recurrencia
y se resuelve como todas las recurrencias lineales, de la misma manera que ha dicho Ñbrevu.